Theorem cnfldneg 14994

Description: The additive inverse in the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldneg	⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋)

Proof of Theorem cnfldneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negid 8575	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + -𝑋) = 0)
2		negcl 8528	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → -𝑋 ∈ ℂ)
3		cnring 14991	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
4		ringgrp 14389	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
6		cnfldbas 14981	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 14983	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		cnfld0 14992	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
9		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
10	6, 7, 8, 9	grpinvid1 13910	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ -𝑋 ∈ ℂ) → (((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋 ↔ (𝑋 + -𝑋) = 0))
11	5, 10	mp3an1 1365	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ -𝑋 ∈ ℂ) → (((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋 ↔ (𝑋 + -𝑋) = 0))
12	2, 11	mpdan 425	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋 ↔ (𝑋 + -𝑋) = 0))
13	1, 12	mpbird 167	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8178  0cc0 8180   + caddc 8183  -cneg 8500  Grpcgrp 13858  inv_gcminusg 13859  Ringcrg 14384  ℂ_fldccnfld 14977

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-addf 8302  ax-mulf 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-dec 9783  df-uz 9932  df-rp 10066  df-fz 10423  df-cj 11623  df-abs 11781  df-struct 13406  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13665  df-topgen 13667  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-minusg 13862  df-cmn 14173  df-mgp 14302  df-ring 14386  df-cring 14387  df-bl 14967  df-mopn 14968  df-fg 14970  df-metu 14971  df-cnfld 14978

This theorem is used by:  cnfldsub  14996  cnfldmulg  14997  cnsubglem  15000