Theorem cnfldle 14846

Description: The ordering of the field of complex numbers. Note that this is not actually an ordering on CC, but we put it in the structure anyway because restricting to RR does not affect this component, so that (ℂ_fld ↾_s RR ) is an ordered field even though ℂ_fld itself is not. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 14836. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldle	|- <_ = ( le ` ℂfld )

Proof of Theorem cnfldle

Dummy variables v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrex 10212	. . . 4 |- RR* e. _V
2	1, 1	xpex 4872	. . 3 |- ( RR* X. RR* ) e. _V
3		lerelxr 8353	. . 3 |- <_ C_ ( RR* X. RR* )
4	2, 3	ssexi 4254	. 2 |- <_ e. _V
5		cnfldstr 14837	. . 3 |- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.
6		pleslid 13504	. . 3 |- ( le = Slot ( le ` ndx ) /\ ( le ` ndx ) e. NN )
7		snsstp2 3851	. . . 4 |- { <. ( le ` ndx ) , <_ >. } C_ { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. }
8		ssun1 3386	. . . . 5 |- { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } C_ ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } )
9		ssun2 3387	. . . . . 6 |- ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( u e. CC , v e. CC |-> ( u + v ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
10		df-cnfld 14836	. . . . . 6 |- ℂfld = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( u e. CC , v e. CC |-> ( u + v ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
11	9, 10	sseqtrri 3277	. . . . 5 |- ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) C_ ℂfld
12	8, 11	sstri 3251	. . . 4 |- { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } C_ ℂfld
13	7, 12	sstri 3251	. . 3 |- { <. ( le ` ndx ) , <_ >. } C_ ℂfld
14	5, 6, 13	strslfv 13346	. 2 |- ( <_ e. _V -> <_ = ( le ` ℂfld ) )
15	4, 14	ax-mp 5	1 |- <_ = ( le ` ℂfld )

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   u. cun 3212   {csn 3695   {ctp 3697   <.cop 3698   X. cxp 4753   o. ccom 4759   ` cfv 5358  (class class class)co 6059   e. cmpo 6061   CCcc 8142   1c1 8145   + caddc 8147   x. cmul 8149   RR*cxr 8324   <_ cle 8326   - cmin 8462   3c3 9310  ;cdc 9731   *ccj 11553   abscabs 11712   ndxcnx 13298   Basecbs 13301   +g cplusg 13379   .rcmulr 13380   *rcstv 13381  TopSetcts 13385   lecple 13386   distcds 13388   UnifSetcunif 13389   MetOpencmopn 14820  metUnifcmetu 14821  ℂ_fldccnfld 14835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-tp 3703  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-5 9320  df-6 9321  df-7 9322  df-8 9323  df-9 9324  df-n0 9518  df-z 9599  df-dec 9732  df-uz 9876  df-rp 10009  df-fz 10366  df-cj 11556  df-abs 11714  df-struct 13303  df-ndx 13304  df-slot 13305  df-base 13307  df-plusg 13392  df-mulr 13393  df-starv 13394  df-tset 13398  df-ple 13399  df-ds 13401  df-unif 13402  df-topgen 13562  df-bl 14825  df-mopn 14826  df-fg 14828  df-metu 14829  df-cnfld 14836

This theorem is referenced by: (None)