pythagtriplem19 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pythagtriplem19 13044

Description: Lemma for pythagtrip 13045. Introduce

and remove the relative primality requirement. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem19	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem pythagtriplem19**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 12727	. . . . 5 $/\$
2	1	3adant3 1048	. . . 4 $/\$ $/\$
3	2	3ad2ant1 1049	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		nnz 9646	. . . . . . . . . . 11
5		nnz 9646	. . . . . . . . . . 11
6		gcddvds 12723	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
8	7	3adant3 1048	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	simpld 112	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
10	2	nnzd 9750	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
11	2	nnne0d 9332	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
12	4	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
13		dvdsval2 12540	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
15	9, 14	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
16		nnre 9294	. . . . . . . . 9
17	16	3ad2ant1 1049	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
18	2	nnred 9300	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
19		nngt0 9312	. . . . . . . . 9
20	19	3ad2ant1 1049	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
21	2	nngt0d 9331	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
22	17, 18, 20, 21	divgt0d 9259	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
23		elnnz 9637	. . . . . . 7 $/\$
24	15, 22, 23	sylanbrc 421	. . . . . 6 $/\$ $/\$
25	24	3ad2ant1 1049	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	8	simprd 114	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
27	5	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28		dvdsval2 12540	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
29	10, 11, 27, 28	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
30	26, 29	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
31		nnre 9294	. . . . . . . . 9
32	31	3ad2ant2 1050	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33		nngt0 9312	. . . . . . . . 9
34	33	3ad2ant2 1050	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
35	32, 18, 34, 21	divgt0d 9259	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
36		elnnz 9637	. . . . . . 7 $/\$
37	30, 35, 36	sylanbrc 421	. . . . . 6 $/\$ $/\$
38	37	3ad2ant1 1049	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdssq 12791	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
40	10, 12, 39	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
41		dvdssq 12791	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
42	10, 27, 41	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
43	40, 42	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	8, 43	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
45	2	nnsqcld 11115	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
46	45	nnzd 9750	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
47		nnsqcl 11029	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	47	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
49	48	nnzd 9750	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
50		nnsqcl 11029	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
52	51	nnzd 9750	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
53		dvds2add 12575	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
54	46, 49, 52, 53	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
55	44, 54	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
57		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	breqtrd 4154	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
59		nnz 9646	. . . . . . . . . . . 12
60	59	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
61		dvdssq 12791	. . . . . . . . . . 11 $/\$
62	10, 60, 61	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
63	62	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
64	58, 63	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
65		dvdsval2 12540	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
66	10, 11, 60, 65	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
67	66	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
68	64, 67	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
69		nnre 9294	. . . . . . . . . 10
70	69	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
71		nngt0 9312	. . . . . . . . . 10
72	71	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
73	70, 18, 72, 21	divgt0d 9259	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
74	73	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
75		elnnz 9637	. . . . . . 7 $/\$
76	68, 74, 75	sylanbrc 421	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	3adant3 1048	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	48	nncnd 9301	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
79	51	nncnd 9301	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
80	45	nncnd 9301	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
81	45	nnap0d 9333	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ #
82	78, 79, 80, 81	divdirapd 9153	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
83	82	3ad2ant1 1049	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		nncn 9295	. . . . . . . . . 10
85	84	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86	2	nncnd 9301	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
87	2	nnap0d 9333	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
88	85, 86, 87	sqdivapd 11107	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	88	3ad2ant1 1049	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		oveq1 6086	. . . . . . . 8
91	90	3ad2ant2 1050	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	89, 91	eqtr4d 2274	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		nncn 9295	. . . . . . . . . 10
94	93	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
95	94, 86, 87	sqdivapd 11107	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96		nncn 9295	. . . . . . . . . 10
97	96	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
98	97, 86, 87	sqdivapd 11107	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99	95, 98	oveq12d 6097	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
100	99	3ad2ant1 1049	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	83, 92, 100	3eqtr4rd 2282	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		gcddiv 12779	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	12, 27, 2, 8, 102	syl31anc 1281	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
104	86, 87	dividapd 9110	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
105	103, 104	eqtr3d 2273	. . . . . 6 $/\$ $/\$
106	105	3ad2ant1 1049	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simp3 1030	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		pythagtriplem18 13043	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	25, 38, 77, 101, 106, 107, 108	syl312anc 1299	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	94, 86, 87	divcanap2d 9116	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
111	110	eqcomd 2244	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
112	97, 86, 87	divcanap2d 9116	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
113	112	eqcomd 2244	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	85, 86, 87	divcanap2d 9116	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	114	eqcomd 2244	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	111, 113, 115	3jca 1208	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	3ad2ant1 1049	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		oveq2 6087	. . . . . . . . . 10
119	118	eqeq2d 2250	. . . . . . . . 9
120	119	3ad2ant1 1049	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
121		oveq2 6087	. . . . . . . . . 10
122	121	eqeq2d 2250	. . . . . . . . 9
123	122	3ad2ant2 1050	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124		oveq2 6087	. . . . . . . . . 10
125	124	eqeq2d 2250	. . . . . . . . 9
126	125	3ad2ant3 1051	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
127	120, 123, 126	3anbi123d 1353	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	117, 127	syl5ibcom 155	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	reximdv 2651	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	reximdv 2651	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	109, 130	mpd 13	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		oveq1 6086	. . . . . . 7
133	132	eqeq2d 2250	. . . . . 6
134		oveq1 6086	. . . . . . 7
135	134	eqeq2d 2250	. . . . . 6
136		oveq1 6086	. . . . . . 7
137	136	eqeq2d 2250	. . . . . 6
138	133, 135, 137	3anbi123d 1353	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	138	2rexbidv 2575	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	rspcev 2929	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	3, 131, 140	syl2anc 415	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142		rexcom 2715	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143		rexcom 2715	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	143	rexbii 2557	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	142, 144	bitri 184	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	141, 145	sylib 122	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209

wne 2420

wrex 2529 class class class wbr 4128 (class class class)co 6079

cc 8171

cr 8172

cc0 8173

c1 8174

caddc 8176

cmul 8178

clt 8354

cmin 8491

cdiv 8996

cn 9287

c2 9338

cz 9627

cexp 10958

cdvds 12537

cgcd 12713

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4244 ax-sep 4247 ax-nul 4257 ax-pow 4309 ax-pr 4344 ax-un 4576 ax-setind 4682 ax-iinf 4733 ax-cnex 8264 ax-resscn 8265 ax-1cn 8266 ax-1re 8267 ax-icn 8268 ax-addcl 8269 ax-addrcl 8270 ax-mulcl 8271 ax-mulrcl 8272 ax-addcom 8273 ax-mulcom 8274 ax-addass 8275 ax-mulass 8276 ax-distr 8277 ax-i2m1 8278 ax-0lt1 8279 ax-1rid 8280 ax-0id 8281 ax-rnegex 8282 ax-precex 8283 ax-cnre 8284 ax-pre-ltirr 8285 ax-pre-ltwlin 8286 ax-pre-lttrn 8287 ax-pre-apti 8288 ax-pre-ltadd 8289 ax-pre-mulgt0 8290 ax-pre-mulext 8291 ax-arch 8292 ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-xor 1425 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3714 df-pr 3715 df-op 3717 df-uni 3934 df-int 3969 df-iun 4012 df-br 4129 df-opab 4191 df-mpt 4192 df-tr 4228 df-id 4436 df-po 4439 df-iso 4440 df-iord 4509 df-on 4511 df-ilim 4512 df-suc 4514 df-iom 4736 df-xp 4778 df-rel 4779 df-cnv 4780 df-co 4781 df-dm 4782 df-rn 4783 df-res 4784 df-ima 4785 df-iota 5335 df-fun 5377 df-fn 5378 df-f 5379 df-f1 5380 df-fo 5381 df-f1o 5382 df-fv 5383 df-riota 6032 df-ov 6082 df-oprab 6083 df-mpo 6084 df-1st 6368 df-2nd 6369 df-recs 6570 df-frec 6656 df-1o 6681 df-2o 6682 df-er 6801 df-en 7017 df-sup 7318 df-pnf 8356 df-mnf 8357 df-xr 8358 df-ltxr 8359 df-le 8360 df-sub 8493 df-neg 8494 df-reap 8897 df-ap 8904 df-div 8997 df-inn 9288 df-2 9346 df-3 9347 df-4 9348 df-n0 9547 df-z 9628 df-uz 9905 df-q 10003 df-rp 10038 df-fz 10395 df-fzo 10533 df-fl 10688 df-mod 10743 df-seqfrec 10868 df-exp 10959 df-cj 11590 df-re 11591 df-im 11592 df-rsqrt 11747 df-abs 11748 df-dvds 12538 df-gcd 12714 df-prm 12869

This theorem is referenced by: pythagtrip 13045

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