pythagtriplem19 - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > pythagtriplem19		Unicode version

Theorem pythagtriplem19 12420

Description: Lemma for pythagtrip 12421. Introduce

and remove the relative primality requirement. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem19	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem pythagtriplem19**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 12104	. . . . 5 $/\$
2	1	3adant3 1019	. . . 4 $/\$ $/\$
3	2	3ad2ant1 1020	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		nnz 9336	. . . . . . . . . . 11
5		nnz 9336	. . . . . . . . . . 11
6		gcddvds 12100	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
8	7	3adant3 1019	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	simpld 112	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
10	2	nnzd 9438	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
11	2	nnne0d 9027	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
12	4	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
13		dvdsval2 11933	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
15	9, 14	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
16		nnre 8989	. . . . . . . . 9
17	16	3ad2ant1 1020	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
18	2	nnred 8995	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
19		nngt0 9007	. . . . . . . . 9
20	19	3ad2ant1 1020	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
21	2	nngt0d 9026	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
22	17, 18, 20, 21	divgt0d 8954	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
23		elnnz 9327	. . . . . . 7 $/\$
24	15, 22, 23	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$
25	24	3ad2ant1 1020	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	8	simprd 114	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
27	5	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28		dvdsval2 11933	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
29	10, 11, 27, 28	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
30	26, 29	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
31		nnre 8989	. . . . . . . . 9
32	31	3ad2ant2 1021	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33		nngt0 9007	. . . . . . . . 9
34	33	3ad2ant2 1021	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
35	32, 18, 34, 21	divgt0d 8954	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
36		elnnz 9327	. . . . . . 7 $/\$
37	30, 35, 36	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$
38	37	3ad2ant1 1020	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdssq 12168	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
40	10, 12, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
41		dvdssq 12168	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
42	10, 27, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
43	40, 42	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	8, 43	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
45	2	nnsqcld 10765	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
46	45	nnzd 9438	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
47		nnsqcl 10680	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	47	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
49	48	nnzd 9438	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
50		nnsqcl 10680	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
52	51	nnzd 9438	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
53		dvds2add 11968	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
54	46, 49, 52, 53	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
55	44, 54	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
57		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	breqtrd 4055	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
59		nnz 9336	. . . . . . . . . . . 12
60	59	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
61		dvdssq 12168	. . . . . . . . . . 11 $/\$
62	10, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
63	62	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
64	58, 63	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
65		dvdsval2 11933	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
66	10, 11, 60, 65	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
67	66	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
68	64, 67	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
69		nnre 8989	. . . . . . . . . 10
70	69	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
71		nngt0 9007	. . . . . . . . . 10
72	71	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
73	70, 18, 72, 21	divgt0d 8954	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
74	73	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
75		elnnz 9327	. . . . . . 7 $/\$
76	68, 74, 75	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	3adant3 1019	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	48	nncnd 8996	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
79	51	nncnd 8996	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
80	45	nncnd 8996	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
81	45	nnap0d 9028	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ #
82	78, 79, 80, 81	divdirapd 8848	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
83	82	3ad2ant1 1020	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		nncn 8990	. . . . . . . . . 10
85	84	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86	2	nncnd 8996	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
87	2	nnap0d 9028	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
88	85, 86, 87	sqdivapd 10757	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	88	3ad2ant1 1020	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		oveq1 5925	. . . . . . . 8
91	90	3ad2ant2 1021	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	89, 91	eqtr4d 2229	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		nncn 8990	. . . . . . . . . 10
94	93	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
95	94, 86, 87	sqdivapd 10757	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96		nncn 8990	. . . . . . . . . 10
97	96	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
98	97, 86, 87	sqdivapd 10757	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99	95, 98	oveq12d 5936	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
100	99	3ad2ant1 1020	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	83, 92, 100	3eqtr4rd 2237	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		gcddiv 12156	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	12, 27, 2, 8, 102	syl31anc 1252	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
104	86, 87	dividapd 8805	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
105	103, 104	eqtr3d 2228	. . . . . 6 $/\$ $/\$
106	105	3ad2ant1 1020	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simp3 1001	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		pythagtriplem18 12419	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	25, 38, 77, 101, 106, 107, 108	syl312anc 1270	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	94, 86, 87	divcanap2d 8811	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
111	110	eqcomd 2199	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
112	97, 86, 87	divcanap2d 8811	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
113	112	eqcomd 2199	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	85, 86, 87	divcanap2d 8811	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	114	eqcomd 2199	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	111, 113, 115	3jca 1179	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	3ad2ant1 1020	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		oveq2 5926	. . . . . . . . . 10
119	118	eqeq2d 2205	. . . . . . . . 9
120	119	3ad2ant1 1020	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
121		oveq2 5926	. . . . . . . . . 10
122	121	eqeq2d 2205	. . . . . . . . 9
123	122	3ad2ant2 1021	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124		oveq2 5926	. . . . . . . . . 10
125	124	eqeq2d 2205	. . . . . . . . 9
126	125	3ad2ant3 1022	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
127	120, 123, 126	3anbi123d 1323	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	117, 127	syl5ibcom 155	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	reximdv 2595	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	reximdv 2595	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	109, 130	mpd 13	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		oveq1 5925	. . . . . . 7
133	132	eqeq2d 2205	. . . . . 6
134		oveq1 5925	. . . . . . 7
135	134	eqeq2d 2205	. . . . . 6
136		oveq1 5925	. . . . . . 7
137	136	eqeq2d 2205	. . . . . 6
138	133, 135, 137	3anbi123d 1323	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	138	2rexbidv 2519	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	rspcev 2864	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	3, 131, 140	syl2anc 411	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142		rexcom 2658	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143		rexcom 2658	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	143	rexbii 2501	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	142, 144	bitri 184	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	141, 145	sylib 122	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2164

wne 2364

wrex 2473 class class class wbr 4029 (class class class)co 5918

cc 7870

cr 7871

cc0 7872

c1 7873

caddc 7875

cmul 7877

clt 8054

cmin 8190

cdiv 8691

cn 8982

c2 9033

cz 9317

cexp 10609

cdvds 11930

cgcd 12079

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-iinf 4620 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-mulrcl 7971 ax-addcom 7972 ax-mulcom 7973 ax-addass 7974 ax-mulass 7975 ax-distr 7976 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-1rid 7979 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-precex 7982 ax-cnre 7983 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-apti 7987 ax-pre-ltadd 7988 ax-pre-mulgt0 7989 ax-pre-mulext 7990 ax-arch 7991 ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-xor 1387 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-if 3558 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-iord 4397 df-on 4399 df-ilim 4400 df-suc 4402 df-iom 4623 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-f1 5259 df-fo 5260 df-f1o 5261 df-fv 5262 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-1st 6193 df-2nd 6194 df-recs 6358 df-frec 6444 df-1o 6469 df-2o 6470 df-er 6587 df-en 6795 df-sup 7043 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-sub 8192 df-neg 8193 df-reap 8594 df-ap 8601 df-div 8692 df-inn 8983 df-2 9041 df-3 9042 df-4 9043 df-n0 9241 df-z 9318 df-uz 9593 df-q 9685 df-rp 9720 df-fz 10075 df-fzo 10209 df-fl 10339 df-mod 10394 df-seqfrec 10519 df-exp 10610 df-cj 10986 df-re 10987 df-im 10988 df-rsqrt 11142 df-abs 11143 df-dvds 11931 df-gcd 12080 df-prm 12246

This theorem is referenced by: pythagtrip 12421

W3C validator