ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnfldtset Unicode version
Theorem cnfldtset 14642
Description: The topology component of the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) (Revised by GG, 31-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
cnfldtset |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = (TopSet ` ℂfld )
Proof of Theorem cnfldtset
Dummy variables v u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntopex 14630 . 2 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. _V
2 cnfldstr 14634 . . 3 |- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.
3 tsetslid 13332 . . 3 |- (TopSet = Slot (TopSet ` ndx ) /\ (TopSet ` ndx ) e. NN )
4 snsstp1 3828 . . . 4 |- { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. } C_ { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. }
5 ssun1 3372 . . . . 5 |- { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } C_ ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } )
6 ssun2 3373 . . . . . 6 |- ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( u e. CC , v e. CC |-> ( u + v ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
7 df-cnfld 14633 . . . . . 6 |- ℂfld = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( u e. CC , v e. CC |-> ( u + v ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
86, 7sseqtrri 3263 . . . . 5 |- ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) C_ ℂfld
95, 8sstri 3237 . . . 4 |- { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } C_ ℂfld
104, 9sstri 3237 . . 3 |- { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. } C_ ℂfld
112, 3, 10strslfv 13188 . 2 |- ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. _V -> ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = (TopSet ` ℂfld ) )
121, 11ax-mp 5 1 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = (TopSet ` ℂfld )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   u. cun 3199   {csn 3673   {ctp 3675   <.cop 3676   o. ccom 4735   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   e. cmpo 6030   CCcc 8073   1c1 8076   + caddc 8078   x. cmul 8080   <_ cle 8258   - cmin 8393   3c3 9238  ;cdc 9654   *ccj 11460   abscabs 11618   ndxcnx 13140   Basecbs 13143   +g cplusg 13221   .rcmulr 13222   *rcstv 13223  TopSetcts 13227   lecple 13228   distcds 13230   UnifSetcunif 13231   MetOpencmopn 14617  metUnifcmetu 14618  ℂfldccnfld 14632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-dec 9655  df-uz 9799  df-rp 9932  df-fz 10287  df-cj 11463  df-abs 11620  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-starv 13236  df-tset 13240  df-ple 13241  df-ds 13243  df-unif 13244  df-topgen 13404  df-bl 14622  df-mopn 14623  df-fg 14625  df-metu 14626  df-cnfld 14633
This theorem is referenced by:  cnfldms  15327  cnfldtopn  15330
  Copyright terms: Public domain W3C validator