pythagtriplem19 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pythagtriplem19 12451

Description: Lemma for pythagtrip 12452. Introduce

and remove the relative primality requirement. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem19	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem pythagtriplem19**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 12134	. . . . 5 $/\$
2	1	3adant3 1019	. . . 4 $/\$ $/\$
3	2	3ad2ant1 1020	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		nnz 9345	. . . . . . . . . . 11
5		nnz 9345	. . . . . . . . . . 11
6		gcddvds 12130	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
8	7	3adant3 1019	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	simpld 112	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
10	2	nnzd 9447	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
11	2	nnne0d 9035	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
12	4	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
13		dvdsval2 11955	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
15	9, 14	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
16		nnre 8997	. . . . . . . . 9
17	16	3ad2ant1 1020	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
18	2	nnred 9003	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
19		nngt0 9015	. . . . . . . . 9
20	19	3ad2ant1 1020	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
21	2	nngt0d 9034	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
22	17, 18, 20, 21	divgt0d 8962	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
23		elnnz 9336	. . . . . . 7 $/\$
24	15, 22, 23	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$
25	24	3ad2ant1 1020	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	8	simprd 114	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
27	5	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28		dvdsval2 11955	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
29	10, 11, 27, 28	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
30	26, 29	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
31		nnre 8997	. . . . . . . . 9
32	31	3ad2ant2 1021	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33		nngt0 9015	. . . . . . . . 9
34	33	3ad2ant2 1021	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
35	32, 18, 34, 21	divgt0d 8962	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
36		elnnz 9336	. . . . . . 7 $/\$
37	30, 35, 36	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$
38	37	3ad2ant1 1020	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		dvdssq 12198	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
40	10, 12, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
41		dvdssq 12198	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
42	10, 27, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
43	40, 42	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	8, 43	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
45	2	nnsqcld 10786	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
46	45	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
47		nnsqcl 10701	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	47	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
49	48	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
50		nnsqcl 10701	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
52	51	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
53		dvds2add 11990	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
54	46, 49, 52, 53	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
55	44, 54	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
57		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	breqtrd 4059	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
59		nnz 9345	. . . . . . . . . . . 12
60	59	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
61		dvdssq 12198	. . . . . . . . . . 11 $/\$
62	10, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
63	62	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
64	58, 63	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
65		dvdsval2 11955	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
66	10, 11, 60, 65	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
67	66	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
68	64, 67	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
69		nnre 8997	. . . . . . . . . 10
70	69	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
71		nngt0 9015	. . . . . . . . . 10
72	71	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
73	70, 18, 72, 21	divgt0d 8962	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
74	73	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
75		elnnz 9336	. . . . . . 7 $/\$
76	68, 74, 75	sylanbrc 417	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	3adant3 1019	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	48	nncnd 9004	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
79	51	nncnd 9004	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
80	45	nncnd 9004	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
81	45	nnap0d 9036	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ #
82	78, 79, 80, 81	divdirapd 8856	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
83	82	3ad2ant1 1020	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		nncn 8998	. . . . . . . . . 10
85	84	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86	2	nncnd 9004	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
87	2	nnap0d 9036	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
88	85, 86, 87	sqdivapd 10778	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	88	3ad2ant1 1020	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		oveq1 5929	. . . . . . . 8
91	90	3ad2ant2 1021	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	89, 91	eqtr4d 2232	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		nncn 8998	. . . . . . . . . 10
94	93	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
95	94, 86, 87	sqdivapd 10778	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96		nncn 8998	. . . . . . . . . 10
97	96	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
98	97, 86, 87	sqdivapd 10778	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99	95, 98	oveq12d 5940	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
100	99	3ad2ant1 1020	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	83, 92, 100	3eqtr4rd 2240	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		gcddiv 12186	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	12, 27, 2, 8, 102	syl31anc 1252	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
104	86, 87	dividapd 8813	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
105	103, 104	eqtr3d 2231	. . . . . 6 $/\$ $/\$
106	105	3ad2ant1 1020	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simp3 1001	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		pythagtriplem18 12450	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	25, 38, 77, 101, 106, 107, 108	syl312anc 1270	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	94, 86, 87	divcanap2d 8819	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
111	110	eqcomd 2202	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
112	97, 86, 87	divcanap2d 8819	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
113	112	eqcomd 2202	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114	85, 86, 87	divcanap2d 8819	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	114	eqcomd 2202	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	111, 113, 115	3jca 1179	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	3ad2ant1 1020	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		oveq2 5930	. . . . . . . . . 10
119	118	eqeq2d 2208	. . . . . . . . 9
120	119	3ad2ant1 1020	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
121		oveq2 5930	. . . . . . . . . 10
122	121	eqeq2d 2208	. . . . . . . . 9
123	122	3ad2ant2 1021	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124		oveq2 5930	. . . . . . . . . 10
125	124	eqeq2d 2208	. . . . . . . . 9
126	125	3ad2ant3 1022	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
127	120, 123, 126	3anbi123d 1323	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	117, 127	syl5ibcom 155	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	reximdv 2598	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	reximdv 2598	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	109, 130	mpd 13	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		oveq1 5929	. . . . . . 7
133	132	eqeq2d 2208	. . . . . 6
134		oveq1 5929	. . . . . . 7
135	134	eqeq2d 2208	. . . . . 6
136		oveq1 5929	. . . . . . 7
137	136	eqeq2d 2208	. . . . . 6
138	133, 135, 137	3anbi123d 1323	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	138	2rexbidv 2522	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	rspcev 2868	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	3, 131, 140	syl2anc 411	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142		rexcom 2661	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143		rexcom 2661	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	143	rexbii 2504	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	142, 144	bitri 184	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	141, 145	sylib 122	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2167

wne 2367

wrex 2476 class class class wbr 4033 (class class class)co 5922

cc 7877

cr 7878

cc0 7879

c1 7880

caddc 7882

cmul 7884

clt 8061

cmin 8197

cdiv 8699

cn 8990

c2 9041

cz 9326

cexp 10630

cdvds 11952

cgcd 12120

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-xor 1387 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-frec 6449 df-1o 6474 df-2o 6475 df-er 6592 df-en 6800 df-sup 7050 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-2 9049 df-3 9050 df-4 9051 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-fz 10084 df-fzo 10218 df-fl 10360 df-mod 10415 df-seqfrec 10540 df-exp 10631 df-cj 11007 df-re 11008 df-im 11009 df-rsqrt 11163 df-abs 11164 df-dvds 11953 df-gcd 12121 df-prm 12276

This theorem is referenced by: pythagtrip 12452

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