pythagtriplem19 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pythagtriplem19 13063

Description: Lemma for pythagtrip 13064. Introduce

and remove the relative primality requirement. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem19	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem pythagtriplem19**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 12746	. . . . 5 $/\$
2	1	3adant3 1048	. . . 4 $/\$ $/\$
3	2	3ad2ant1 1049	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		nnz 9665	. . . . . . . . . . 11
5		nnz 9665	. . . . . . . . . . 11
6		gcddvds 12742	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
8	7	3adant3 1048	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	simpld 112	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
10	2	nnzd 9769	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
11	2	nnne0d 9350	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
12	4	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
13		dvdsval2 12559	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
15	9, 14	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
16		nnre 9312	. . . . . . . . 9
17	16	3ad2ant1 1049	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
18	2	nnred 9318	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
19		nngt0 9330	. . . . . . . . 9
20	19	3ad2ant1 1049	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
21	2	nngt0d 9349	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
22	17, 18, 20, 21	divgt0d 9266	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
23		elnnz 9656	. . . . . . 7 $/\$
24	15, 22, 23	sylanbrc 421	. . . . . 6 $/\$ $/\$
25	24	3ad2ant1 1049	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	8	simprd 114	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
27	5	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28		dvdsval2 12559	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
29	10, 11, 27, 28	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
30	26, 29	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
31		nnre 9312	. . . . . . . . 9
32	31	3ad2ant2 1050	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33		nngt0 9330	. . . . . . . . 9
34	33	3ad2ant2 1050	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
35	32, 18, 34, 21	divgt0d 9266	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
36		elnnz 9656	. . . . . . 7 $/\$
37	30, 35, 36	sylanbrc 421	. . . . . 6 $/\$ $/\$
38	37	3ad2ant1 1049	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdssq 12810	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
40	10, 12, 39	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
41		dvdssq 12810	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
42	10, 27, 41	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
43	40, 42	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	8, 43	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
45	2	nnsqcld 11134	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
46	45	nnzd 9769	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
47		nnsqcl 11048	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	47	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
49	48	nnzd 9769	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
50		nnsqcl 11048	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
52	51	nnzd 9769	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
53		dvds2add 12594	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
54	46, 49, 52, 53	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
55	44, 54	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
57		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	breqtrd 4156	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
59		nnz 9665	. . . . . . . . . . . 12
60	59	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
61		dvdssq 12810	. . . . . . . . . . 11 $/\$
62	10, 60, 61	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
63	62	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
64	58, 63	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
65		dvdsval2 12559	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
66	10, 11, 60, 65	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
67	66	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
68	64, 67	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
69		nnre 9312	. . . . . . . . . 10
70	69	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
71		nngt0 9330	. . . . . . . . . 10
72	71	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
73	70, 18, 72, 21	divgt0d 9266	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
74	73	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
75		elnnz 9656	. . . . . . 7 $/\$
76	68, 74, 75	sylanbrc 421	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	3adant3 1048	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	48	nncnd 9319	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
79	51	nncnd 9319	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
80	45	nncnd 9319	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
81	45	nnap0d 9351	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ #
82	78, 79, 80, 81	divdirapd 9160	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
83	82	3ad2ant1 1049	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		nncn 9313	. . . . . . . . . 10
85	84	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86	2	nncnd 9319	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
87	2	nnap0d 9351	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
88	85, 86, 87	sqdivapd 11126	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	88	3ad2ant1 1049	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		oveq1 6092	. . . . . . . 8
91	90	3ad2ant2 1050	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	89, 91	eqtr4d 2274	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		nncn 9313	. . . . . . . . . 10
94	93	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
95	94, 86, 87	sqdivapd 11126	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96		nncn 9313	. . . . . . . . . 10
97	96	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
98	97, 86, 87	sqdivapd 11126	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99	95, 98	oveq12d 6103	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
100	99	3ad2ant1 1049	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	83, 92, 100	3eqtr4rd 2282	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		gcddiv 12798	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	12, 27, 2, 8, 102	syl31anc 1281	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
104	86, 87	dividapd 9117	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
105	103, 104	eqtr3d 2273	. . . . . 6 $/\$ $/\$
106	105	3ad2ant1 1049	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simp3 1030	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		pythagtriplem18 13062	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	25, 38, 77, 101, 106, 107, 108	syl312anc 1299	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	94, 86, 87	divcanap2d 9123	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
111	110	eqcomd 2244	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
112	97, 86, 87	divcanap2d 9123	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
113	112	eqcomd 2244	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	85, 86, 87	divcanap2d 9123	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	114	eqcomd 2244	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	111, 113, 115	3jca 1208	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	3ad2ant1 1049	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		oveq2 6093	. . . . . . . . . 10
119	118	eqeq2d 2250	. . . . . . . . 9
120	119	3ad2ant1 1049	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
121		oveq2 6093	. . . . . . . . . 10
122	121	eqeq2d 2250	. . . . . . . . 9
123	122	3ad2ant2 1050	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124		oveq2 6093	. . . . . . . . . 10
125	124	eqeq2d 2250	. . . . . . . . 9
126	125	3ad2ant3 1051	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
127	120, 123, 126	3anbi123d 1353	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	117, 127	syl5ibcom 155	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	reximdv 2651	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	reximdv 2651	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	109, 130	mpd 13	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		oveq1 6092	. . . . . . 7
133	132	eqeq2d 2250	. . . . . 6
134		oveq1 6092	. . . . . . 7
135	134	eqeq2d 2250	. . . . . 6
136		oveq1 6092	. . . . . . 7
137	136	eqeq2d 2250	. . . . . 6
138	133, 135, 137	3anbi123d 1353	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	138	2rexbidv 2575	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	rspcev 2929	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	3, 131, 140	syl2anc 415	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142		rexcom 2715	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143		rexcom 2715	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	143	rexbii 2557	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	142, 144	bitri 184	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	141, 145	sylib 122	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209

wne 2420

wrex 2529 class class class wbr 4130 (class class class)co 6085

cc 8177

cr 8178

cc0 8179

c1 8180

caddc 8182

cmul 8184

clt 8360

cmin 8497

cdiv 9003

cn 9305

c2 9356

cz 9646

cexp 10977

cdvds 12556

cgcd 12732

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735 ax-cnex 8270 ax-resscn 8271 ax-1cn 8272 ax-1re 8273 ax-icn 8274 ax-addcl 8275 ax-addrcl 8276 ax-mulcl 8277 ax-mulrcl 8278 ax-addcom 8279 ax-mulcom 8280 ax-addass 8281 ax-mulass 8282 ax-distr 8283 ax-i2m1 8284 ax-0lt1 8285 ax-1rid 8286 ax-0id 8287 ax-rnegex 8288 ax-precex 8289 ax-cnre 8290 ax-pre-ltirr 8291 ax-pre-ltwlin 8292 ax-pre-lttrn 8293 ax-pre-apti 8294 ax-pre-ltadd 8295 ax-pre-mulgt0 8296 ax-pre-mulext 8297 ax-arch 8298 ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-xor 1425 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-ilim 4514 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-frec 6662 df-1o 6687 df-2o 6688 df-er 6807 df-en 7023 df-sup 7324 df-pnf 8362 df-mnf 8363 df-xr 8364 df-ltxr 8365 df-le 8366 df-sub 8499 df-neg 8500 df-reap 8904 df-ap 8911 df-div 9004 df-inn 9306 df-2 9364 df-3 9365 df-4 9366 df-n0 9566 df-z 9647 df-uz 9924 df-q 10022 df-rp 10057 df-fz 10414 df-fzo 10552 df-fl 10707 df-mod 10762 df-seqfrec 10887 df-exp 10978 df-cj 11609 df-re 11610 df-im 11611 df-rsqrt 11766 df-abs 11767 df-dvds 12557 df-gcd 12733 df-prm 12888

This theorem is used by: pythagtrip 13064

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