Theorem sqgcd 12680

Description: Square distributes over gcd. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sqgcd	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem sqgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 12618	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. NN )
2	1	nnsqcld 11019	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. NN )
3	2	nncnd 9216	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. CC )
4	3	mulridd 8256	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M gcd N ) ^ 2 ) )
5		nnsqcl 10934	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( M ^ 2 ) e. NN )
6	5	nnzd 9662	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
8		nnsqcl 10934	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N ^ 2 ) e. NN )
9	8	nnzd 9662	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
10	9	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
11		nnz 9559	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
12		nnz 9559	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
13		gcddvds 12614	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
14	11, 12, 13	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
15	14	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) || M )
16	1	nnzd 9662	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. ZZ )
17	11	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. ZZ )
18		dvdssqim 12675	. . . . . . 7 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( M ^ 2 ) ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || M -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( M ^ 2 ) ) )
20	15, 19	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( M ^ 2 ) )
21	14	simprd 114	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) || N )
22	12	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
23		dvdssqim 12675	. . . . . . 7 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || N -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
24	16, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || N -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
25	21, 24	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) )
26		gcddiv 12670	. . . . 5 |- ( ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( M ^ 2 ) /\ ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) gcd ( ( N ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) ) )
27	7, 10, 2, 20, 25, 26	syl32anc 1282	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) gcd ( ( N ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) ) )
28		nncn 9210	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. CC )
29	28	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. CC )
30	1	nncnd 9216	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. CC )
31	1	nnap0d 9248	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) # 0 )
32	29, 30, 31	sqdivapd 11011	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) )
33		nncn 9210	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. CC )
34	33	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. CC )
35	34, 30, 31	sqdivapd 11011	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) = ( ( N ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) )
36	32, 35	oveq12d 6046	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) gcd ( ( N ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) ) )
37		gcddiv 12670	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M gcd N ) e. NN ) /\ ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) ) -> ( ( M gcd N ) / ( M gcd N ) ) = ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) )
38	17, 22, 1, 14, 37	syl31anc 1277	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) / ( M gcd N ) ) = ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) )
39	30, 31	dividapd 9025	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) / ( M gcd N ) ) = 1 )
40	38, 39	eqtr3d 2266	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) = 1 )
41	1	nnne0d 9247	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) =/= 0 )
42		dvdsval2 12431	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ ( M gcd N ) =/= 0 /\ M e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M <-> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
43	16, 41, 17, 42	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || M <-> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
44	15, 43	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
45		nnre 9209	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M e. RR )
46	45	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. RR )
47	1	nnred 9215	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. RR )
48		nngt0 9227	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> 0 < M )
49	48	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < M )
50	1	nngt0d 9246	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < ( M gcd N ) )
51	46, 47, 49, 50	divgt0d 9174	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < ( M / ( M gcd N ) ) )
52		elnnz 9550	. . . . . . 7 |- ( ( M / ( M gcd N ) ) e. NN <-> ( ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ /\ 0 < ( M / ( M gcd N ) ) ) )
53	44, 51, 52	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M / ( M gcd N ) ) e. NN )
54		dvdsval2 12431	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ ( M gcd N ) =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || N <-> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
55	16, 41, 22, 54	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || N <-> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
56	21, 55	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
57		nnre 9209	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. RR )
58	57	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. RR )
59		nngt0 9227	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 < N )
60	59	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < N )
61	58, 47, 60, 50	divgt0d 9174	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < ( N / ( M gcd N ) ) )
62		elnnz 9550	. . . . . . 7 |- ( ( N / ( M gcd N ) ) e. NN <-> ( ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ /\ 0 < ( N / ( M gcd N ) ) ) )
63	56, 61, 62	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N / ( M gcd N ) ) e. NN )
64		2nn 9364	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
65		rppwr 12679	. . . . . . 7 |- ( ( ( M / ( M gcd N ) ) e. NN /\ ( N / ( M gcd N ) ) e. NN /\ 2 e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) = 1 -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
66	64, 65	mp3an3 1363	. . . . . 6 |- ( ( ( M / ( M gcd N ) ) e. NN /\ ( N / ( M gcd N ) ) e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) = 1 -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
67	53, 63, 66	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) = 1 -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
68	40, 67	mpd 13	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
69	27, 36, 68	3eqtr2d 2270	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = 1 )
70	6, 9	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ ) )
71	5	nnne0d 9247	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( M ^ 2 ) =/= 0 )
72	71	neneqd 2424	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> -. ( M ^ 2 ) = 0 )
73	72	intnanrd 940	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> -. ( ( M ^ 2 ) = 0 /\ ( N ^ 2 ) = 0 ) )
74	73	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> -. ( ( M ^ 2 ) = 0 /\ ( N ^ 2 ) = 0 ) )
75		gcdn0cl 12613	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ ) /\ -. ( ( M ^ 2 ) = 0 /\ ( N ^ 2 ) = 0 ) ) -> ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. NN )
76	70, 74, 75	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. NN )
77	76	nncnd 9216	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. CC )
78	2	nnap0d 9248	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) # 0 )
79		ax-1cn 8185	. . . . 5 |- 1 e. CC
80		divmulap 8914	. . . . 5 |- ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( M gcd N ) ^ 2 ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = 1 <-> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) ) )
81	79, 80	mp3an2 1362	. . . 4 |- ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. CC /\ ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( M gcd N ) ^ 2 ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = 1 <-> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) ) )
82	77, 3, 78, 81	syl12anc 1272	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = 1 <-> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) ) )
83	69, 82	mpbid 147	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) )
84	4, 83	eqtr3d 2266	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   CCcc 8090   RRcr 8091   0cc0 8092   1c1 8093   x. cmul 8097   < clt 8273   # cap 8820   / cdiv 8911   NNcn 9202   2c2 9253   ZZcz 9540   ^cexp 10863   || cdvds 12428   gcd cgcd 12604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-sup 7243  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-fl 10593  df-mod 10648  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-dvds 12429  df-gcd 12605

This theorem is referenced by:  dvdssqlem  12681  nn0gcdsq  12852  pythagtriplem3  12920