pythagtriplem19 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pythagtriplem19 12826

Description: Lemma for pythagtrip 12827. Introduce

and remove the relative primality requirement. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem19	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem pythagtriplem19**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 12509	. . . . 5 $/\$
2	1	3adant3 1041	. . . 4 $/\$ $/\$
3	2	3ad2ant1 1042	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		nnz 9481	. . . . . . . . . . 11
5		nnz 9481	. . . . . . . . . . 11
6		gcddvds 12505	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
8	7	3adant3 1041	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	simpld 112	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
10	2	nnzd 9584	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
11	2	nnne0d 9171	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
12	4	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
13		dvdsval2 12322	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
15	9, 14	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
16		nnre 9133	. . . . . . . . 9
17	16	3ad2ant1 1042	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
18	2	nnred 9139	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
19		nngt0 9151	. . . . . . . . 9
20	19	3ad2ant1 1042	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
21	2	nngt0d 9170	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
22	17, 18, 20, 21	divgt0d 9098	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
23		elnnz 9472	. . . . . . 7 $/\$
24	15, 22, 23	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$
25	24	3ad2ant1 1042	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	8	simprd 114	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
27	5	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28		dvdsval2 12322	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
29	10, 11, 27, 28	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
30	26, 29	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
31		nnre 9133	. . . . . . . . 9
32	31	3ad2ant2 1043	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33		nngt0 9151	. . . . . . . . 9
34	33	3ad2ant2 1043	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
35	32, 18, 34, 21	divgt0d 9098	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
36		elnnz 9472	. . . . . . 7 $/\$
37	30, 35, 36	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$
38	37	3ad2ant1 1042	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdssq 12573	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
40	10, 12, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
41		dvdssq 12573	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
42	10, 27, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
43	40, 42	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	8, 43	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
45	2	nnsqcld 10933	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
46	45	nnzd 9584	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
47		nnsqcl 10848	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	47	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
49	48	nnzd 9584	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
50		nnsqcl 10848	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
52	51	nnzd 9584	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
53		dvds2add 12357	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
54	46, 49, 52, 53	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
55	44, 54	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
57		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	breqtrd 4109	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
59		nnz 9481	. . . . . . . . . . . 12
60	59	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
61		dvdssq 12573	. . . . . . . . . . 11 $/\$
62	10, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
63	62	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
64	58, 63	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
65		dvdsval2 12322	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
66	10, 11, 60, 65	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
67	66	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
68	64, 67	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
69		nnre 9133	. . . . . . . . . 10
70	69	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
71		nngt0 9151	. . . . . . . . . 10
72	71	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
73	70, 18, 72, 21	divgt0d 9098	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
74	73	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
75		elnnz 9472	. . . . . . 7 $/\$
76	68, 74, 75	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	3adant3 1041	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	48	nncnd 9140	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
79	51	nncnd 9140	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
80	45	nncnd 9140	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
81	45	nnap0d 9172	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ #
82	78, 79, 80, 81	divdirapd 8992	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
83	82	3ad2ant1 1042	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		nncn 9134	. . . . . . . . . 10
85	84	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86	2	nncnd 9140	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
87	2	nnap0d 9172	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
88	85, 86, 87	sqdivapd 10925	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	88	3ad2ant1 1042	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		oveq1 6017	. . . . . . . 8
91	90	3ad2ant2 1043	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	89, 91	eqtr4d 2265	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		nncn 9134	. . . . . . . . . 10
94	93	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
95	94, 86, 87	sqdivapd 10925	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96		nncn 9134	. . . . . . . . . 10
97	96	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
98	97, 86, 87	sqdivapd 10925	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99	95, 98	oveq12d 6028	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
100	99	3ad2ant1 1042	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	83, 92, 100	3eqtr4rd 2273	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		gcddiv 12561	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	12, 27, 2, 8, 102	syl31anc 1274	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
104	86, 87	dividapd 8949	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
105	103, 104	eqtr3d 2264	. . . . . 6 $/\$ $/\$
106	105	3ad2ant1 1042	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simp3 1023	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		pythagtriplem18 12825	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	25, 38, 77, 101, 106, 107, 108	syl312anc 1292	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	94, 86, 87	divcanap2d 8955	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
111	110	eqcomd 2235	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
112	97, 86, 87	divcanap2d 8955	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
113	112	eqcomd 2235	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	85, 86, 87	divcanap2d 8955	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	114	eqcomd 2235	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	111, 113, 115	3jca 1201	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	3ad2ant1 1042	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		oveq2 6018	. . . . . . . . . 10
119	118	eqeq2d 2241	. . . . . . . . 9
120	119	3ad2ant1 1042	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
121		oveq2 6018	. . . . . . . . . 10
122	121	eqeq2d 2241	. . . . . . . . 9
123	122	3ad2ant2 1043	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124		oveq2 6018	. . . . . . . . . 10
125	124	eqeq2d 2241	. . . . . . . . 9
126	125	3ad2ant3 1044	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
127	120, 123, 126	3anbi123d 1346	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	117, 127	syl5ibcom 155	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	reximdv 2631	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	reximdv 2631	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	109, 130	mpd 13	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		oveq1 6017	. . . . . . 7
133	132	eqeq2d 2241	. . . . . 6
134		oveq1 6017	. . . . . . 7
135	134	eqeq2d 2241	. . . . . 6
136		oveq1 6017	. . . . . . 7
137	136	eqeq2d 2241	. . . . . 6
138	133, 135, 137	3anbi123d 1346	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	138	2rexbidv 2555	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	rspcev 2907	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	3, 131, 140	syl2anc 411	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142		rexcom 2695	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143		rexcom 2695	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	143	rexbii 2537	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	142, 144	bitri 184	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	141, 145	sylib 122	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

wne 2400

wrex 2509 class class class wbr 4083 (class class class)co 6010

cc 8013

cr 8014

cc0 8015

c1 8016

caddc 8018

cmul 8020

clt 8197

cmin 8333

cdiv 8835

cn 9126

c2 9177

cz 9462

cexp 10777

cdvds 12319

cgcd 12495

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4259 ax-pr 4294 ax-un 4525 ax-setind 4630 ax-iinf 4681 ax-cnex 8106 ax-resscn 8107 ax-1cn 8108 ax-1re 8109 ax-icn 8110 ax-addcl 8111 ax-addrcl 8112 ax-mulcl 8113 ax-mulrcl 8114 ax-addcom 8115 ax-mulcom 8116 ax-addass 8117 ax-mulass 8118 ax-distr 8119 ax-i2m1 8120 ax-0lt1 8121 ax-1rid 8122 ax-0id 8123 ax-rnegex 8124 ax-precex 8125 ax-cnre 8126 ax-pre-ltirr 8127 ax-pre-ltwlin 8128 ax-pre-lttrn 8129 ax-pre-apti 8130 ax-pre-ltadd 8131 ax-pre-mulgt0 8132 ax-pre-mulext 8133 ax-arch 8134 ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-xor 1418 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4385 df-po 4388 df-iso 4389 df-iord 4458 df-on 4460 df-ilim 4461 df-suc 4463 df-iom 4684 df-xp 4726 df-rel 4727 df-cnv 4728 df-co 4729 df-dm 4730 df-rn 4731 df-res 4732 df-ima 4733 df-iota 5281 df-fun 5323 df-fn 5324 df-f 5325 df-f1 5326 df-fo 5327 df-f1o 5328 df-fv 5329 df-riota 5963 df-ov 6013 df-oprab 6014 df-mpo 6015 df-1st 6295 df-2nd 6296 df-recs 6462 df-frec 6548 df-1o 6573 df-2o 6574 df-er 6693 df-en 6901 df-sup 7167 df-pnf 8199 df-mnf 8200 df-xr 8201 df-ltxr 8202 df-le 8203 df-sub 8335 df-neg 8336 df-reap 8738 df-ap 8745 df-div 8836 df-inn 9127 df-2 9185 df-3 9186 df-4 9187 df-n0 9386 df-z 9463 df-uz 9739 df-q 9832 df-rp 9867 df-fz 10222 df-fzo 10356 df-fl 10507 df-mod 10562 df-seqfrec 10687 df-exp 10778 df-cj 11374 df-re 11375 df-im 11376 df-rsqrt 11530 df-abs 11531 df-dvds 12320 df-gcd 12496 df-prm 12651

This theorem is referenced by: pythagtrip 12827

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