pythagtriplem19 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pythagtriplem19 12988

Description: Lemma for pythagtrip 12989. Introduce

and remove the relative primality requirement. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem19	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem pythagtriplem19**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 12671	. . . . 5 $/\$
2	1	3adant3 1044	. . . 4 $/\$ $/\$
3	2	3ad2ant1 1045	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		nnz 9601	. . . . . . . . . . 11
5		nnz 9601	. . . . . . . . . . 11
6		gcddvds 12667	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
8	7	3adant3 1044	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	simpld 112	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
10	2	nnzd 9705	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
11	2	nnne0d 9287	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
12	4	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
13		dvdsval2 12484	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
15	9, 14	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
16		nnre 9249	. . . . . . . . 9
17	16	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
18	2	nnred 9255	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
19		nngt0 9267	. . . . . . . . 9
20	19	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
21	2	nngt0d 9286	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
22	17, 18, 20, 21	divgt0d 9214	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
23		elnnz 9592	. . . . . . 7 $/\$
24	15, 22, 23	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$
25	24	3ad2ant1 1045	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	8	simprd 114	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
27	5	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28		dvdsval2 12484	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
29	10, 11, 27, 28	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
30	26, 29	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
31		nnre 9249	. . . . . . . . 9
32	31	3ad2ant2 1046	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33		nngt0 9267	. . . . . . . . 9
34	33	3ad2ant2 1046	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
35	32, 18, 34, 21	divgt0d 9214	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
36		elnnz 9592	. . . . . . 7 $/\$
37	30, 35, 36	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$
38	37	3ad2ant1 1045	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdssq 12735	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
40	10, 12, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
41		dvdssq 12735	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
42	10, 27, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
43	40, 42	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	8, 43	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
45	2	nnsqcld 11064	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
46	45	nnzd 9705	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
47		nnsqcl 10978	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	47	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
49	48	nnzd 9705	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
50		nnsqcl 10978	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
52	51	nnzd 9705	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
53		dvds2add 12519	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
54	46, 49, 52, 53	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
55	44, 54	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
57		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	breqtrd 4137	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
59		nnz 9601	. . . . . . . . . . . 12
60	59	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
61		dvdssq 12735	. . . . . . . . . . 11 $/\$
62	10, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
63	62	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
64	58, 63	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
65		dvdsval2 12484	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
66	10, 11, 60, 65	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
67	66	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
68	64, 67	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
69		nnre 9249	. . . . . . . . . 10
70	69	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
71		nngt0 9267	. . . . . . . . . 10
72	71	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
73	70, 18, 72, 21	divgt0d 9214	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
74	73	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
75		elnnz 9592	. . . . . . 7 $/\$
76	68, 74, 75	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	3adant3 1044	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	48	nncnd 9256	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
79	51	nncnd 9256	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
80	45	nncnd 9256	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
81	45	nnap0d 9288	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ #
82	78, 79, 80, 81	divdirapd 9108	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
83	82	3ad2ant1 1045	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		nncn 9250	. . . . . . . . . 10
85	84	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86	2	nncnd 9256	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
87	2	nnap0d 9288	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
88	85, 86, 87	sqdivapd 11056	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	88	3ad2ant1 1045	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		oveq1 6059	. . . . . . . 8
91	90	3ad2ant2 1046	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	89, 91	eqtr4d 2270	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		nncn 9250	. . . . . . . . . 10
94	93	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
95	94, 86, 87	sqdivapd 11056	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96		nncn 9250	. . . . . . . . . 10
97	96	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
98	97, 86, 87	sqdivapd 11056	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99	95, 98	oveq12d 6070	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
100	99	3ad2ant1 1045	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	83, 92, 100	3eqtr4rd 2278	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		gcddiv 12723	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	12, 27, 2, 8, 102	syl31anc 1277	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
104	86, 87	dividapd 9065	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
105	103, 104	eqtr3d 2269	. . . . . 6 $/\$ $/\$
106	105	3ad2ant1 1045	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simp3 1026	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		pythagtriplem18 12987	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	25, 38, 77, 101, 106, 107, 108	syl312anc 1295	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	94, 86, 87	divcanap2d 9071	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
111	110	eqcomd 2240	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
112	97, 86, 87	divcanap2d 9071	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
113	112	eqcomd 2240	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	85, 86, 87	divcanap2d 9071	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	114	eqcomd 2240	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	111, 113, 115	3jca 1204	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	3ad2ant1 1045	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		oveq2 6060	. . . . . . . . . 10
119	118	eqeq2d 2246	. . . . . . . . 9
120	119	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
121		oveq2 6060	. . . . . . . . . 10
122	121	eqeq2d 2246	. . . . . . . . 9
123	122	3ad2ant2 1046	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124		oveq2 6060	. . . . . . . . . 10
125	124	eqeq2d 2246	. . . . . . . . 9
126	125	3ad2ant3 1047	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
127	120, 123, 126	3anbi123d 1349	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	117, 127	syl5ibcom 155	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	reximdv 2645	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	reximdv 2645	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	109, 130	mpd 13	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		oveq1 6059	. . . . . . 7
133	132	eqeq2d 2246	. . . . . 6
134		oveq1 6059	. . . . . . 7
135	134	eqeq2d 2246	. . . . . 6
136		oveq1 6059	. . . . . . 7
137	136	eqeq2d 2246	. . . . . 6
138	133, 135, 137	3anbi123d 1349	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	138	2rexbidv 2569	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	rspcev 2923	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	3, 131, 140	syl2anc 411	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142		rexcom 2709	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143		rexcom 2709	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	143	rexbii 2551	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	142, 144	bitri 184	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	141, 145	sylib 122	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2205

wne 2414

wrex 2523 class class class wbr 4111 (class class class)co 6052

cc 8130

cr 8131

cc0 8132

c1 8133

caddc 8135

cmul 8137

clt 8313

cmin 8449

cdiv 8951

cn 9242

c2 9293

cz 9582

cexp 10907

cdvds 12481

cgcd 12657

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4227 ax-sep 4230 ax-nul 4238 ax-pow 4289 ax-pr 4324 ax-un 4556 ax-setind 4661 ax-iinf 4712 ax-cnex 8223 ax-resscn 8224 ax-1cn 8225 ax-1re 8226 ax-icn 8227 ax-addcl 8228 ax-addrcl 8229 ax-mulcl 8230 ax-mulrcl 8231 ax-addcom 8232 ax-mulcom 8233 ax-addass 8234 ax-mulass 8235 ax-distr 8236 ax-i2m1 8237 ax-0lt1 8238 ax-1rid 8239 ax-0id 8240 ax-rnegex 8241 ax-precex 8242 ax-cnre 8243 ax-pre-ltirr 8244 ax-pre-ltwlin 8245 ax-pre-lttrn 8246 ax-pre-apti 8247 ax-pre-ltadd 8248 ax-pre-mulgt0 8249 ax-pre-mulext 8250 ax-arch 8251 ax-caucvg 8252

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-xor 1421 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3045 df-csb 3141 df-dif 3215 df-un 3217 df-in 3219 df-ss 3226 df-nul 3511 df-if 3623 df-pw 3673 df-sn 3697 df-pr 3698 df-op 3700 df-uni 3917 df-int 3952 df-iun 3995 df-br 4112 df-opab 4174 df-mpt 4175 df-tr 4211 df-id 4416 df-po 4419 df-iso 4420 df-iord 4489 df-on 4491 df-ilim 4492 df-suc 4494 df-iom 4715 df-xp 4757 df-rel 4758 df-cnv 4759 df-co 4760 df-dm 4761 df-rn 4762 df-res 4763 df-ima 4764 df-iota 5314 df-fun 5356 df-fn 5357 df-f 5358 df-f1 5359 df-fo 5360 df-f1o 5361 df-fv 5362 df-riota 6005 df-ov 6055 df-oprab 6056 df-mpo 6057 df-1st 6336 df-2nd 6337 df-recs 6538 df-frec 6624 df-1o 6649 df-2o 6650 df-er 6769 df-en 6978 df-sup 7277 df-pnf 8315 df-mnf 8316 df-xr 8317 df-ltxr 8318 df-le 8319 df-sub 8451 df-neg 8452 df-reap 8854 df-ap 8861 df-div 8952 df-inn 9243 df-2 9301 df-3 9302 df-4 9303 df-n0 9502 df-z 9583 df-uz 9860 df-q 9958 df-rp 9993 df-fz 10349 df-fzo 10484 df-fl 10637 df-mod 10692 df-seqfrec 10817 df-exp 10908 df-cj 11535 df-re 11536 df-im 11537 df-rsqrt 11691 df-abs 11692 df-dvds 12482 df-gcd 12658 df-prm 12813

This theorem is referenced by: pythagtrip 12989

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