pythagtriplem19 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pythagtriplem19 12973

Description: Lemma for pythagtrip 12974. Introduce

and remove the relative primality requirement. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem19	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem pythagtriplem19**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 12656	. . . . 5 $/\$
2	1	3adant3 1044	. . . 4 $/\$ $/\$
3	2	3ad2ant1 1045	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		nnz 9592	. . . . . . . . . . 11
5		nnz 9592	. . . . . . . . . . 11
6		gcddvds 12652	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
8	7	3adant3 1044	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	simpld 112	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
10	2	nnzd 9695	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
11	2	nnne0d 9278	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
12	4	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
13		dvdsval2 12469	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
15	9, 14	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
16		nnre 9240	. . . . . . . . 9
17	16	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
18	2	nnred 9246	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
19		nngt0 9258	. . . . . . . . 9
20	19	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
21	2	nngt0d 9277	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
22	17, 18, 20, 21	divgt0d 9205	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
23		elnnz 9583	. . . . . . 7 $/\$
24	15, 22, 23	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$
25	24	3ad2ant1 1045	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	8	simprd 114	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
27	5	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28		dvdsval2 12469	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
29	10, 11, 27, 28	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
30	26, 29	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
31		nnre 9240	. . . . . . . . 9
32	31	3ad2ant2 1046	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33		nngt0 9258	. . . . . . . . 9
34	33	3ad2ant2 1046	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
35	32, 18, 34, 21	divgt0d 9205	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
36		elnnz 9583	. . . . . . 7 $/\$
37	30, 35, 36	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$
38	37	3ad2ant1 1045	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdssq 12720	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
40	10, 12, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
41		dvdssq 12720	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
42	10, 27, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
43	40, 42	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	8, 43	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
45	2	nnsqcld 11052	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
46	45	nnzd 9695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
47		nnsqcl 10967	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	47	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
49	48	nnzd 9695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
50		nnsqcl 10967	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
52	51	nnzd 9695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
53		dvds2add 12504	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
54	46, 49, 52, 53	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
55	44, 54	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
57		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	breqtrd 4134	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
59		nnz 9592	. . . . . . . . . . . 12
60	59	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
61		dvdssq 12720	. . . . . . . . . . 11 $/\$
62	10, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
63	62	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
64	58, 63	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
65		dvdsval2 12469	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
66	10, 11, 60, 65	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
67	66	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
68	64, 67	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
69		nnre 9240	. . . . . . . . . 10
70	69	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
71		nngt0 9258	. . . . . . . . . 10
72	71	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
73	70, 18, 72, 21	divgt0d 9205	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
74	73	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
75		elnnz 9583	. . . . . . 7 $/\$
76	68, 74, 75	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	3adant3 1044	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	48	nncnd 9247	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
79	51	nncnd 9247	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
80	45	nncnd 9247	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
81	45	nnap0d 9279	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ #
82	78, 79, 80, 81	divdirapd 9099	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
83	82	3ad2ant1 1045	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		nncn 9241	. . . . . . . . . 10
85	84	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86	2	nncnd 9247	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
87	2	nnap0d 9279	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
88	85, 86, 87	sqdivapd 11044	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	88	3ad2ant1 1045	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		oveq1 6056	. . . . . . . 8
91	90	3ad2ant2 1046	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	89, 91	eqtr4d 2268	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		nncn 9241	. . . . . . . . . 10
94	93	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
95	94, 86, 87	sqdivapd 11044	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96		nncn 9241	. . . . . . . . . 10
97	96	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
98	97, 86, 87	sqdivapd 11044	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99	95, 98	oveq12d 6067	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
100	99	3ad2ant1 1045	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	83, 92, 100	3eqtr4rd 2276	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		gcddiv 12708	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	12, 27, 2, 8, 102	syl31anc 1277	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
104	86, 87	dividapd 9056	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
105	103, 104	eqtr3d 2267	. . . . . 6 $/\$ $/\$
106	105	3ad2ant1 1045	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simp3 1026	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		pythagtriplem18 12972	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	25, 38, 77, 101, 106, 107, 108	syl312anc 1295	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	94, 86, 87	divcanap2d 9062	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
111	110	eqcomd 2238	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
112	97, 86, 87	divcanap2d 9062	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
113	112	eqcomd 2238	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	85, 86, 87	divcanap2d 9062	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	114	eqcomd 2238	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	111, 113, 115	3jca 1204	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	3ad2ant1 1045	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		oveq2 6057	. . . . . . . . . 10
119	118	eqeq2d 2244	. . . . . . . . 9
120	119	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
121		oveq2 6057	. . . . . . . . . 10
122	121	eqeq2d 2244	. . . . . . . . 9
123	122	3ad2ant2 1046	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124		oveq2 6057	. . . . . . . . . 10
125	124	eqeq2d 2244	. . . . . . . . 9
126	125	3ad2ant3 1047	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
127	120, 123, 126	3anbi123d 1349	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	117, 127	syl5ibcom 155	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	reximdv 2643	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	reximdv 2643	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	109, 130	mpd 13	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		oveq1 6056	. . . . . . 7
133	132	eqeq2d 2244	. . . . . 6
134		oveq1 6056	. . . . . . 7
135	134	eqeq2d 2244	. . . . . 6
136		oveq1 6056	. . . . . . 7
137	136	eqeq2d 2244	. . . . . 6
138	133, 135, 137	3anbi123d 1349	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	138	2rexbidv 2567	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	rspcev 2920	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	3, 131, 140	syl2anc 411	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142		rexcom 2707	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143		rexcom 2707	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	143	rexbii 2549	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	142, 144	bitri 184	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	141, 145	sylib 122	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2203

wne 2412

wrex 2521 class class class wbr 4108 (class class class)co 6049

cc 8121

cr 8122

cc0 8123

c1 8124

caddc 8126

cmul 8128

clt 8304

cmin 8440

cdiv 8942

cn 9233

c2 9284

cz 9573

cexp 10896

cdvds 12466

cgcd 12642

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2205 ax-14 2206 ax-ext 2214 ax-coll 4224 ax-sep 4227 ax-nul 4235 ax-pow 4286 ax-pr 4321 ax-un 4553 ax-setind 4658 ax-iinf 4709 ax-cnex 8214 ax-resscn 8215 ax-1cn 8216 ax-1re 8217 ax-icn 8218 ax-addcl 8219 ax-addrcl 8220 ax-mulcl 8221 ax-mulrcl 8222 ax-addcom 8223 ax-mulcom 8224 ax-addass 8225 ax-mulass 8226 ax-distr 8227 ax-i2m1 8228 ax-0lt1 8229 ax-1rid 8230 ax-0id 8231 ax-rnegex 8232 ax-precex 8233 ax-cnre 8234 ax-pre-ltirr 8235 ax-pre-ltwlin 8236 ax-pre-lttrn 8237 ax-pre-apti 8238 ax-pre-ltadd 8239 ax-pre-mulgt0 8240 ax-pre-mulext 8241 ax-arch 8242 ax-caucvg 8243

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-xor 1421 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2083 df-mo 2084 df-clab 2219 df-cleq 2225 df-clel 2228 df-nfc 2373 df-ne 2413 df-nel 2508 df-ral 2525 df-rex 2526 df-reu 2527 df-rmo 2528 df-rab 2529 df-v 2814 df-sbc 3042 df-csb 3138 df-dif 3212 df-un 3214 df-in 3216 df-ss 3223 df-nul 3508 df-if 3620 df-pw 3670 df-sn 3694 df-pr 3695 df-op 3697 df-uni 3914 df-int 3949 df-iun 3992 df-br 4109 df-opab 4171 df-mpt 4172 df-tr 4208 df-id 4413 df-po 4416 df-iso 4417 df-iord 4486 df-on 4488 df-ilim 4489 df-suc 4491 df-iom 4712 df-xp 4754 df-rel 4755 df-cnv 4756 df-co 4757 df-dm 4758 df-rn 4759 df-res 4760 df-ima 4761 df-iota 5311 df-fun 5353 df-fn 5354 df-f 5355 df-f1 5356 df-fo 5357 df-f1o 5358 df-fv 5359 df-riota 6002 df-ov 6052 df-oprab 6053 df-mpo 6054 df-1st 6333 df-2nd 6334 df-recs 6535 df-frec 6621 df-1o 6646 df-2o 6647 df-er 6766 df-en 6975 df-sup 7274 df-pnf 8306 df-mnf 8307 df-xr 8308 df-ltxr 8309 df-le 8310 df-sub 8442 df-neg 8443 df-reap 8845 df-ap 8852 df-div 8943 df-inn 9234 df-2 9292 df-3 9293 df-4 9294 df-n0 9493 df-z 9574 df-uz 9850 df-q 9948 df-rp 9983 df-fz 10339 df-fzo 10473 df-fl 10626 df-mod 10681 df-seqfrec 10806 df-exp 10897 df-cj 11520 df-re 11521 df-im 11522 df-rsqrt 11676 df-abs 11677 df-dvds 12467 df-gcd 12643 df-prm 12798

This theorem is referenced by: pythagtrip 12974

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