Theorem cnfldms 15393

Description: The complex number field is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldms	|- ℂfld e. MetSp

Proof of Theorem cnfldms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 15387	. 2 |- ( abs o. - ) e. ( Met ` CC )
2		eqid 2232	. 2 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3		cnxmet 15388	. . . 4 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
4	2	mopntopon 15300	. . . 4 |- ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) -> ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) )
5		cnfldbas 14700	. . . . 5 |- CC = ( Base ` ℂfld )
6		cnfldtset 14706	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = (TopSet ` ℂfld )
7	5, 6	topontopn 14894	. . . 4 |- ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) -> ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
8	3, 4, 7	mp2b 8	. . 3 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( TopOpen ` ℂfld )
9		absf 11791	. . . . . 6 |- abs : CC --> RR
10		subf 8474	. . . . . 6 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
11		fco 5526	. . . . . 6 |- ( ( abs : CC --> RR /\ - : ( CC X. CC ) --> CC ) -> ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR )
12	9, 10, 11	mp2an 426	. . . . 5 |- ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR
13		ffn 5507	. . . . 5 |- ( ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR -> ( abs o. - ) Fn ( CC X. CC ) )
14		fnresdm 5466	. . . . 5 |- ( ( abs o. - ) Fn ( CC X. CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( CC X. CC ) ) = ( abs o. - ) )
15	12, 13, 14	mp2b 8	. . . 4 |- ( ( abs o. - ) |` ( CC X. CC ) ) = ( abs o. - )
16		cnfldds 14708	. . . . 5 |- ( abs o. - ) = ( dist ` ℂfld )
17	16	reseq1i 5033	. . . 4 |- ( ( abs o. - ) |` ( CC X. CC ) ) = ( ( dist ` ℂfld ) |` ( CC X. CC ) )
18	15, 17	eqtr3i 2255	. . 3 |- ( abs o. - ) = ( ( dist ` ℂfld ) |` ( CC X. CC ) )
19	8, 5, 18	isms2 15311	. 2 |- (ℂfld e. MetSp <-> ( ( abs o. - ) e. ( Met ` CC ) /\ ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) )
20	1, 2, 19	mpbir2an 951	1 |- ℂfld e. MetSp

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2203   X. cxp 4746   |` cres 4750   o. ccom 4752   Fn wfn 5346   -->wf 5347   ` cfv 5351   CCcc 8124   RRcr 8125   - cmin 8443   abscabs 11678   distcds 13291   TopOpenctopn 13445   *Metcxmet 14676   Metcmet 14677   MetOpencmopn 14681  ℂ_fldccnfld 14696  TopOnctopon 14867   MetSpcms 15194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-map 6883  df-sup 7274  df-inf 7275  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-z 9577  df-dec 9709  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-xneg 10104  df-xadd 10105  df-fz 10342  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-struct 13206  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-starv 13297  df-tset 13301  df-ple 13302  df-ds 13304  df-unif 13305  df-rest 13446  df-topn 13447  df-topgen 13465  df-psmet 14683  df-xmet 14684  df-met 14685  df-bl 14686  df-mopn 14687  df-fg 14689  df-metu 14690  df-cnfld 14697  df-top 14855  df-topon 14868  df-topsp 14888  df-bases 14900  df-xms 15196  df-ms 15197

This theorem is referenced by:  cnfldxms  15394  cnfldtps  15395