Theorem cnfldms 15327

Description: The complex number field is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldms	|- ℂfld e. MetSp

Proof of Theorem cnfldms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 15321	. 2 |- ( abs o. - ) e. ( Met ` CC )
2		eqid 2231	. 2 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3		cnxmet 15322	. . . 4 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
4	2	mopntopon 15234	. . . 4 |- ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) -> ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) )
5		cnfldbas 14636	. . . . 5 |- CC = ( Base ` ℂfld )
6		cnfldtset 14642	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = (TopSet ` ℂfld )
7	5, 6	topontopn 14828	. . . 4 |- ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) -> ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
8	3, 4, 7	mp2b 8	. . 3 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( TopOpen ` ℂfld )
9		absf 11731	. . . . . 6 |- abs : CC --> RR
10		subf 8424	. . . . . 6 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
11		fco 5507	. . . . . 6 |- ( ( abs : CC --> RR /\ - : ( CC X. CC ) --> CC ) -> ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR )
12	9, 10, 11	mp2an 426	. . . . 5 |- ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR
13		ffn 5489	. . . . 5 |- ( ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR -> ( abs o. - ) Fn ( CC X. CC ) )
14		fnresdm 5448	. . . . 5 |- ( ( abs o. - ) Fn ( CC X. CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( CC X. CC ) ) = ( abs o. - ) )
15	12, 13, 14	mp2b 8	. . . 4 |- ( ( abs o. - ) |` ( CC X. CC ) ) = ( abs o. - )
16		cnfldds 14644	. . . . 5 |- ( abs o. - ) = ( dist ` ℂfld )
17	16	reseq1i 5015	. . . 4 |- ( ( abs o. - ) |` ( CC X. CC ) ) = ( ( dist ` ℂfld ) |` ( CC X. CC ) )
18	15, 17	eqtr3i 2254	. . 3 |- ( abs o. - ) = ( ( dist ` ℂfld ) |` ( CC X. CC ) )
19	8, 5, 18	isms2 15245	. 2 |- (ℂfld e. MetSp <-> ( ( abs o. - ) e. ( Met ` CC ) /\ ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) )
20	1, 2, 19	mpbir2an 951	1 |- ℂfld e. MetSp

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2202   X. cxp 4729   |` cres 4733   o. ccom 4735   Fn wfn 5328   -->wf 5329   ` cfv 5333   CCcc 8073   RRcr 8074   - cmin 8393   abscabs 11618   distcds 13230   TopOpenctopn 13384   *Metcxmet 14612   Metcmet 14613   MetOpencmopn 14617  ℂ_fldccnfld 14632  TopOnctopon 14801   MetSpcms 15128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-map 6862  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-dec 9655  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-xneg 10050  df-xadd 10051  df-fz 10287  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-starv 13236  df-tset 13240  df-ple 13241  df-ds 13243  df-unif 13244  df-rest 13385  df-topn 13386  df-topgen 13404  df-psmet 14619  df-xmet 14620  df-met 14621  df-bl 14622  df-mopn 14623  df-fg 14625  df-metu 14626  df-cnfld 14633  df-top 14789  df-topon 14802  df-topsp 14822  df-bases 14834  df-xms 15130  df-ms 15131

This theorem is referenced by:  cnfldxms  15328  cnfldtps  15329