pythagtriplem19 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pythagtriplem19 12423

Description: Lemma for pythagtrip 12424. Introduce

and remove the relative primality requirement. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem19	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem pythagtriplem19**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 12107	. . . . 5 $/\$
2	1	3adant3 1019	. . . 4 $/\$ $/\$
3	2	3ad2ant1 1020	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		nnz 9339	. . . . . . . . . . 11
5		nnz 9339	. . . . . . . . . . 11
6		gcddvds 12103	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
8	7	3adant3 1019	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	simpld 112	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
10	2	nnzd 9441	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
11	2	nnne0d 9029	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
12	4	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
13		dvdsval2 11936	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
15	9, 14	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
16		nnre 8991	. . . . . . . . 9
17	16	3ad2ant1 1020	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
18	2	nnred 8997	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
19		nngt0 9009	. . . . . . . . 9
20	19	3ad2ant1 1020	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
21	2	nngt0d 9028	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
22	17, 18, 20, 21	divgt0d 8956	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
23		elnnz 9330	. . . . . . 7 $/\$
24	15, 22, 23	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$
25	24	3ad2ant1 1020	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	8	simprd 114	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
27	5	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28		dvdsval2 11936	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
29	10, 11, 27, 28	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
30	26, 29	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
31		nnre 8991	. . . . . . . . 9
32	31	3ad2ant2 1021	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33		nngt0 9009	. . . . . . . . 9
34	33	3ad2ant2 1021	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
35	32, 18, 34, 21	divgt0d 8956	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
36		elnnz 9330	. . . . . . 7 $/\$
37	30, 35, 36	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$
38	37	3ad2ant1 1020	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdssq 12171	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
40	10, 12, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
41		dvdssq 12171	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
42	10, 27, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
43	40, 42	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	8, 43	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
45	2	nnsqcld 10768	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
46	45	nnzd 9441	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
47		nnsqcl 10683	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	47	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
49	48	nnzd 9441	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
50		nnsqcl 10683	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
52	51	nnzd 9441	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
53		dvds2add 11971	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
54	46, 49, 52, 53	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
55	44, 54	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
57		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	breqtrd 4056	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
59		nnz 9339	. . . . . . . . . . . 12
60	59	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
61		dvdssq 12171	. . . . . . . . . . 11 $/\$
62	10, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
63	62	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
64	58, 63	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
65		dvdsval2 11936	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
66	10, 11, 60, 65	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
67	66	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
68	64, 67	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
69		nnre 8991	. . . . . . . . . 10
70	69	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
71		nngt0 9009	. . . . . . . . . 10
72	71	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
73	70, 18, 72, 21	divgt0d 8956	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
74	73	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
75		elnnz 9330	. . . . . . 7 $/\$
76	68, 74, 75	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	3adant3 1019	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	48	nncnd 8998	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
79	51	nncnd 8998	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
80	45	nncnd 8998	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
81	45	nnap0d 9030	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ #
82	78, 79, 80, 81	divdirapd 8850	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
83	82	3ad2ant1 1020	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		nncn 8992	. . . . . . . . . 10
85	84	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86	2	nncnd 8998	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
87	2	nnap0d 9030	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
88	85, 86, 87	sqdivapd 10760	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	88	3ad2ant1 1020	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		oveq1 5926	. . . . . . . 8
91	90	3ad2ant2 1021	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	89, 91	eqtr4d 2229	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		nncn 8992	. . . . . . . . . 10
94	93	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
95	94, 86, 87	sqdivapd 10760	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96		nncn 8992	. . . . . . . . . 10
97	96	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
98	97, 86, 87	sqdivapd 10760	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99	95, 98	oveq12d 5937	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
100	99	3ad2ant1 1020	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	83, 92, 100	3eqtr4rd 2237	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		gcddiv 12159	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	12, 27, 2, 8, 102	syl31anc 1252	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
104	86, 87	dividapd 8807	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
105	103, 104	eqtr3d 2228	. . . . . 6 $/\$ $/\$
106	105	3ad2ant1 1020	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simp3 1001	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		pythagtriplem18 12422	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	25, 38, 77, 101, 106, 107, 108	syl312anc 1270	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	94, 86, 87	divcanap2d 8813	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
111	110	eqcomd 2199	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
112	97, 86, 87	divcanap2d 8813	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
113	112	eqcomd 2199	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	85, 86, 87	divcanap2d 8813	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	114	eqcomd 2199	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	111, 113, 115	3jca 1179	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	3ad2ant1 1020	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		oveq2 5927	. . . . . . . . . 10
119	118	eqeq2d 2205	. . . . . . . . 9
120	119	3ad2ant1 1020	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
121		oveq2 5927	. . . . . . . . . 10
122	121	eqeq2d 2205	. . . . . . . . 9
123	122	3ad2ant2 1021	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124		oveq2 5927	. . . . . . . . . 10
125	124	eqeq2d 2205	. . . . . . . . 9
126	125	3ad2ant3 1022	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
127	120, 123, 126	3anbi123d 1323	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	117, 127	syl5ibcom 155	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	reximdv 2595	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	reximdv 2595	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	109, 130	mpd 13	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		oveq1 5926	. . . . . . 7
133	132	eqeq2d 2205	. . . . . 6
134		oveq1 5926	. . . . . . 7
135	134	eqeq2d 2205	. . . . . 6
136		oveq1 5926	. . . . . . 7
137	136	eqeq2d 2205	. . . . . 6
138	133, 135, 137	3anbi123d 1323	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	138	2rexbidv 2519	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	rspcev 2865	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	3, 131, 140	syl2anc 411	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142		rexcom 2658	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143		rexcom 2658	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	143	rexbii 2501	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	142, 144	bitri 184	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	141, 145	sylib 122	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2164

wne 2364

wrex 2473 class class class wbr 4030 (class class class)co 5919

cc 7872

cr 7873

cc0 7874

c1 7875

caddc 7877

cmul 7879

clt 8056

cmin 8192

cdiv 8693

cn 8984

c2 9035

cz 9320

cexp 10612

cdvds 11933

cgcd 12082

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4145 ax-sep 4148 ax-nul 4156 ax-pow 4204 ax-pr 4239 ax-un 4465 ax-setind 4570 ax-iinf 4621 ax-cnex 7965 ax-resscn 7966 ax-1cn 7967 ax-1re 7968 ax-icn 7969 ax-addcl 7970 ax-addrcl 7971 ax-mulcl 7972 ax-mulrcl 7973 ax-addcom 7974 ax-mulcom 7975 ax-addass 7976 ax-mulass 7977 ax-distr 7978 ax-i2m1 7979 ax-0lt1 7980 ax-1rid 7981 ax-0id 7982 ax-rnegex 7983 ax-precex 7984 ax-cnre 7985 ax-pre-ltirr 7986 ax-pre-ltwlin 7987 ax-pre-lttrn 7988 ax-pre-apti 7989 ax-pre-ltadd 7990 ax-pre-mulgt0 7991 ax-pre-mulext 7992 ax-arch 7993 ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-xor 1387 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2987 df-csb 3082 df-dif 3156 df-un 3158 df-in 3160 df-ss 3167 df-nul 3448 df-if 3559 df-pw 3604 df-sn 3625 df-pr 3626 df-op 3628 df-uni 3837 df-int 3872 df-iun 3915 df-br 4031 df-opab 4092 df-mpt 4093 df-tr 4129 df-id 4325 df-po 4328 df-iso 4329 df-iord 4398 df-on 4400 df-ilim 4401 df-suc 4403 df-iom 4624 df-xp 4666 df-rel 4667 df-cnv 4668 df-co 4669 df-dm 4670 df-rn 4671 df-res 4672 df-ima 4673 df-iota 5216 df-fun 5257 df-fn 5258 df-f 5259 df-f1 5260 df-fo 5261 df-f1o 5262 df-fv 5263 df-riota 5874 df-ov 5922 df-oprab 5923 df-mpo 5924 df-1st 6195 df-2nd 6196 df-recs 6360 df-frec 6446 df-1o 6471 df-2o 6472 df-er 6589 df-en 6797 df-sup 7045 df-pnf 8058 df-mnf 8059 df-xr 8060 df-ltxr 8061 df-le 8062 df-sub 8194 df-neg 8195 df-reap 8596 df-ap 8603 df-div 8694 df-inn 8985 df-2 9043 df-3 9044 df-4 9045 df-n0 9244 df-z 9321 df-uz 9596 df-q 9688 df-rp 9723 df-fz 10078 df-fzo 10212 df-fl 10342 df-mod 10397 df-seqfrec 10522 df-exp 10613 df-cj 10989 df-re 10990 df-im 10991 df-rsqrt 11145 df-abs 11146 df-dvds 11934 df-gcd 12083 df-prm 12249

This theorem is referenced by: pythagtrip 12424

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