Theorem cnfldms 14715

Description: The complex number field is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldms	|- ℂfld e. MetSp

Proof of Theorem cnfldms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 14709	. 2 |- ( abs o. - ) e. ( Met ` CC )
2		eqid 2193	. 2 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3		cnxmet 14710	. . . 4 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
4	2	mopntopon 14622	. . . 4 |- ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) -> ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) )
5		cnfldbas 14059	. . . . 5 |- CC = ( Base ` ℂfld )
6		cnfldtset 14065	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = (TopSet ` ℂfld )
7	5, 6	topontopn 14216	. . . 4 |- ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) -> ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
8	3, 4, 7	mp2b 8	. . 3 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( TopOpen ` ℂfld )
9		absf 11257	. . . . . 6 |- abs : CC --> RR
10		subf 8223	. . . . . 6 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
11		fco 5420	. . . . . 6 |- ( ( abs : CC --> RR /\ - : ( CC X. CC ) --> CC ) -> ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR )
12	9, 10, 11	mp2an 426	. . . . 5 |- ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR
13		ffn 5404	. . . . 5 |- ( ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR -> ( abs o. - ) Fn ( CC X. CC ) )
14		fnresdm 5364	. . . . 5 |- ( ( abs o. - ) Fn ( CC X. CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( CC X. CC ) ) = ( abs o. - ) )
15	12, 13, 14	mp2b 8	. . . 4 |- ( ( abs o. - ) |` ( CC X. CC ) ) = ( abs o. - )
16		cnfldds 14067	. . . . 5 |- ( abs o. - ) = ( dist ` ℂfld )
17	16	reseq1i 4939	. . . 4 |- ( ( abs o. - ) |` ( CC X. CC ) ) = ( ( dist ` ℂfld ) |` ( CC X. CC ) )
18	15, 17	eqtr3i 2216	. . 3 |- ( abs o. - ) = ( ( dist ` ℂfld ) |` ( CC X. CC ) )
19	8, 5, 18	isms2 14633	. 2 |- (ℂfld e. MetSp <-> ( ( abs o. - ) e. ( Met ` CC ) /\ ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) )
20	1, 2, 19	mpbir2an 944	1 |- ℂfld e. MetSp

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2164   X. cxp 4658   |` cres 4662   o. ccom 4664   Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   CCcc 7872   RRcr 7873   - cmin 8192   abscabs 11144   distcds 12707   TopOpenctopn 12854   *Metcxmet 14035   Metcmet 14036   MetOpencmopn 14040  ℂ_fldccnfld 14055  TopOnctopon 14189   MetSpcms 14516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-tp 3627  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-map 6706  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-dec 9452  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-xneg 9841  df-xadd 9842  df-fz 10078  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-struct 12623  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-starv 12713  df-tset 12717  df-ple 12718  df-ds 12720  df-unif 12721  df-rest 12855  df-topn 12856  df-topgen 12874  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-met 14044  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-fg 14048  df-metu 14049  df-cnfld 14056  df-top 14177  df-topon 14190  df-topsp 14210  df-bases 14222  df-xms 14518  df-ms 14519

This theorem is referenced by:  cnfldxms  14716  cnfldtps  14717