pythagtriplem19 - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > pythagtriplem19		Unicode version

Theorem pythagtriplem19 12210

Description: Lemma for pythagtrip 12211. Introduce

and remove the relative primality requirement. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem19	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem pythagtriplem19**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 11896	. . . . 5 $/\$
2	1	3adant3 1007	. . . 4 $/\$ $/\$
3	2	3ad2ant1 1008	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		nnz 9206	. . . . . . . . . . 11
5		nnz 9206	. . . . . . . . . . 11
6		gcddvds 11892	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
7	4, 5, 6	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
8	7	3adant3 1007	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	simpld 111	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
10	2	nnzd 9308	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
11	2	nnne0d 8898	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
12	4	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
13		dvdsval2 11726	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
15	9, 14	mpbid 146	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
16		nnre 8860	. . . . . . . . 9
17	16	3ad2ant1 1008	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
18	2	nnred 8866	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
19		nngt0 8878	. . . . . . . . 9
20	19	3ad2ant1 1008	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
21	2	nngt0d 8897	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
22	17, 18, 20, 21	divgt0d 8826	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
23		elnnz 9197	. . . . . . 7 $/\$
24	15, 22, 23	sylanbrc 414	. . . . . 6 $/\$ $/\$
25	24	3ad2ant1 1008	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	8	simprd 113	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
27	5	3ad2ant2 1009	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28		dvdsval2 11726	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
29	10, 11, 27, 28	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
30	26, 29	mpbid 146	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
31		nnre 8860	. . . . . . . . 9
32	31	3ad2ant2 1009	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33		nngt0 8878	. . . . . . . . 9
34	33	3ad2ant2 1009	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
35	32, 18, 34, 21	divgt0d 8826	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
36		elnnz 9197	. . . . . . 7 $/\$
37	30, 35, 36	sylanbrc 414	. . . . . 6 $/\$ $/\$
38	37	3ad2ant1 1008	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdssq 11960	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
40	10, 12, 39	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
41		dvdssq 11960	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
42	10, 27, 41	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
43	40, 42	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	8, 43	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
45	2	nnsqcld 10605	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
46	45	nnzd 9308	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
47		nnsqcl 10520	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	47	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
49	48	nnzd 9308	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
50		nnsqcl 10520	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	3ad2ant2 1009	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
52	51	nnzd 9308	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
53		dvds2add 11761	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
54	46, 49, 52, 53	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
55	44, 54	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
56	55	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
57		simpr 109	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	breqtrd 4007	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
59		nnz 9206	. . . . . . . . . . . 12
60	59	3ad2ant3 1010	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
61		dvdssq 11960	. . . . . . . . . . 11 $/\$
62	10, 60, 61	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
63	62	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
64	58, 63	mpbird 166	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
65		dvdsval2 11726	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
66	10, 11, 60, 65	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
67	66	adantr 274	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
68	64, 67	mpbid 146	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
69		nnre 8860	. . . . . . . . . 10
70	69	3ad2ant3 1010	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
71		nngt0 8878	. . . . . . . . . 10
72	71	3ad2ant3 1010	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
73	70, 18, 72, 21	divgt0d 8826	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
74	73	adantr 274	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
75		elnnz 9197	. . . . . . 7 $/\$
76	68, 74, 75	sylanbrc 414	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	3adant3 1007	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	48	nncnd 8867	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
79	51	nncnd 8867	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
80	45	nncnd 8867	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
81	45	nnap0d 8899	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ #
82	78, 79, 80, 81	divdirapd 8721	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
83	82	3ad2ant1 1008	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		nncn 8861	. . . . . . . . . 10
85	84	3ad2ant3 1010	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86	2	nncnd 8867	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
87	2	nnap0d 8899	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
88	85, 86, 87	sqdivapd 10597	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	88	3ad2ant1 1008	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		oveq1 5848	. . . . . . . 8
91	90	3ad2ant2 1009	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	89, 91	eqtr4d 2201	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		nncn 8861	. . . . . . . . . 10
94	93	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
95	94, 86, 87	sqdivapd 10597	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96		nncn 8861	. . . . . . . . . 10
97	96	3ad2ant2 1009	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
98	97, 86, 87	sqdivapd 10597	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99	95, 98	oveq12d 5859	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
100	99	3ad2ant1 1008	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	83, 92, 100	3eqtr4rd 2209	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		gcddiv 11948	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	12, 27, 2, 8, 102	syl31anc 1231	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
104	86, 87	dividapd 8678	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
105	103, 104	eqtr3d 2200	. . . . . 6 $/\$ $/\$
106	105	3ad2ant1 1008	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simp3 989	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		pythagtriplem18 12209	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	25, 38, 77, 101, 106, 107, 108	syl312anc 1249	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	94, 86, 87	divcanap2d 8684	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
111	110	eqcomd 2171	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
112	97, 86, 87	divcanap2d 8684	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
113	112	eqcomd 2171	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	85, 86, 87	divcanap2d 8684	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	114	eqcomd 2171	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	111, 113, 115	3jca 1167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	3ad2ant1 1008	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		oveq2 5849	. . . . . . . . . 10
119	118	eqeq2d 2177	. . . . . . . . 9
120	119	3ad2ant1 1008	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
121		oveq2 5849	. . . . . . . . . 10
122	121	eqeq2d 2177	. . . . . . . . 9
123	122	3ad2ant2 1009	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124		oveq2 5849	. . . . . . . . . 10
125	124	eqeq2d 2177	. . . . . . . . 9
126	125	3ad2ant3 1010	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
127	120, 123, 126	3anbi123d 1302	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	117, 127	syl5ibcom 154	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	reximdv 2566	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	reximdv 2566	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	109, 130	mpd 13	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		oveq1 5848	. . . . . . 7
133	132	eqeq2d 2177	. . . . . 6
134		oveq1 5848	. . . . . . 7
135	134	eqeq2d 2177	. . . . . 6
136		oveq1 5848	. . . . . . 7
137	136	eqeq2d 2177	. . . . . 6
138	133, 135, 137	3anbi123d 1302	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	138	2rexbidv 2490	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	rspcev 2829	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	3, 131, 140	syl2anc 409	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142		rexcom 2629	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143		rexcom 2629	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	143	rexbii 2472	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	142, 144	bitri 183	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	141, 145	sylib 121	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 968

wceq 1343

wcel 2136

wne 2335

wrex 2444 class class class wbr 3981 (class class class)co 5841

cc 7747

cr 7748

cc0 7749

c1 7750

caddc 7752

cmul 7754

clt 7929

cmin 8065

cdiv 8564

cn 8853

c2 8904

cz 9187

cexp 10450

cdvds 11723

cgcd 11871

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4096 ax-sep 4099 ax-nul 4107 ax-pow 4152 ax-pr 4186 ax-un 4410 ax-setind 4513 ax-iinf 4564 ax-cnex 7840 ax-resscn 7841 ax-1cn 7842 ax-1re 7843 ax-icn 7844 ax-addcl 7845 ax-addrcl 7846 ax-mulcl 7847 ax-mulrcl 7848 ax-addcom 7849 ax-mulcom 7850 ax-addass 7851 ax-mulass 7852 ax-distr 7853 ax-i2m1 7854 ax-0lt1 7855 ax-1rid 7856 ax-0id 7857 ax-rnegex 7858 ax-precex 7859 ax-cnre 7860 ax-pre-ltirr 7861 ax-pre-ltwlin 7862 ax-pre-lttrn 7863 ax-pre-apti 7864 ax-pre-ltadd 7865 ax-pre-mulgt0 7866 ax-pre-mulext 7867 ax-arch 7868 ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 821 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-xor 1366 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2296 df-ne 2336 df-nel 2431 df-ral 2448 df-rex 2449 df-reu 2450 df-rmo 2451 df-rab 2452 df-v 2727 df-sbc 2951 df-csb 3045 df-dif 3117 df-un 3119 df-in 3121 df-ss 3128 df-nul 3409 df-if 3520 df-pw 3560 df-sn 3581 df-pr 3582 df-op 3584 df-uni 3789 df-int 3824 df-iun 3867 df-br 3982 df-opab 4043 df-mpt 4044 df-tr 4080 df-id 4270 df-po 4273 df-iso 4274 df-iord 4343 df-on 4345 df-ilim 4346 df-suc 4348 df-iom 4567 df-xp 4609 df-rel 4610 df-cnv 4611 df-co 4612 df-dm 4613 df-rn 4614 df-res 4615 df-ima 4616 df-iota 5152 df-fun 5189 df-fn 5190 df-f 5191 df-f1 5192 df-fo 5193 df-f1o 5194 df-fv 5195 df-riota 5797 df-ov 5844 df-oprab 5845 df-mpo 5846 df-1st 6105 df-2nd 6106 df-recs 6269 df-frec 6355 df-1o 6380 df-2o 6381 df-er 6497 df-en 6703 df-sup 6945 df-pnf 7931 df-mnf 7932 df-xr 7933 df-ltxr 7934 df-le 7935 df-sub 8067 df-neg 8068 df-reap 8469 df-ap 8476 df-div 8565 df-inn 8854 df-2 8912 df-3 8913 df-4 8914 df-n0 9111 df-z 9188 df-uz 9463 df-q 9554 df-rp 9586 df-fz 9941 df-fzo 10074 df-fl 10201 df-mod 10254 df-seqfrec 10377 df-exp 10451 df-cj 10780 df-re 10781 df-im 10782 df-rsqrt 10936 df-abs 10937 df-dvds 11724 df-gcd 11872 df-prm 12036

This theorem is referenced by: pythagtrip 12211

W3C validator