pythagtriplem19 - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > pythagtriplem19		Unicode version

Theorem pythagtriplem19 12857

Description: Lemma for pythagtrip 12858. Introduce

and remove the relative primality requirement. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem19	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem pythagtriplem19**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 12540	. . . . 5 $/\$
2	1	3adant3 1043	. . . 4 $/\$ $/\$
3	2	3ad2ant1 1044	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		nnz 9498	. . . . . . . . . . 11
5		nnz 9498	. . . . . . . . . . 11
6		gcddvds 12536	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
8	7	3adant3 1043	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	simpld 112	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
10	2	nnzd 9601	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
11	2	nnne0d 9188	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
12	4	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
13		dvdsval2 12353	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1273	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
15	9, 14	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
16		nnre 9150	. . . . . . . . 9
17	16	3ad2ant1 1044	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
18	2	nnred 9156	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
19		nngt0 9168	. . . . . . . . 9
20	19	3ad2ant1 1044	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
21	2	nngt0d 9187	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
22	17, 18, 20, 21	divgt0d 9115	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
23		elnnz 9489	. . . . . . 7 $/\$
24	15, 22, 23	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$
25	24	3ad2ant1 1044	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	8	simprd 114	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
27	5	3ad2ant2 1045	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28		dvdsval2 12353	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
29	10, 11, 27, 28	syl3anc 1273	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
30	26, 29	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
31		nnre 9150	. . . . . . . . 9
32	31	3ad2ant2 1045	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33		nngt0 9168	. . . . . . . . 9
34	33	3ad2ant2 1045	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
35	32, 18, 34, 21	divgt0d 9115	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
36		elnnz 9489	. . . . . . 7 $/\$
37	30, 35, 36	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$
38	37	3ad2ant1 1044	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdssq 12604	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
40	10, 12, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
41		dvdssq 12604	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
42	10, 27, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
43	40, 42	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	8, 43	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
45	2	nnsqcld 10957	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
46	45	nnzd 9601	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
47		nnsqcl 10872	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	47	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
49	48	nnzd 9601	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
50		nnsqcl 10872	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	3ad2ant2 1045	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
52	51	nnzd 9601	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
53		dvds2add 12388	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
54	46, 49, 52, 53	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
55	44, 54	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
57		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	breqtrd 4114	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
59		nnz 9498	. . . . . . . . . . . 12
60	59	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
61		dvdssq 12604	. . . . . . . . . . 11 $/\$
62	10, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
63	62	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
64	58, 63	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
65		dvdsval2 12353	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
66	10, 11, 60, 65	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
67	66	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
68	64, 67	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
69		nnre 9150	. . . . . . . . . 10
70	69	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
71		nngt0 9168	. . . . . . . . . 10
72	71	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
73	70, 18, 72, 21	divgt0d 9115	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
74	73	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
75		elnnz 9489	. . . . . . 7 $/\$
76	68, 74, 75	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	3adant3 1043	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	48	nncnd 9157	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
79	51	nncnd 9157	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
80	45	nncnd 9157	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
81	45	nnap0d 9189	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ #
82	78, 79, 80, 81	divdirapd 9009	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
83	82	3ad2ant1 1044	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		nncn 9151	. . . . . . . . . 10
85	84	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86	2	nncnd 9157	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
87	2	nnap0d 9189	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
88	85, 86, 87	sqdivapd 10949	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	88	3ad2ant1 1044	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		oveq1 6025	. . . . . . . 8
91	90	3ad2ant2 1045	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	89, 91	eqtr4d 2267	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		nncn 9151	. . . . . . . . . 10
94	93	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
95	94, 86, 87	sqdivapd 10949	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96		nncn 9151	. . . . . . . . . 10
97	96	3ad2ant2 1045	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
98	97, 86, 87	sqdivapd 10949	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99	95, 98	oveq12d 6036	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
100	99	3ad2ant1 1044	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	83, 92, 100	3eqtr4rd 2275	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		gcddiv 12592	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	12, 27, 2, 8, 102	syl31anc 1276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
104	86, 87	dividapd 8966	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
105	103, 104	eqtr3d 2266	. . . . . 6 $/\$ $/\$
106	105	3ad2ant1 1044	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simp3 1025	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		pythagtriplem18 12856	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	25, 38, 77, 101, 106, 107, 108	syl312anc 1294	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	94, 86, 87	divcanap2d 8972	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
111	110	eqcomd 2237	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
112	97, 86, 87	divcanap2d 8972	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
113	112	eqcomd 2237	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	85, 86, 87	divcanap2d 8972	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	114	eqcomd 2237	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	111, 113, 115	3jca 1203	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	3ad2ant1 1044	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		oveq2 6026	. . . . . . . . . 10
119	118	eqeq2d 2243	. . . . . . . . 9
120	119	3ad2ant1 1044	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
121		oveq2 6026	. . . . . . . . . 10
122	121	eqeq2d 2243	. . . . . . . . 9
123	122	3ad2ant2 1045	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124		oveq2 6026	. . . . . . . . . 10
125	124	eqeq2d 2243	. . . . . . . . 9
126	125	3ad2ant3 1046	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
127	120, 123, 126	3anbi123d 1348	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	117, 127	syl5ibcom 155	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	reximdv 2633	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	reximdv 2633	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	109, 130	mpd 13	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		oveq1 6025	. . . . . . 7
133	132	eqeq2d 2243	. . . . . 6
134		oveq1 6025	. . . . . . 7
135	134	eqeq2d 2243	. . . . . 6
136		oveq1 6025	. . . . . . 7
137	136	eqeq2d 2243	. . . . . 6
138	133, 135, 137	3anbi123d 1348	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	138	2rexbidv 2557	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	rspcev 2910	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	3, 131, 140	syl2anc 411	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142		rexcom 2697	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143		rexcom 2697	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	143	rexbii 2539	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	142, 144	bitri 184	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	141, 145	sylib 122	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1004

wceq 1397

wcel 2202

wne 2402

wrex 2511 class class class wbr 4088 (class class class)co 6018

cc 8030

cr 8031

cc0 8032

c1 8033

caddc 8035

cmul 8037

clt 8214

cmin 8350

cdiv 8852

cn 9143

c2 9194

cz 9479

cexp 10801

cdvds 12350

cgcd 12526

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8123 ax-resscn 8124 ax-1cn 8125 ax-1re 8126 ax-icn 8127 ax-addcl 8128 ax-addrcl 8129 ax-mulcl 8130 ax-mulrcl 8131 ax-addcom 8132 ax-mulcom 8133 ax-addass 8134 ax-mulass 8135 ax-distr 8136 ax-i2m1 8137 ax-0lt1 8138 ax-1rid 8139 ax-0id 8140 ax-rnegex 8141 ax-precex 8142 ax-cnre 8143 ax-pre-ltirr 8144 ax-pre-ltwlin 8145 ax-pre-lttrn 8146 ax-pre-apti 8147 ax-pre-ltadd 8148 ax-pre-mulgt0 8149 ax-pre-mulext 8150 ax-arch 8151 ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 838 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-xor 1420 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-riota 5971 df-ov 6021 df-oprab 6022 df-mpo 6023 df-1st 6303 df-2nd 6304 df-recs 6471 df-frec 6557 df-1o 6582 df-2o 6583 df-er 6702 df-en 6910 df-sup 7183 df-pnf 8216 df-mnf 8217 df-xr 8218 df-ltxr 8219 df-le 8220 df-sub 8352 df-neg 8353 df-reap 8755 df-ap 8762 df-div 8853 df-inn 9144 df-2 9202 df-3 9203 df-4 9204 df-n0 9403 df-z 9480 df-uz 9756 df-q 9854 df-rp 9889 df-fz 10244 df-fzo 10378 df-fl 10531 df-mod 10586 df-seqfrec 10711 df-exp 10802 df-cj 11404 df-re 11405 df-im 11406 df-rsqrt 11560 df-abs 11561 df-dvds 12351 df-gcd 12527 df-prm 12682

This theorem is referenced by: pythagtrip 12858

W3C validator