Theorem cnfldle 14643

Description: The ordering of the field of complex numbers. Note that this is not actually an ordering on CC, but we put it in the structure anyway because restricting to RR does not affect this component, so that (ℂ_fld ↾_s RR ) is an ordered field even though ℂ_fld itself is not. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 14633. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldle	|- <_ = ( le ` ℂfld )

Proof of Theorem cnfldle

Dummy variables v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrex 10134	. . . 4 |- RR* e. _V
2	1, 1	xpex 4848	. . 3 |- ( RR* X. RR* ) e. _V
3		lerelxr 8285	. . 3 |- <_ C_ ( RR* X. RR* )
4	2, 3	ssexi 4232	. 2 |- <_ e. _V
5		cnfldstr 14634	. . 3 |- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.
6		pleslid 13346	. . 3 |- ( le = Slot ( le ` ndx ) /\ ( le ` ndx ) e. NN )
7		snsstp2 3829	. . . 4 |- { <. ( le ` ndx ) , <_ >. } C_ { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. }
8		ssun1 3372	. . . . 5 |- { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } C_ ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } )
9		ssun2 3373	. . . . . 6 |- ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( u e. CC , v e. CC |-> ( u + v ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
10		df-cnfld 14633	. . . . . 6 |- ℂfld = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( u e. CC , v e. CC |-> ( u + v ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
11	9, 10	sseqtrri 3263	. . . . 5 |- ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) C_ ℂfld
12	8, 11	sstri 3237	. . . 4 |- { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } C_ ℂfld
13	7, 12	sstri 3237	. . 3 |- { <. ( le ` ndx ) , <_ >. } C_ ℂfld
14	5, 6, 13	strslfv 13188	. 2 |- ( <_ e. _V -> <_ = ( le ` ℂfld ) )
15	4, 14	ax-mp 5	1 |- <_ = ( le ` ℂfld )

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   u. cun 3199   {csn 3673   {ctp 3675   <.cop 3676   X. cxp 4729   o. ccom 4735   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   e. cmpo 6030   CCcc 8073   1c1 8076   + caddc 8078   x. cmul 8080   RR*cxr 8256   <_ cle 8258   - cmin 8393   3c3 9238  ;cdc 9654   *ccj 11460   abscabs 11618   ndxcnx 13140   Basecbs 13143   +g cplusg 13221   .rcmulr 13222   *rcstv 13223  TopSetcts 13227   lecple 13228   distcds 13230   UnifSetcunif 13231   MetOpencmopn 14617  metUnifcmetu 14618  ℂ_fldccnfld 14632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-dec 9655  df-uz 9799  df-rp 9932  df-fz 10287  df-cj 11463  df-abs 11620  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-starv 13236  df-tset 13240  df-ple 13241  df-ds 13243  df-unif 13244  df-topgen 13404  df-bl 14622  df-mopn 14623  df-fg 14625  df-metu 14626  df-cnfld 14633

This theorem is referenced by: (None)