Theorem sqgcd 12169

Description: Square distributes over gcd. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sqgcd	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem sqgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 12107	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. NN )
2	1	nnsqcld 10768	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. NN )
3	2	nncnd 8998	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. CC )
4	3	mulridd 8038	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M gcd N ) ^ 2 ) )
5		nnsqcl 10683	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( M ^ 2 ) e. NN )
6	5	nnzd 9441	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
8		nnsqcl 10683	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N ^ 2 ) e. NN )
9	8	nnzd 9441	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
10	9	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
11		nnz 9339	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
12		nnz 9339	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
13		gcddvds 12103	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
14	11, 12, 13	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
15	14	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) || M )
16	1	nnzd 9441	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. ZZ )
17	11	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. ZZ )
18		dvdssqim 12164	. . . . . . 7 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( M ^ 2 ) ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || M -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( M ^ 2 ) ) )
20	15, 19	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( M ^ 2 ) )
21	14	simprd 114	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) || N )
22	12	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
23		dvdssqim 12164	. . . . . . 7 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || N -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
24	16, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || N -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
25	21, 24	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) )
26		gcddiv 12159	. . . . 5 |- ( ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( M ^ 2 ) /\ ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) gcd ( ( N ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) ) )
27	7, 10, 2, 20, 25, 26	syl32anc 1257	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) gcd ( ( N ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) ) )
28		nncn 8992	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. CC )
29	28	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. CC )
30	1	nncnd 8998	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. CC )
31	1	nnap0d 9030	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) # 0 )
32	29, 30, 31	sqdivapd 10760	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) )
33		nncn 8992	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. CC )
34	33	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. CC )
35	34, 30, 31	sqdivapd 10760	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) = ( ( N ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) )
36	32, 35	oveq12d 5937	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) gcd ( ( N ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) ) )
37		gcddiv 12159	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M gcd N ) e. NN ) /\ ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) ) -> ( ( M gcd N ) / ( M gcd N ) ) = ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) )
38	17, 22, 1, 14, 37	syl31anc 1252	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) / ( M gcd N ) ) = ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) )
39	30, 31	dividapd 8807	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) / ( M gcd N ) ) = 1 )
40	38, 39	eqtr3d 2228	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) = 1 )
41	1	nnne0d 9029	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) =/= 0 )
42		dvdsval2 11936	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ ( M gcd N ) =/= 0 /\ M e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M <-> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
43	16, 41, 17, 42	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || M <-> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
44	15, 43	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
45		nnre 8991	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M e. RR )
46	45	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. RR )
47	1	nnred 8997	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. RR )
48		nngt0 9009	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> 0 < M )
49	48	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < M )
50	1	nngt0d 9028	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < ( M gcd N ) )
51	46, 47, 49, 50	divgt0d 8956	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < ( M / ( M gcd N ) ) )
52		elnnz 9330	. . . . . . 7 |- ( ( M / ( M gcd N ) ) e. NN <-> ( ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ /\ 0 < ( M / ( M gcd N ) ) ) )
53	44, 51, 52	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M / ( M gcd N ) ) e. NN )
54		dvdsval2 11936	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ ( M gcd N ) =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || N <-> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
55	16, 41, 22, 54	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || N <-> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
56	21, 55	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
57		nnre 8991	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. RR )
58	57	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. RR )
59		nngt0 9009	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 < N )
60	59	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < N )
61	58, 47, 60, 50	divgt0d 8956	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < ( N / ( M gcd N ) ) )
62		elnnz 9330	. . . . . . 7 |- ( ( N / ( M gcd N ) ) e. NN <-> ( ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ /\ 0 < ( N / ( M gcd N ) ) ) )
63	56, 61, 62	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N / ( M gcd N ) ) e. NN )
64		2nn 9146	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
65		rppwr 12168	. . . . . . 7 |- ( ( ( M / ( M gcd N ) ) e. NN /\ ( N / ( M gcd N ) ) e. NN /\ 2 e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) = 1 -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
66	64, 65	mp3an3 1337	. . . . . 6 |- ( ( ( M / ( M gcd N ) ) e. NN /\ ( N / ( M gcd N ) ) e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) = 1 -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
67	53, 63, 66	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) = 1 -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
68	40, 67	mpd 13	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
69	27, 36, 68	3eqtr2d 2232	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = 1 )
70	6, 9	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ ) )
71	5	nnne0d 9029	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( M ^ 2 ) =/= 0 )
72	71	neneqd 2385	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> -. ( M ^ 2 ) = 0 )
73	72	intnanrd 933	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> -. ( ( M ^ 2 ) = 0 /\ ( N ^ 2 ) = 0 ) )
74	73	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> -. ( ( M ^ 2 ) = 0 /\ ( N ^ 2 ) = 0 ) )
75		gcdn0cl 12102	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ ) /\ -. ( ( M ^ 2 ) = 0 /\ ( N ^ 2 ) = 0 ) ) -> ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. NN )
76	70, 74, 75	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. NN )
77	76	nncnd 8998	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. CC )
78	2	nnap0d 9030	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) # 0 )
79		ax-1cn 7967	. . . . 5 |- 1 e. CC
80		divmulap 8696	. . . . 5 |- ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( M gcd N ) ^ 2 ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = 1 <-> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) ) )
81	79, 80	mp3an2 1336	. . . 4 |- ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. CC /\ ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( M gcd N ) ^ 2 ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = 1 <-> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) ) )
82	77, 3, 78, 81	syl12anc 1247	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = 1 <-> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) ) )
83	69, 82	mpbid 147	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) )
84	4, 83	eqtr3d 2228	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   CCcc 7872   RRcr 7873   0cc0 7874   1c1 7875   x. cmul 7879   < clt 8056   # cap 8602   / cdiv 8693   NNcn 8984   2c2 9035   ZZcz 9320   ^cexp 10612   || cdvds 11933   gcd cgcd 12082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-sup 7045  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-fl 10342  df-mod 10397  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-dvds 11934  df-gcd 12083

This theorem is referenced by:  dvdssqlem  12170  nn0gcdsq  12341  pythagtriplem3  12408