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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > sqgcd | Unicode version |
Description: Square distributes over GCD. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.) |
Ref | Expression |
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sqgcd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | gcdnncl 11451 |
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2 | 1 | nnsqcld 10286 |
. . . 4
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3 | 2 | nncnd 8592 |
. . 3
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4 | 3 | mulid1d 7655 |
. 2
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5 | nnsqcl 10203 |
. . . . . . 7
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6 | 5 | nnzd 9024 |
. . . . . 6
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7 | 6 | adantr 272 |
. . . . 5
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8 | nnsqcl 10203 |
. . . . . . 7
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9 | 8 | nnzd 9024 |
. . . . . 6
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10 | 9 | adantl 273 |
. . . . 5
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11 | nnz 8925 |
. . . . . . . 8
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12 | nnz 8925 |
. . . . . . . 8
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13 | gcddvds 11447 |
. . . . . . . 8
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14 | 11, 12, 13 | syl2an 285 |
. . . . . . 7
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15 | 14 | simpld 111 |
. . . . . 6
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16 | 1 | nnzd 9024 |
. . . . . . 7
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17 | 11 | adantr 272 |
. . . . . . 7
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18 | dvdssqim 11505 |
. . . . . . 7
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19 | 16, 17, 18 | syl2anc 406 |
. . . . . 6
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20 | 15, 19 | mpd 13 |
. . . . 5
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21 | 14 | simprd 113 |
. . . . . 6
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22 | 12 | adantl 273 |
. . . . . . 7
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23 | dvdssqim 11505 |
. . . . . . 7
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24 | 16, 22, 23 | syl2anc 406 |
. . . . . 6
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25 | 21, 24 | mpd 13 |
. . . . 5
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26 | gcddiv 11500 |
. . . . 5
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27 | 7, 10, 2, 20, 25, 26 | syl32anc 1192 |
. . . 4
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28 | nncn 8586 |
. . . . . . 7
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29 | 28 | adantr 272 |
. . . . . 6
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30 | 1 | nncnd 8592 |
. . . . . 6
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31 | 1 | nnap0d 8624 |
. . . . . 6
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32 | 29, 30, 31 | sqdivapd 10278 |
. . . . 5
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33 | nncn 8586 |
. . . . . . 7
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34 | 33 | adantl 273 |
. . . . . 6
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35 | 34, 30, 31 | sqdivapd 10278 |
. . . . 5
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36 | 32, 35 | oveq12d 5724 |
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37 | gcddiv 11500 |
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38 | 17, 22, 1, 14, 37 | syl31anc 1187 |
. . . . . 6
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39 | 30, 31 | dividapd 8407 |
. . . . . 6
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40 | 38, 39 | eqtr3d 2134 |
. . . . 5
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41 | 1 | nnne0d 8623 |
. . . . . . . . 9
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42 | dvdsval2 11291 |
. . . . . . . . 9
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43 | 16, 41, 17, 42 | syl3anc 1184 |
. . . . . . . 8
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44 | 15, 43 | mpbid 146 |
. . . . . . 7
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45 | nnre 8585 |
. . . . . . . . 9
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46 | 45 | adantr 272 |
. . . . . . . 8
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47 | 1 | nnred 8591 |
. . . . . . . 8
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48 | nngt0 8603 |
. . . . . . . . 9
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49 | 48 | adantr 272 |
. . . . . . . 8
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50 | 1 | nngt0d 8622 |
. . . . . . . 8
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51 | 46, 47, 49, 50 | divgt0d 8551 |
. . . . . . 7
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52 | elnnz 8916 |
. . . . . . 7
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53 | 44, 51, 52 | sylanbrc 411 |
. . . . . 6
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54 | dvdsval2 11291 |
. . . . . . . . 9
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55 | 16, 41, 22, 54 | syl3anc 1184 |
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56 | 21, 55 | mpbid 146 |
. . . . . . 7
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57 | nnre 8585 |
. . . . . . . . 9
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58 | 57 | adantl 273 |
. . . . . . . 8
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59 | nngt0 8603 |
. . . . . . . . 9
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60 | 59 | adantl 273 |
. . . . . . . 8
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61 | 58, 47, 60, 50 | divgt0d 8551 |
. . . . . . 7
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62 | elnnz 8916 |
. . . . . . 7
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63 | 56, 61, 62 | sylanbrc 411 |
. . . . . 6
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64 | 2nn 8733 |
. . . . . . 7
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65 | rppwr 11509 |
. . . . . . 7
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66 | 64, 65 | mp3an3 1272 |
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67 | 53, 63, 66 | syl2anc 406 |
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68 | 40, 67 | mpd 13 |
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69 | 27, 36, 68 | 3eqtr2d 2138 |
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70 | 6, 9 | anim12i 334 |
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71 | 5 | nnne0d 8623 |
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72 | 71 | neneqd 2288 |
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74 | 73 | adantr 272 |
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75 | gcdn0cl 11446 |
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76 | 70, 74, 75 | syl2anc 406 |
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77 | 76 | nncnd 8592 |
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78 | 2 | nnap0d 8624 |
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79 | ax-1cn 7588 |
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80 | divmulap 8296 |
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81 | 79, 80 | mp3an2 1271 |
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82 | 77, 3, 78, 81 | syl12anc 1182 |
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83 | 69, 82 | mpbid 146 |
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84 | 4, 83 | eqtr3d 2134 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-coll 3983 ax-sep 3986 ax-nul 3994 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 ax-iinf 4440 ax-cnex 7586 ax-resscn 7587 ax-1cn 7588 ax-1re 7589 ax-icn 7590 ax-addcl 7591 ax-addrcl 7592 ax-mulcl 7593 ax-mulrcl 7594 ax-addcom 7595 ax-mulcom 7596 ax-addass 7597 ax-mulass 7598 ax-distr 7599 ax-i2m1 7600 ax-0lt1 7601 ax-1rid 7602 ax-0id 7603 ax-rnegex 7604 ax-precex 7605 ax-cnre 7606 ax-pre-ltirr 7607 ax-pre-ltwlin 7608 ax-pre-lttrn 7609 ax-pre-apti 7610 ax-pre-ltadd 7611 ax-pre-mulgt0 7612 ax-pre-mulext 7613 ax-arch 7614 ax-caucvg 7615 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 787 df-3or 931 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-nel 2363 df-ral 2380 df-rex 2381 df-reu 2382 df-rmo 2383 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-csb 2956 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-nul 3311 df-if 3422 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-int 3719 df-iun 3762 df-br 3876 df-opab 3930 df-mpt 3931 df-tr 3967 df-id 4153 df-po 4156 df-iso 4157 df-iord 4226 df-on 4228 df-ilim 4229 df-suc 4231 df-iom 4443 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-f1 5064 df-fo 5065 df-f1o 5066 df-fv 5067 df-riota 5662 df-ov 5709 df-oprab 5710 df-mpo 5711 df-1st 5969 df-2nd 5970 df-recs 6132 df-frec 6218 df-sup 6786 df-pnf 7674 df-mnf 7675 df-xr 7676 df-ltxr 7677 df-le 7678 df-sub 7806 df-neg 7807 df-reap 8203 df-ap 8210 df-div 8294 df-inn 8579 df-2 8637 df-3 8638 df-4 8639 df-n0 8830 df-z 8907 df-uz 9177 df-q 9262 df-rp 9292 df-fz 9632 df-fzo 9761 df-fl 9884 df-mod 9937 df-seqfrec 10060 df-exp 10134 df-cj 10455 df-re 10456 df-im 10457 df-rsqrt 10610 df-abs 10611 df-dvds 11289 df-gcd 11431 |
This theorem is referenced by: dvdssqlem 11511 nn0gcdsq 11670 |
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