pythagtriplem19 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pythagtriplem19 12265

Description: Lemma for pythagtrip 12266. Introduce

and remove the relative primality requirement. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem19	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem pythagtriplem19**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 11951	. . . . 5 $/\$
2	1	3adant3 1017	. . . 4 $/\$ $/\$
3	2	3ad2ant1 1018	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		nnz 9261	. . . . . . . . . . 11
5		nnz 9261	. . . . . . . . . . 11
6		gcddvds 11947	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
8	7	3adant3 1017	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	simpld 112	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
10	2	nnzd 9363	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
11	2	nnne0d 8953	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
12	4	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
13		dvdsval2 11781	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
15	9, 14	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
16		nnre 8915	. . . . . . . . 9
17	16	3ad2ant1 1018	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
18	2	nnred 8921	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
19		nngt0 8933	. . . . . . . . 9
20	19	3ad2ant1 1018	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
21	2	nngt0d 8952	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
22	17, 18, 20, 21	divgt0d 8881	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
23		elnnz 9252	. . . . . . 7 $/\$
24	15, 22, 23	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$
25	24	3ad2ant1 1018	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	8	simprd 114	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
27	5	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28		dvdsval2 11781	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
29	10, 11, 27, 28	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
30	26, 29	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
31		nnre 8915	. . . . . . . . 9
32	31	3ad2ant2 1019	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33		nngt0 8933	. . . . . . . . 9
34	33	3ad2ant2 1019	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
35	32, 18, 34, 21	divgt0d 8881	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
36		elnnz 9252	. . . . . . 7 $/\$
37	30, 35, 36	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$
38	37	3ad2ant1 1018	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdssq 12015	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
40	10, 12, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
41		dvdssq 12015	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
42	10, 27, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
43	40, 42	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	8, 43	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
45	2	nnsqcld 10660	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
46	45	nnzd 9363	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
47		nnsqcl 10575	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	47	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
49	48	nnzd 9363	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
50		nnsqcl 10575	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
52	51	nnzd 9363	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
53		dvds2add 11816	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
54	46, 49, 52, 53	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
55	44, 54	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
57		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	breqtrd 4026	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
59		nnz 9261	. . . . . . . . . . . 12
60	59	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
61		dvdssq 12015	. . . . . . . . . . 11 $/\$
62	10, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
63	62	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
64	58, 63	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
65		dvdsval2 11781	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
66	10, 11, 60, 65	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
67	66	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
68	64, 67	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
69		nnre 8915	. . . . . . . . . 10
70	69	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
71		nngt0 8933	. . . . . . . . . 10
72	71	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
73	70, 18, 72, 21	divgt0d 8881	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
74	73	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
75		elnnz 9252	. . . . . . 7 $/\$
76	68, 74, 75	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	3adant3 1017	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	48	nncnd 8922	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
79	51	nncnd 8922	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
80	45	nncnd 8922	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
81	45	nnap0d 8954	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ #
82	78, 79, 80, 81	divdirapd 8775	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
83	82	3ad2ant1 1018	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		nncn 8916	. . . . . . . . . 10
85	84	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86	2	nncnd 8922	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
87	2	nnap0d 8954	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
88	85, 86, 87	sqdivapd 10652	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	88	3ad2ant1 1018	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		oveq1 5876	. . . . . . . 8
91	90	3ad2ant2 1019	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	89, 91	eqtr4d 2213	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		nncn 8916	. . . . . . . . . 10
94	93	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
95	94, 86, 87	sqdivapd 10652	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96		nncn 8916	. . . . . . . . . 10
97	96	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
98	97, 86, 87	sqdivapd 10652	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99	95, 98	oveq12d 5887	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
100	99	3ad2ant1 1018	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	83, 92, 100	3eqtr4rd 2221	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		gcddiv 12003	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	12, 27, 2, 8, 102	syl31anc 1241	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
104	86, 87	dividapd 8732	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
105	103, 104	eqtr3d 2212	. . . . . 6 $/\$ $/\$
106	105	3ad2ant1 1018	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simp3 999	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		pythagtriplem18 12264	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	25, 38, 77, 101, 106, 107, 108	syl312anc 1259	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	94, 86, 87	divcanap2d 8738	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
111	110	eqcomd 2183	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
112	97, 86, 87	divcanap2d 8738	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
113	112	eqcomd 2183	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	85, 86, 87	divcanap2d 8738	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	114	eqcomd 2183	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	111, 113, 115	3jca 1177	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	3ad2ant1 1018	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		oveq2 5877	. . . . . . . . . 10
119	118	eqeq2d 2189	. . . . . . . . 9
120	119	3ad2ant1 1018	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
121		oveq2 5877	. . . . . . . . . 10
122	121	eqeq2d 2189	. . . . . . . . 9
123	122	3ad2ant2 1019	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124		oveq2 5877	. . . . . . . . . 10
125	124	eqeq2d 2189	. . . . . . . . 9
126	125	3ad2ant3 1020	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
127	120, 123, 126	3anbi123d 1312	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	117, 127	syl5ibcom 155	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	reximdv 2578	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	reximdv 2578	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	109, 130	mpd 13	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		oveq1 5876	. . . . . . 7
133	132	eqeq2d 2189	. . . . . 6
134		oveq1 5876	. . . . . . 7
135	134	eqeq2d 2189	. . . . . 6
136		oveq1 5876	. . . . . . 7
137	136	eqeq2d 2189	. . . . . 6
138	133, 135, 137	3anbi123d 1312	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	138	2rexbidv 2502	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	rspcev 2841	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	3, 131, 140	syl2anc 411	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142		rexcom 2641	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143		rexcom 2641	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	143	rexbii 2484	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	142, 144	bitri 184	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	141, 145	sylib 122	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2148

wne 2347

wrex 2456 class class class wbr 4000 (class class class)co 5869

cc 7800

cr 7801

cc0 7802

c1 7803

caddc 7805

cmul 7807

clt 7982

cmin 8118

cdiv 8618

cn 8908

c2 8959

cz 9242

cexp 10505

cdvds 11778

cgcd 11926

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921 ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-xor 1376 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-frec 6386 df-1o 6411 df-2o 6412 df-er 6529 df-en 6735 df-sup 6977 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-3 8968 df-4 8969 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-q 9609 df-rp 9641 df-fz 9996 df-fzo 10129 df-fl 10256 df-mod 10309 df-seqfrec 10432 df-exp 10506 df-cj 10835 df-re 10836 df-im 10837 df-rsqrt 10991 df-abs 10992 df-dvds 11779 df-gcd 11927 df-prm 12091

This theorem is referenced by: pythagtrip 12266

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