Theorem cnfldms 14798

Description: The complex number field is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldms	|- ℂfld e. MetSp

Proof of Theorem cnfldms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 14792	. 2 |- ( abs o. - ) e. ( Met ` CC )
2		eqid 2196	. 2 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3		cnxmet 14793	. . . 4 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
4	2	mopntopon 14705	. . . 4 |- ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) -> ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) )
5		cnfldbas 14142	. . . . 5 |- CC = ( Base ` ℂfld )
6		cnfldtset 14148	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = (TopSet ` ℂfld )
7	5, 6	topontopn 14299	. . . 4 |- ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) -> ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
8	3, 4, 7	mp2b 8	. . 3 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( TopOpen ` ℂfld )
9		absf 11278	. . . . . 6 |- abs : CC --> RR
10		subf 8231	. . . . . 6 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
11		fco 5424	. . . . . 6 |- ( ( abs : CC --> RR /\ - : ( CC X. CC ) --> CC ) -> ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR )
12	9, 10, 11	mp2an 426	. . . . 5 |- ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR
13		ffn 5408	. . . . 5 |- ( ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR -> ( abs o. - ) Fn ( CC X. CC ) )
14		fnresdm 5368	. . . . 5 |- ( ( abs o. - ) Fn ( CC X. CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( CC X. CC ) ) = ( abs o. - ) )
15	12, 13, 14	mp2b 8	. . . 4 |- ( ( abs o. - ) |` ( CC X. CC ) ) = ( abs o. - )
16		cnfldds 14150	. . . . 5 |- ( abs o. - ) = ( dist ` ℂfld )
17	16	reseq1i 4943	. . . 4 |- ( ( abs o. - ) |` ( CC X. CC ) ) = ( ( dist ` ℂfld ) |` ( CC X. CC ) )
18	15, 17	eqtr3i 2219	. . 3 |- ( abs o. - ) = ( ( dist ` ℂfld ) |` ( CC X. CC ) )
19	8, 5, 18	isms2 14716	. 2 |- (ℂfld e. MetSp <-> ( ( abs o. - ) e. ( Met ` CC ) /\ ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ) )
20	1, 2, 19	mpbir2an 944	1 |- ℂfld e. MetSp

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2167   X. cxp 4662   |` cres 4666   o. ccom 4668   Fn wfn 5254   -->wf 5255   ` cfv 5259   CCcc 7880   RRcr 7881   - cmin 8200   abscabs 11165   distcds 12775   TopOpenctopn 12928   *Metcxmet 14118   Metcmet 14119   MetOpencmopn 14123  ℂ_fldccnfld 14138  TopOnctopon 14272   MetSpcms 14599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000  ax-arch 8001  ax-caucvg 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-frec 6451  df-map 6711  df-sup 7052  df-inf 7053  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-5 9055  df-6 9056  df-7 9057  df-8 9058  df-9 9059  df-n0 9253  df-z 9330  df-dec 9461  df-uz 9605  df-q 9697  df-rp 9732  df-xneg 9850  df-xadd 9851  df-fz 10087  df-seqfrec 10543  df-exp 10634  df-cj 11010  df-re 11011  df-im 11012  df-rsqrt 11166  df-abs 11167  df-struct 12691  df-ndx 12692  df-slot 12693  df-base 12695  df-plusg 12779  df-mulr 12780  df-starv 12781  df-tset 12785  df-ple 12786  df-ds 12788  df-unif 12789  df-rest 12929  df-topn 12930  df-topgen 12948  df-psmet 14125  df-xmet 14126  df-met 14127  df-bl 14128  df-mopn 14129  df-fg 14131  df-metu 14132  df-cnfld 14139  df-top 14260  df-topon 14273  df-topsp 14293  df-bases 14305  df-xms 14601  df-ms 14602

This theorem is referenced by:  cnfldxms  14799  cnfldtps  14800