pythagtriplem19 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pythagtriplem19 12284

Description: Lemma for pythagtrip 12285. Introduce

and remove the relative primality requirement. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem19	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem pythagtriplem19**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 11970	. . . . 5 $/\$
2	1	3adant3 1017	. . . 4 $/\$ $/\$
3	2	3ad2ant1 1018	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		nnz 9274	. . . . . . . . . . 11
5		nnz 9274	. . . . . . . . . . 11
6		gcddvds 11966	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
8	7	3adant3 1017	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	simpld 112	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
10	2	nnzd 9376	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
11	2	nnne0d 8966	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
12	4	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
13		dvdsval2 11799	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
15	9, 14	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
16		nnre 8928	. . . . . . . . 9
17	16	3ad2ant1 1018	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
18	2	nnred 8934	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
19		nngt0 8946	. . . . . . . . 9
20	19	3ad2ant1 1018	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
21	2	nngt0d 8965	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
22	17, 18, 20, 21	divgt0d 8894	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
23		elnnz 9265	. . . . . . 7 $/\$
24	15, 22, 23	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$
25	24	3ad2ant1 1018	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	8	simprd 114	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
27	5	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28		dvdsval2 11799	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
29	10, 11, 27, 28	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
30	26, 29	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
31		nnre 8928	. . . . . . . . 9
32	31	3ad2ant2 1019	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33		nngt0 8946	. . . . . . . . 9
34	33	3ad2ant2 1019	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
35	32, 18, 34, 21	divgt0d 8894	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
36		elnnz 9265	. . . . . . 7 $/\$
37	30, 35, 36	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$
38	37	3ad2ant1 1018	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdssq 12034	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
40	10, 12, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
41		dvdssq 12034	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
42	10, 27, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
43	40, 42	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	8, 43	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
45	2	nnsqcld 10677	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
46	45	nnzd 9376	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
47		nnsqcl 10592	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	47	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
49	48	nnzd 9376	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
50		nnsqcl 10592	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
52	51	nnzd 9376	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
53		dvds2add 11834	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
54	46, 49, 52, 53	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
55	44, 54	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
57		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	breqtrd 4031	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
59		nnz 9274	. . . . . . . . . . . 12
60	59	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
61		dvdssq 12034	. . . . . . . . . . 11 $/\$
62	10, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
63	62	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
64	58, 63	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
65		dvdsval2 11799	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
66	10, 11, 60, 65	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
67	66	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
68	64, 67	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
69		nnre 8928	. . . . . . . . . 10
70	69	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
71		nngt0 8946	. . . . . . . . . 10
72	71	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
73	70, 18, 72, 21	divgt0d 8894	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
74	73	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
75		elnnz 9265	. . . . . . 7 $/\$
76	68, 74, 75	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	3adant3 1017	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	48	nncnd 8935	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
79	51	nncnd 8935	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
80	45	nncnd 8935	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
81	45	nnap0d 8967	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ #
82	78, 79, 80, 81	divdirapd 8788	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
83	82	3ad2ant1 1018	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		nncn 8929	. . . . . . . . . 10
85	84	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86	2	nncnd 8935	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
87	2	nnap0d 8967	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
88	85, 86, 87	sqdivapd 10669	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	88	3ad2ant1 1018	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		oveq1 5884	. . . . . . . 8
91	90	3ad2ant2 1019	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	89, 91	eqtr4d 2213	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		nncn 8929	. . . . . . . . . 10
94	93	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
95	94, 86, 87	sqdivapd 10669	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96		nncn 8929	. . . . . . . . . 10
97	96	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
98	97, 86, 87	sqdivapd 10669	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99	95, 98	oveq12d 5895	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
100	99	3ad2ant1 1018	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	83, 92, 100	3eqtr4rd 2221	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		gcddiv 12022	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	12, 27, 2, 8, 102	syl31anc 1241	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
104	86, 87	dividapd 8745	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
105	103, 104	eqtr3d 2212	. . . . . 6 $/\$ $/\$
106	105	3ad2ant1 1018	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simp3 999	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		pythagtriplem18 12283	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	25, 38, 77, 101, 106, 107, 108	syl312anc 1259	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	94, 86, 87	divcanap2d 8751	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
111	110	eqcomd 2183	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
112	97, 86, 87	divcanap2d 8751	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
113	112	eqcomd 2183	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	85, 86, 87	divcanap2d 8751	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	114	eqcomd 2183	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	111, 113, 115	3jca 1177	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	3ad2ant1 1018	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		oveq2 5885	. . . . . . . . . 10
119	118	eqeq2d 2189	. . . . . . . . 9
120	119	3ad2ant1 1018	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
121		oveq2 5885	. . . . . . . . . 10
122	121	eqeq2d 2189	. . . . . . . . 9
123	122	3ad2ant2 1019	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124		oveq2 5885	. . . . . . . . . 10
125	124	eqeq2d 2189	. . . . . . . . 9
126	125	3ad2ant3 1020	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
127	120, 123, 126	3anbi123d 1312	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	117, 127	syl5ibcom 155	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	reximdv 2578	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	reximdv 2578	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	109, 130	mpd 13	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		oveq1 5884	. . . . . . 7
133	132	eqeq2d 2189	. . . . . 6
134		oveq1 5884	. . . . . . 7
135	134	eqeq2d 2189	. . . . . 6
136		oveq1 5884	. . . . . . 7
137	136	eqeq2d 2189	. . . . . 6
138	133, 135, 137	3anbi123d 1312	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	138	2rexbidv 2502	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	rspcev 2843	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	3, 131, 140	syl2anc 411	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142		rexcom 2641	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143		rexcom 2641	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	143	rexbii 2484	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	142, 144	bitri 184	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	141, 145	sylib 122	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2148

wne 2347

wrex 2456 class class class wbr 4005 (class class class)co 5877

cc 7811

cr 7812

cc0 7813

c1 7814

caddc 7816

cmul 7818

clt 7994

cmin 8130

cdiv 8631

cn 8921

c2 8972

cz 9255

cexp 10521

cdvds 11796

cgcd 11945

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-mulrcl 7912 ax-addcom 7913 ax-mulcom 7914 ax-addass 7915 ax-mulass 7916 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-1rid 7920 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-precex 7923 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltwlin 7926 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-apti 7928 ax-pre-ltadd 7929 ax-pre-mulgt0 7930 ax-pre-mulext 7931 ax-arch 7932 ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-xor 1376 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-1st 6143 df-2nd 6144 df-recs 6308 df-frec 6394 df-1o 6419 df-2o 6420 df-er 6537 df-en 6743 df-sup 6985 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-xr 7998 df-ltxr 7999 df-le 8000 df-sub 8132 df-neg 8133 df-reap 8534 df-ap 8541 df-div 8632 df-inn 8922 df-2 8980 df-3 8981 df-4 8982 df-n0 9179 df-z 9256 df-uz 9531 df-q 9622 df-rp 9656 df-fz 10011 df-fzo 10145 df-fl 10272 df-mod 10325 df-seqfrec 10448 df-exp 10522 df-cj 10853 df-re 10854 df-im 10855 df-rsqrt 11009 df-abs 11010 df-dvds 11797 df-gcd 11946 df-prm 12110

This theorem is referenced by: pythagtrip 12285

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