pythagtriplem19 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pythagtriplem19 12476

Description: Lemma for pythagtrip 12477. Introduce

and remove the relative primality requirement. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem19	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem pythagtriplem19**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 12159	. . . . 5 $/\$
2	1	3adant3 1019	. . . 4 $/\$ $/\$
3	2	3ad2ant1 1020	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		nnz 9362	. . . . . . . . . . 11
5		nnz 9362	. . . . . . . . . . 11
6		gcddvds 12155	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
8	7	3adant3 1019	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	simpld 112	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
10	2	nnzd 9464	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
11	2	nnne0d 9052	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
12	4	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
13		dvdsval2 11972	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
15	9, 14	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
16		nnre 9014	. . . . . . . . 9
17	16	3ad2ant1 1020	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
18	2	nnred 9020	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
19		nngt0 9032	. . . . . . . . 9
20	19	3ad2ant1 1020	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
21	2	nngt0d 9051	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
22	17, 18, 20, 21	divgt0d 8979	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
23		elnnz 9353	. . . . . . 7 $/\$
24	15, 22, 23	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$
25	24	3ad2ant1 1020	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	8	simprd 114	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
27	5	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28		dvdsval2 11972	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
29	10, 11, 27, 28	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
30	26, 29	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
31		nnre 9014	. . . . . . . . 9
32	31	3ad2ant2 1021	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33		nngt0 9032	. . . . . . . . 9
34	33	3ad2ant2 1021	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
35	32, 18, 34, 21	divgt0d 8979	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
36		elnnz 9353	. . . . . . 7 $/\$
37	30, 35, 36	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$
38	37	3ad2ant1 1020	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdssq 12223	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
40	10, 12, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
41		dvdssq 12223	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
42	10, 27, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
43	40, 42	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	8, 43	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
45	2	nnsqcld 10803	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
46	45	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
47		nnsqcl 10718	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	47	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
49	48	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
50		nnsqcl 10718	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
52	51	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
53		dvds2add 12007	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
54	46, 49, 52, 53	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
55	44, 54	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
57		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	breqtrd 4060	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
59		nnz 9362	. . . . . . . . . . . 12
60	59	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
61		dvdssq 12223	. . . . . . . . . . 11 $/\$
62	10, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
63	62	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
64	58, 63	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
65		dvdsval2 11972	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
66	10, 11, 60, 65	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
67	66	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
68	64, 67	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
69		nnre 9014	. . . . . . . . . 10
70	69	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
71		nngt0 9032	. . . . . . . . . 10
72	71	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
73	70, 18, 72, 21	divgt0d 8979	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
74	73	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
75		elnnz 9353	. . . . . . 7 $/\$
76	68, 74, 75	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	3adant3 1019	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	48	nncnd 9021	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
79	51	nncnd 9021	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
80	45	nncnd 9021	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
81	45	nnap0d 9053	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ #
82	78, 79, 80, 81	divdirapd 8873	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
83	82	3ad2ant1 1020	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		nncn 9015	. . . . . . . . . 10
85	84	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86	2	nncnd 9021	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
87	2	nnap0d 9053	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
88	85, 86, 87	sqdivapd 10795	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	88	3ad2ant1 1020	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		oveq1 5932	. . . . . . . 8
91	90	3ad2ant2 1021	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	89, 91	eqtr4d 2232	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		nncn 9015	. . . . . . . . . 10
94	93	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
95	94, 86, 87	sqdivapd 10795	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96		nncn 9015	. . . . . . . . . 10
97	96	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
98	97, 86, 87	sqdivapd 10795	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99	95, 98	oveq12d 5943	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
100	99	3ad2ant1 1020	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	83, 92, 100	3eqtr4rd 2240	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		gcddiv 12211	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	12, 27, 2, 8, 102	syl31anc 1252	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
104	86, 87	dividapd 8830	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
105	103, 104	eqtr3d 2231	. . . . . 6 $/\$ $/\$
106	105	3ad2ant1 1020	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simp3 1001	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		pythagtriplem18 12475	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	25, 38, 77, 101, 106, 107, 108	syl312anc 1270	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	94, 86, 87	divcanap2d 8836	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
111	110	eqcomd 2202	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
112	97, 86, 87	divcanap2d 8836	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
113	112	eqcomd 2202	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	85, 86, 87	divcanap2d 8836	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	114	eqcomd 2202	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	111, 113, 115	3jca 1179	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	3ad2ant1 1020	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		oveq2 5933	. . . . . . . . . 10
119	118	eqeq2d 2208	. . . . . . . . 9
120	119	3ad2ant1 1020	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
121		oveq2 5933	. . . . . . . . . 10
122	121	eqeq2d 2208	. . . . . . . . 9
123	122	3ad2ant2 1021	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124		oveq2 5933	. . . . . . . . . 10
125	124	eqeq2d 2208	. . . . . . . . 9
126	125	3ad2ant3 1022	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
127	120, 123, 126	3anbi123d 1323	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	117, 127	syl5ibcom 155	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	reximdv 2598	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	reximdv 2598	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	109, 130	mpd 13	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		oveq1 5932	. . . . . . 7
133	132	eqeq2d 2208	. . . . . 6
134		oveq1 5932	. . . . . . 7
135	134	eqeq2d 2208	. . . . . 6
136		oveq1 5932	. . . . . . 7
137	136	eqeq2d 2208	. . . . . 6
138	133, 135, 137	3anbi123d 1323	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	138	2rexbidv 2522	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	rspcev 2868	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	3, 131, 140	syl2anc 411	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142		rexcom 2661	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143		rexcom 2661	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	143	rexbii 2504	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	142, 144	bitri 184	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	141, 145	sylib 122	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2167

wne 2367

wrex 2476 class class class wbr 4034 (class class class)co 5925

cc 7894

cr 7895

cc0 7896

c1 7897

caddc 7899

cmul 7901

clt 8078

cmin 8214

cdiv 8716

cn 9007

c2 9058

cz 9343

cexp 10647

cdvds 11969

cgcd 12145

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7987 ax-resscn 7988 ax-1cn 7989 ax-1re 7990 ax-icn 7991 ax-addcl 7992 ax-addrcl 7993 ax-mulcl 7994 ax-mulrcl 7995 ax-addcom 7996 ax-mulcom 7997 ax-addass 7998 ax-mulass 7999 ax-distr 8000 ax-i2m1 8001 ax-0lt1 8002 ax-1rid 8003 ax-0id 8004 ax-rnegex 8005 ax-precex 8006 ax-cnre 8007 ax-pre-ltirr 8008 ax-pre-ltwlin 8009 ax-pre-lttrn 8010 ax-pre-apti 8011 ax-pre-ltadd 8012 ax-pre-mulgt0 8013 ax-pre-mulext 8014 ax-arch 8015 ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-xor 1387 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-frec 6458 df-1o 6483 df-2o 6484 df-er 6601 df-en 6809 df-sup 7059 df-pnf 8080 df-mnf 8081 df-xr 8082 df-ltxr 8083 df-le 8084 df-sub 8216 df-neg 8217 df-reap 8619 df-ap 8626 df-div 8717 df-inn 9008 df-2 9066 df-3 9067 df-4 9068 df-n0 9267 df-z 9344 df-uz 9619 df-q 9711 df-rp 9746 df-fz 10101 df-fzo 10235 df-fl 10377 df-mod 10432 df-seqfrec 10557 df-exp 10648 df-cj 11024 df-re 11025 df-im 11026 df-rsqrt 11180 df-abs 11181 df-dvds 11970 df-gcd 12146 df-prm 12301

This theorem is referenced by: pythagtrip 12477

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