Theorem pythagtriplem19 12649

Description: Lemma for pythagtrip 12650. Introduce k and remove the relative primality requirement. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem19	|- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, n, k   B, m, n, k   C, m, n, k

Proof of Theorem pythagtriplem19

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 12332	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A gcd B ) e. NN )
2	1	3adant3 1020	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A gcd B ) e. NN )
3	2	3ad2ant1 1021	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( A gcd B ) e. NN )
4		nnz 9398	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
5		nnz 9398	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
6		gcddvds 12328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
8	7	3adant3 1020	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
9	8	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A gcd B ) || A )
10	2	nnzd 9501	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
11	2	nnne0d 9088	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A gcd B ) =/= 0 )
12	4	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A e. ZZ )
13		dvdsval2 12145	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ ( A gcd B ) =/= 0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A <-> ( A / ( A gcd B ) ) e. ZZ ) )
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) || A <-> ( A / ( A gcd B ) ) e. ZZ ) )
15	9, 14	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A / ( A gcd B ) ) e. ZZ )
16		nnre 9050	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> A e. RR )
17	16	3ad2ant1 1021	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A e. RR )
18	2	nnred 9056	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A gcd B ) e. RR )
19		nngt0 9068	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> 0 < A )
20	19	3ad2ant1 1021	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < A )
21	2	nngt0d 9087	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < ( A gcd B ) )
22	17, 18, 20, 21	divgt0d 9015	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < ( A / ( A gcd B ) ) )
23		elnnz 9389	. . . . . . 7 |- ( ( A / ( A gcd B ) ) e. NN <-> ( ( A / ( A gcd B ) ) e. ZZ /\ 0 < ( A / ( A gcd B ) ) ) )
24	15, 22, 23	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A / ( A gcd B ) ) e. NN )
25	24	3ad2ant1 1021	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( A / ( A gcd B ) ) e. NN )
26	8	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A gcd B ) || B )
27	5	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. ZZ )
28		dvdsval2 12145	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ ( A gcd B ) =/= 0 /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || B <-> ( B / ( A gcd B ) ) e. ZZ ) )
29	10, 11, 27, 28	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) || B <-> ( B / ( A gcd B ) ) e. ZZ ) )
30	26, 29	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( B / ( A gcd B ) ) e. ZZ )
31		nnre 9050	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> B e. RR )
32	31	3ad2ant2 1022	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. RR )
33		nngt0 9068	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> 0 < B )
34	33	3ad2ant2 1022	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < B )
35	32, 18, 34, 21	divgt0d 9015	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < ( B / ( A gcd B ) ) )
36		elnnz 9389	. . . . . . 7 |- ( ( B / ( A gcd B ) ) e. NN <-> ( ( B / ( A gcd B ) ) e. ZZ /\ 0 < ( B / ( A gcd B ) ) ) )
37	30, 35, 36	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( B / ( A gcd B ) ) e. NN )
38	37	3ad2ant1 1021	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( B / ( A gcd B ) ) e. NN )
39		dvdssq 12396	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A <-> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) ) )
40	10, 12, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) || A <-> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) ) )
41		dvdssq 12396	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || B <-> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) ) )
42	10, 27, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) || B <-> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) ) )
43	40, 42	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) <-> ( ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) ) ) )
44	8, 43	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) ) )
45	2	nnsqcld 10846	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) e. NN )
46	45	nnzd 9501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) e. ZZ )
47		nnsqcl 10761	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. NN -> ( A ^ 2 ) e. NN )
48	47	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. NN )
49	48	nnzd 9501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
50		nnsqcl 10761	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. NN -> ( B ^ 2 ) e. NN )
51	50	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. NN )
52	51	nnzd 9501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
53		dvds2add 12180	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A gcd B ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. ZZ /\ ( B ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) ) -> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) ) )
54	46, 49, 52, 53	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) ) -> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) ) )
55	44, 54	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
57		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) )
58	56, 57	breqtrd 4073	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( C ^ 2 ) )
59		nnz 9398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. NN -> C e. ZZ )
60	59	3ad2ant3 1023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. ZZ )
61		dvdssq 12396	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || C <-> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( C ^ 2 ) ) )
62	10, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) || C <-> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( C ^ 2 ) ) )
63	62	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( ( A gcd B ) || C <-> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( C ^ 2 ) ) )
64	58, 63	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( A gcd B ) || C )
65		dvdsval2 12145	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ ( A gcd B ) =/= 0 /\ C e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || C <-> ( C / ( A gcd B ) ) e. ZZ ) )
66	10, 11, 60, 65	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) || C <-> ( C / ( A gcd B ) ) e. ZZ ) )
67	66	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( ( A gcd B ) || C <-> ( C / ( A gcd B ) ) e. ZZ ) )
68	64, 67	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( C / ( A gcd B ) ) e. ZZ )
69		nnre 9050	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. NN -> C e. RR )
70	69	3ad2ant3 1023	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. RR )
71		nngt0 9068	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. NN -> 0 < C )
72	71	3ad2ant3 1023	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < C )
73	70, 18, 72, 21	divgt0d 9015	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < ( C / ( A gcd B ) ) )
74	73	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> 0 < ( C / ( A gcd B ) ) )
75		elnnz 9389	. . . . . . 7 |- ( ( C / ( A gcd B ) ) e. NN <-> ( ( C / ( A gcd B ) ) e. ZZ /\ 0 < ( C / ( A gcd B ) ) ) )
76	68, 74, 75	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( C / ( A gcd B ) ) e. NN )
77	76	3adant3 1020	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( C / ( A gcd B ) ) e. NN )
78	48	nncnd 9057	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
79	51	nncnd 9057	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
80	45	nncnd 9057	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) e. CC )
81	45	nnap0d 9089	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) # 0 )
82	78, 79, 80, 81	divdirapd 8909	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) ) )
83	82	3ad2ant1 1021	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) ) )
84		nncn 9051	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. NN -> C e. CC )
85	84	3ad2ant3 1023	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. CC )
86	2	nncnd 9057	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A gcd B ) e. CC )
87	2	nnap0d 9089	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A gcd B ) # 0 )
88	85, 86, 87	sqdivapd 10838	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( C / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) = ( ( C ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) )
89	88	3ad2ant1 1021	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( ( C / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) = ( ( C ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) )
90		oveq1 5958	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) = ( ( C ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) )
91	90	3ad2ant2 1022	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) = ( ( C ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) )
92	89, 91	eqtr4d 2242	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( ( C / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) )
93		nncn 9051	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> A e. CC )
94	93	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A e. CC )
95	94, 86, 87	sqdivapd 10838	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) = ( ( A ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) )
96		nncn 9051	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. NN -> B e. CC )
97	96	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. CC )
98	97, 86, 87	sqdivapd 10838	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( B / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) = ( ( B ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) )
99	95, 98	oveq12d 5969	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( ( A / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) + ( ( B / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) ) )
100	99	3ad2ant1 1021	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( ( ( A / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) + ( ( B / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) ) )
101	83, 92, 100	3eqtr4rd 2250	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( ( ( A / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) + ( ( B / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) ) = ( ( C / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) )
102		gcddiv 12384	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ ( A gcd B ) e. NN ) /\ ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) ) -> ( ( A gcd B ) / ( A gcd B ) ) = ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) )
103	12, 27, 2, 8, 102	syl31anc 1253	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) / ( A gcd B ) ) = ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) )
104	86, 87	dividapd 8866	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) / ( A gcd B ) ) = 1 )
105	103, 104	eqtr3d 2241	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 )
106	105	3ad2ant1 1021	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 )
107		simp3 1002	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) )
108		pythagtriplem18 12648	. . . . 5 |- ( ( ( ( A / ( A gcd B ) ) e. NN /\ ( B / ( A gcd B ) ) e. NN /\ ( C / ( A gcd B ) ) e. NN ) /\ ( ( ( A / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) + ( ( B / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) ) = ( ( C / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) /\ ( ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN ( ( A / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ ( B / ( A gcd B ) ) = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ ( C / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) )
109	25, 38, 77, 101, 106, 107, 108	syl312anc 1271	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN ( ( A / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ ( B / ( A gcd B ) ) = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ ( C / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) )
110	94, 86, 87	divcanap2d 8872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) x. ( A / ( A gcd B ) ) ) = A )
111	110	eqcomd 2212	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A = ( ( A gcd B ) x. ( A / ( A gcd B ) ) ) )
112	97, 86, 87	divcanap2d 8872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) x. ( B / ( A gcd B ) ) ) = B )
113	112	eqcomd 2212	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B = ( ( A gcd B ) x. ( B / ( A gcd B ) ) ) )
114	85, 86, 87	divcanap2d 8872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) x. ( C / ( A gcd B ) ) ) = C )
115	114	eqcomd 2212	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C = ( ( A gcd B ) x. ( C / ( A gcd B ) ) ) )
116	111, 113, 115	3jca 1180	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A = ( ( A gcd B ) x. ( A / ( A gcd B ) ) ) /\ B = ( ( A gcd B ) x. ( B / ( A gcd B ) ) ) /\ C = ( ( A gcd B ) x. ( C / ( A gcd B ) ) ) ) )
117	116	3ad2ant1 1021	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( A = ( ( A gcd B ) x. ( A / ( A gcd B ) ) ) /\ B = ( ( A gcd B ) x. ( B / ( A gcd B ) ) ) /\ C = ( ( A gcd B ) x. ( C / ( A gcd B ) ) ) ) )
118		oveq2 5959	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) -> ( ( A gcd B ) x. ( A / ( A gcd B ) ) ) = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) )
119	118	eqeq2d 2218	. . . . . . . . 9 |- ( ( A / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) -> ( A = ( ( A gcd B ) x. ( A / ( A gcd B ) ) ) <-> A = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) )
120	119	3ad2ant1 1021	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ ( B / ( A gcd B ) ) = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ ( C / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) -> ( A = ( ( A gcd B ) x. ( A / ( A gcd B ) ) ) <-> A = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) )
121		oveq2 5959	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B / ( A gcd B ) ) = ( 2 x. ( m x. n ) ) -> ( ( A gcd B ) x. ( B / ( A gcd B ) ) ) = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) )
122	121	eqeq2d 2218	. . . . . . . . 9 |- ( ( B / ( A gcd B ) ) = ( 2 x. ( m x. n ) ) -> ( B = ( ( A gcd B ) x. ( B / ( A gcd B ) ) ) <-> B = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) )
123	122	3ad2ant2 1022	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ ( B / ( A gcd B ) ) = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ ( C / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) -> ( B = ( ( A gcd B ) x. ( B / ( A gcd B ) ) ) <-> B = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) )
124		oveq2 5959	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) -> ( ( A gcd B ) x. ( C / ( A gcd B ) ) ) = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) )
125	124	eqeq2d 2218	. . . . . . . . 9 |- ( ( C / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) -> ( C = ( ( A gcd B ) x. ( C / ( A gcd B ) ) ) <-> C = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
126	125	3ad2ant3 1023	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ ( B / ( A gcd B ) ) = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ ( C / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) -> ( C = ( ( A gcd B ) x. ( C / ( A gcd B ) ) ) <-> C = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
127	120, 123, 126	3anbi123d 1325	. . . . . . 7 |- ( ( ( A / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ ( B / ( A gcd B ) ) = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ ( C / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) -> ( ( A = ( ( A gcd B ) x. ( A / ( A gcd B ) ) ) /\ B = ( ( A gcd B ) x. ( B / ( A gcd B ) ) ) /\ C = ( ( A gcd B ) x. ( C / ( A gcd B ) ) ) ) <-> ( A = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
128	117, 127	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( ( ( A / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ ( B / ( A gcd B ) ) = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ ( C / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) -> ( A = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
129	128	reximdv 2608	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( E. m e. NN ( ( A / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ ( B / ( A gcd B ) ) = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ ( C / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) -> E. m e. NN ( A = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
130	129	reximdv 2608	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( E. n e. NN E. m e. NN ( ( A / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ ( B / ( A gcd B ) ) = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ ( C / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
131	109, 130	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
132		oveq1 5958	. . . . . . 7 |- ( k = ( A gcd B ) -> ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) )
133	132	eqeq2d 2218	. . . . . 6 |- ( k = ( A gcd B ) -> ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) <-> A = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) )
134		oveq1 5958	. . . . . . 7 |- ( k = ( A gcd B ) -> ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) )
135	134	eqeq2d 2218	. . . . . 6 |- ( k = ( A gcd B ) -> ( B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) <-> B = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) )
136		oveq1 5958	. . . . . . 7 |- ( k = ( A gcd B ) -> ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) )
137	136	eqeq2d 2218	. . . . . 6 |- ( k = ( A gcd B ) -> ( C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) <-> C = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
138	133, 135, 137	3anbi123d 1325	. . . . 5 |- ( k = ( A gcd B ) -> ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> ( A = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
139	138	2rexbidv 2532	. . . 4 |- ( k = ( A gcd B ) -> ( E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
140	139	rspcev 2878	. . 3 |- ( ( ( A gcd B ) e. NN /\ E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) -> E. k e. NN E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
141	3, 131, 140	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> E. k e. NN E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
142		rexcom 2671	. . 3 |- ( E. k e. NN E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> E. n e. NN E. k e. NN E. m e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
143		rexcom 2671	. . . 4 |- ( E. k e. NN E. m e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
144	143	rexbii 2514	. . 3 |- ( E. n e. NN E. k e. NN E. m e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
145	142, 144	bitri 184	. 2 |- ( E. k e. NN E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
146	141, 145	sylib 122	1 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   E.wrex 2486   class class class wbr 4047  (class class class)co 5951   CCcc 7930   RRcr 7931   0cc0 7932   1c1 7933   + caddc 7935   x. cmul 7937   < clt 8114   - cmin 8250   / cdiv 8752   NNcn 9043   2c2 9094   ZZcz 9379   ^cexp 10690   || cdvds 12142   gcd cgcd 12318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-1o 6509  df-2o 6510  df-er 6627  df-en 6835  df-sup 7093  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-fl 10420  df-mod 10475  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-dvds 12143  df-gcd 12319  df-prm 12474

This theorem is referenced by:  pythagtrip  12650