pythagtriplem19 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pythagtriplem19 12878

Description: Lemma for pythagtrip 12879. Introduce

and remove the relative primality requirement. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem19	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem pythagtriplem19**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 12561	. . . . 5 $/\$
2	1	3adant3 1043	. . . 4 $/\$ $/\$
3	2	3ad2ant1 1044	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		nnz 9503	. . . . . . . . . . 11
5		nnz 9503	. . . . . . . . . . 11
6		gcddvds 12557	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
8	7	3adant3 1043	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	simpld 112	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
10	2	nnzd 9606	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
11	2	nnne0d 9193	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
12	4	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
13		dvdsval2 12374	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1273	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
15	9, 14	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
16		nnre 9155	. . . . . . . . 9
17	16	3ad2ant1 1044	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
18	2	nnred 9161	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
19		nngt0 9173	. . . . . . . . 9
20	19	3ad2ant1 1044	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
21	2	nngt0d 9192	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
22	17, 18, 20, 21	divgt0d 9120	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
23		elnnz 9494	. . . . . . 7 $/\$
24	15, 22, 23	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$
25	24	3ad2ant1 1044	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	8	simprd 114	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
27	5	3ad2ant2 1045	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28		dvdsval2 12374	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
29	10, 11, 27, 28	syl3anc 1273	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
30	26, 29	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
31		nnre 9155	. . . . . . . . 9
32	31	3ad2ant2 1045	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33		nngt0 9173	. . . . . . . . 9
34	33	3ad2ant2 1045	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
35	32, 18, 34, 21	divgt0d 9120	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
36		elnnz 9494	. . . . . . 7 $/\$
37	30, 35, 36	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$
38	37	3ad2ant1 1044	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdssq 12625	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
40	10, 12, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
41		dvdssq 12625	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
42	10, 27, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
43	40, 42	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	8, 43	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
45	2	nnsqcld 10962	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
46	45	nnzd 9606	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
47		nnsqcl 10877	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	47	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
49	48	nnzd 9606	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
50		nnsqcl 10877	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	3ad2ant2 1045	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
52	51	nnzd 9606	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
53		dvds2add 12409	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
54	46, 49, 52, 53	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
55	44, 54	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
57		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	breqtrd 4115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
59		nnz 9503	. . . . . . . . . . . 12
60	59	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
61		dvdssq 12625	. . . . . . . . . . 11 $/\$
62	10, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
63	62	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
64	58, 63	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
65		dvdsval2 12374	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
66	10, 11, 60, 65	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
67	66	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
68	64, 67	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
69		nnre 9155	. . . . . . . . . 10
70	69	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
71		nngt0 9173	. . . . . . . . . 10
72	71	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
73	70, 18, 72, 21	divgt0d 9120	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
74	73	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
75		elnnz 9494	. . . . . . 7 $/\$
76	68, 74, 75	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	3adant3 1043	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	48	nncnd 9162	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
79	51	nncnd 9162	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
80	45	nncnd 9162	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
81	45	nnap0d 9194	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ #
82	78, 79, 80, 81	divdirapd 9014	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
83	82	3ad2ant1 1044	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		nncn 9156	. . . . . . . . . 10
85	84	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86	2	nncnd 9162	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
87	2	nnap0d 9194	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
88	85, 86, 87	sqdivapd 10954	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	88	3ad2ant1 1044	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		oveq1 6030	. . . . . . . 8
91	90	3ad2ant2 1045	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	89, 91	eqtr4d 2266	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		nncn 9156	. . . . . . . . . 10
94	93	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
95	94, 86, 87	sqdivapd 10954	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96		nncn 9156	. . . . . . . . . 10
97	96	3ad2ant2 1045	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
98	97, 86, 87	sqdivapd 10954	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99	95, 98	oveq12d 6041	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
100	99	3ad2ant1 1044	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	83, 92, 100	3eqtr4rd 2274	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		gcddiv 12613	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	12, 27, 2, 8, 102	syl31anc 1276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
104	86, 87	dividapd 8971	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
105	103, 104	eqtr3d 2265	. . . . . 6 $/\$ $/\$
106	105	3ad2ant1 1044	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simp3 1025	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		pythagtriplem18 12877	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	25, 38, 77, 101, 106, 107, 108	syl312anc 1294	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	94, 86, 87	divcanap2d 8977	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
111	110	eqcomd 2236	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
112	97, 86, 87	divcanap2d 8977	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
113	112	eqcomd 2236	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	85, 86, 87	divcanap2d 8977	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	114	eqcomd 2236	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	111, 113, 115	3jca 1203	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	3ad2ant1 1044	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		oveq2 6031	. . . . . . . . . 10
119	118	eqeq2d 2242	. . . . . . . . 9
120	119	3ad2ant1 1044	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
121		oveq2 6031	. . . . . . . . . 10
122	121	eqeq2d 2242	. . . . . . . . 9
123	122	3ad2ant2 1045	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124		oveq2 6031	. . . . . . . . . 10
125	124	eqeq2d 2242	. . . . . . . . 9
126	125	3ad2ant3 1046	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
127	120, 123, 126	3anbi123d 1348	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	117, 127	syl5ibcom 155	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	reximdv 2632	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	reximdv 2632	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	109, 130	mpd 13	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		oveq1 6030	. . . . . . 7
133	132	eqeq2d 2242	. . . . . 6
134		oveq1 6030	. . . . . . 7
135	134	eqeq2d 2242	. . . . . 6
136		oveq1 6030	. . . . . . 7
137	136	eqeq2d 2242	. . . . . 6
138	133, 135, 137	3anbi123d 1348	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	138	2rexbidv 2556	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	rspcev 2909	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	3, 131, 140	syl2anc 411	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142		rexcom 2696	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143		rexcom 2696	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	143	rexbii 2538	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	142, 144	bitri 184	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	141, 145	sylib 122	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1004

wceq 1397

wcel 2201

wne 2401

wrex 2510 class class class wbr 4089 (class class class)co 6023

cc 8035

cr 8036

cc0 8037

c1 8038

caddc 8040

cmul 8042

clt 8219

cmin 8355

cdiv 8857

cn 9148

c2 9199

cz 9484

cexp 10806

cdvds 12371

cgcd 12547

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2203 ax-14 2204 ax-ext 2212 ax-coll 4205 ax-sep 4208 ax-nul 4216 ax-pow 4266 ax-pr 4301 ax-un 4532 ax-setind 4637 ax-iinf 4688 ax-cnex 8128 ax-resscn 8129 ax-1cn 8130 ax-1re 8131 ax-icn 8132 ax-addcl 8133 ax-addrcl 8134 ax-mulcl 8135 ax-mulrcl 8136 ax-addcom 8137 ax-mulcom 8138 ax-addass 8139 ax-mulass 8140 ax-distr 8141 ax-i2m1 8142 ax-0lt1 8143 ax-1rid 8144 ax-0id 8145 ax-rnegex 8146 ax-precex 8147 ax-cnre 8148 ax-pre-ltirr 8149 ax-pre-ltwlin 8150 ax-pre-lttrn 8151 ax-pre-apti 8152 ax-pre-ltadd 8153 ax-pre-mulgt0 8154 ax-pre-mulext 8155 ax-arch 8156 ax-caucvg 8157

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 838 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-xor 1420 df-nf 1509 df-sb 1810 df-eu 2081 df-mo 2082 df-clab 2217 df-cleq 2223 df-clel 2226 df-nfc 2362 df-ne 2402 df-nel 2497 df-ral 2514 df-rex 2515 df-reu 2516 df-rmo 2517 df-rab 2518 df-v 2803 df-sbc 3031 df-csb 3127 df-dif 3201 df-un 3203 df-in 3205 df-ss 3212 df-nul 3494 df-if 3605 df-pw 3655 df-sn 3676 df-pr 3677 df-op 3679 df-uni 3895 df-int 3930 df-iun 3973 df-br 4090 df-opab 4152 df-mpt 4153 df-tr 4189 df-id 4392 df-po 4395 df-iso 4396 df-iord 4465 df-on 4467 df-ilim 4468 df-suc 4470 df-iom 4691 df-xp 4733 df-rel 4734 df-cnv 4735 df-co 4736 df-dm 4737 df-rn 4738 df-res 4739 df-ima 4740 df-iota 5288 df-fun 5330 df-fn 5331 df-f 5332 df-f1 5333 df-fo 5334 df-f1o 5335 df-fv 5336 df-riota 5976 df-ov 6026 df-oprab 6027 df-mpo 6028 df-1st 6308 df-2nd 6309 df-recs 6476 df-frec 6562 df-1o 6587 df-2o 6588 df-er 6707 df-en 6915 df-sup 7188 df-pnf 8221 df-mnf 8222 df-xr 8223 df-ltxr 8224 df-le 8225 df-sub 8357 df-neg 8358 df-reap 8760 df-ap 8767 df-div 8858 df-inn 9149 df-2 9207 df-3 9208 df-4 9209 df-n0 9408 df-z 9485 df-uz 9761 df-q 9859 df-rp 9894 df-fz 10249 df-fzo 10383 df-fl 10536 df-mod 10591 df-seqfrec 10716 df-exp 10807 df-cj 11425 df-re 11426 df-im 11427 df-rsqrt 11581 df-abs 11582 df-dvds 12372 df-gcd 12548 df-prm 12703

This theorem is referenced by: pythagtrip 12879

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