pythagtriplem19 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pythagtriplem19 12173

Description: Lemma for pythagtrip 12174. Introduce

and remove the relative primality requirement. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem19	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem pythagtriplem19**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 11867	. . . . 5 $/\$
2	1	3adant3 1002	. . . 4 $/\$ $/\$
3	2	3ad2ant1 1003	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		nnz 9192	. . . . . . . . . . 11
5		nnz 9192	. . . . . . . . . . 11
6		gcddvds 11863	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
7	4, 5, 6	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
8	7	3adant3 1002	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	simpld 111	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
10	2	nnzd 9291	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
11	2	nnne0d 8884	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
12	4	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
13		dvdsval2 11698	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1220	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
15	9, 14	mpbid 146	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
16		nnre 8846	. . . . . . . . 9
17	16	3ad2ant1 1003	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
18	2	nnred 8852	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
19		nngt0 8864	. . . . . . . . 9
20	19	3ad2ant1 1003	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
21	2	nngt0d 8883	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
22	17, 18, 20, 21	divgt0d 8812	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
23		elnnz 9183	. . . . . . 7 $/\$
24	15, 22, 23	sylanbrc 414	. . . . . 6 $/\$ $/\$
25	24	3ad2ant1 1003	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	8	simprd 113	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
27	5	3ad2ant2 1004	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28		dvdsval2 11698	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
29	10, 11, 27, 28	syl3anc 1220	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
30	26, 29	mpbid 146	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
31		nnre 8846	. . . . . . . . 9
32	31	3ad2ant2 1004	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33		nngt0 8864	. . . . . . . . 9
34	33	3ad2ant2 1004	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
35	32, 18, 34, 21	divgt0d 8812	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
36		elnnz 9183	. . . . . . 7 $/\$
37	30, 35, 36	sylanbrc 414	. . . . . 6 $/\$ $/\$
38	37	3ad2ant1 1003	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdssq 11931	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
40	10, 12, 39	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
41		dvdssq 11931	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
42	10, 27, 41	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
43	40, 42	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	8, 43	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
45	2	nnsqcld 10582	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
46	45	nnzd 9291	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
47		nnsqcl 10498	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	47	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
49	48	nnzd 9291	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
50		nnsqcl 10498	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	3ad2ant2 1004	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
52	51	nnzd 9291	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
53		dvds2add 11733	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
54	46, 49, 52, 53	syl3anc 1220	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
55	44, 54	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
56	55	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
57		simpr 109	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	breqtrd 3993	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
59		nnz 9192	. . . . . . . . . . . 12
60	59	3ad2ant3 1005	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
61		dvdssq 11931	. . . . . . . . . . 11 $/\$
62	10, 60, 61	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
63	62	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
64	58, 63	mpbird 166	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
65		dvdsval2 11698	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
66	10, 11, 60, 65	syl3anc 1220	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
67	66	adantr 274	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
68	64, 67	mpbid 146	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
69		nnre 8846	. . . . . . . . . 10
70	69	3ad2ant3 1005	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
71		nngt0 8864	. . . . . . . . . 10
72	71	3ad2ant3 1005	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
73	70, 18, 72, 21	divgt0d 8812	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
74	73	adantr 274	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
75		elnnz 9183	. . . . . . 7 $/\$
76	68, 74, 75	sylanbrc 414	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	3adant3 1002	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	48	nncnd 8853	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
79	51	nncnd 8853	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
80	45	nncnd 8853	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
81	45	nnap0d 8885	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ #
82	78, 79, 80, 81	divdirapd 8707	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
83	82	3ad2ant1 1003	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		nncn 8847	. . . . . . . . . 10
85	84	3ad2ant3 1005	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86	2	nncnd 8853	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
87	2	nnap0d 8885	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
88	85, 86, 87	sqdivapd 10574	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	88	3ad2ant1 1003	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		oveq1 5834	. . . . . . . 8
91	90	3ad2ant2 1004	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	89, 91	eqtr4d 2193	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		nncn 8847	. . . . . . . . . 10
94	93	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
95	94, 86, 87	sqdivapd 10574	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96		nncn 8847	. . . . . . . . . 10
97	96	3ad2ant2 1004	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
98	97, 86, 87	sqdivapd 10574	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99	95, 98	oveq12d 5845	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
100	99	3ad2ant1 1003	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	83, 92, 100	3eqtr4rd 2201	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		gcddiv 11919	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	12, 27, 2, 8, 102	syl31anc 1223	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
104	86, 87	dividapd 8664	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
105	103, 104	eqtr3d 2192	. . . . . 6 $/\$ $/\$
106	105	3ad2ant1 1003	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simp3 984	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		pythagtriplem18 12172	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	25, 38, 77, 101, 106, 107, 108	syl312anc 1241	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	94, 86, 87	divcanap2d 8670	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
111	110	eqcomd 2163	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
112	97, 86, 87	divcanap2d 8670	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
113	112	eqcomd 2163	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	85, 86, 87	divcanap2d 8670	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	114	eqcomd 2163	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	111, 113, 115	3jca 1162	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	3ad2ant1 1003	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		oveq2 5835	. . . . . . . . . 10
119	118	eqeq2d 2169	. . . . . . . . 9
120	119	3ad2ant1 1003	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
121		oveq2 5835	. . . . . . . . . 10
122	121	eqeq2d 2169	. . . . . . . . 9
123	122	3ad2ant2 1004	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124		oveq2 5835	. . . . . . . . . 10
125	124	eqeq2d 2169	. . . . . . . . 9
126	125	3ad2ant3 1005	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
127	120, 123, 126	3anbi123d 1294	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	117, 127	syl5ibcom 154	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	reximdv 2558	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	reximdv 2558	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	109, 130	mpd 13	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		oveq1 5834	. . . . . . 7
133	132	eqeq2d 2169	. . . . . 6
134		oveq1 5834	. . . . . . 7
135	134	eqeq2d 2169	. . . . . 6
136		oveq1 5834	. . . . . . 7
137	136	eqeq2d 2169	. . . . . 6
138	133, 135, 137	3anbi123d 1294	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	138	2rexbidv 2482	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	rspcev 2816	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	3, 131, 140	syl2anc 409	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142		rexcom 2621	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143		rexcom 2621	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	143	rexbii 2464	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	142, 144	bitri 183	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	141, 145	sylib 121	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 963

wceq 1335

wcel 2128

wne 2327

wrex 2436 class class class wbr 3967 (class class class)co 5827

cc 7733

cr 7734

cc0 7735

c1 7736

caddc 7738

cmul 7740

clt 7915

cmin 8051

cdiv 8550

cn 8839

c2 8890

cz 9173

cexp 10428

cdvds 11695

cgcd 11842

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1427 ax-7 1428 ax-gen 1429 ax-ie1 1473 ax-ie2 1474 ax-8 1484 ax-10 1485 ax-11 1486 ax-i12 1487 ax-bndl 1489 ax-4 1490 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-13 2130 ax-14 2131 ax-ext 2139 ax-coll 4082 ax-sep 4085 ax-nul 4093 ax-pow 4138 ax-pr 4172 ax-un 4396 ax-setind 4499 ax-iinf 4550 ax-cnex 7826 ax-resscn 7827 ax-1cn 7828 ax-1re 7829 ax-icn 7830 ax-addcl 7831 ax-addrcl 7832 ax-mulcl 7833 ax-mulrcl 7834 ax-addcom 7835 ax-mulcom 7836 ax-addass 7837 ax-mulass 7838 ax-distr 7839 ax-i2m1 7840 ax-0lt1 7841 ax-1rid 7842 ax-0id 7843 ax-rnegex 7844 ax-precex 7845 ax-cnre 7846 ax-pre-ltirr 7847 ax-pre-ltwlin 7848 ax-pre-lttrn 7849 ax-pre-apti 7850 ax-pre-ltadd 7851 ax-pre-mulgt0 7852 ax-pre-mulext 7853 ax-arch 7854 ax-caucvg 7855

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 817 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1338 df-fal 1341 df-xor 1358 df-nf 1441 df-sb 1743 df-eu 2009 df-mo 2010 df-clab 2144 df-cleq 2150 df-clel 2153 df-nfc 2288 df-ne 2328 df-nel 2423 df-ral 2440 df-rex 2441 df-reu 2442 df-rmo 2443 df-rab 2444 df-v 2714 df-sbc 2938 df-csb 3032 df-dif 3104 df-un 3106 df-in 3108 df-ss 3115 df-nul 3396 df-if 3507 df-pw 3546 df-sn 3567 df-pr 3568 df-op 3570 df-uni 3775 df-int 3810 df-iun 3853 df-br 3968 df-opab 4029 df-mpt 4030 df-tr 4066 df-id 4256 df-po 4259 df-iso 4260 df-iord 4329 df-on 4331 df-ilim 4332 df-suc 4334 df-iom 4553 df-xp 4595 df-rel 4596 df-cnv 4597 df-co 4598 df-dm 4599 df-rn 4600 df-res 4601 df-ima 4602 df-iota 5138 df-fun 5175 df-fn 5176 df-f 5177 df-f1 5178 df-fo 5179 df-f1o 5180 df-fv 5181 df-riota 5783 df-ov 5830 df-oprab 5831 df-mpo 5832 df-1st 6091 df-2nd 6092 df-recs 6255 df-frec 6341 df-1o 6366 df-2o 6367 df-er 6483 df-en 6689 df-sup 6931 df-pnf 7917 df-mnf 7918 df-xr 7919 df-ltxr 7920 df-le 7921 df-sub 8053 df-neg 8054 df-reap 8455 df-ap 8462 df-div 8551 df-inn 8840 df-2 8898 df-3 8899 df-4 8900 df-n0 9097 df-z 9174 df-uz 9446 df-q 9536 df-rp 9568 df-fz 9920 df-fzo 10052 df-fl 10179 df-mod 10232 df-seqfrec 10355 df-exp 10429 df-cj 10754 df-re 10755 df-im 10756 df-rsqrt 10910 df-abs 10911 df-dvds 11696 df-gcd 11843 df-prm 12001

This theorem is referenced by: pythagtrip 12174

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