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Theorem sqgcd 11629
Description: Square distributes over GCD. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sqgcd  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem sqgcd
StepHypRef Expression
1 gcdnncl 11568 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  NN )
21nnsqcld 10400 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  e.  NN )
32nncnd 8698 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  e.  CC )
43mulid1d 7751 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  gcd  N ) ^
2 )  x.  1 )  =  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) )
5 nnsqcl 10317 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ 2 )  e.  NN )
65nnzd 9130 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
76adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
8 nnsqcl 10317 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  NN )
98nnzd 9130 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )
109adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )
11 nnz 9031 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
12 nnz 9031 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
13 gcddvds 11564 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N ) )
1411, 12, 13syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N ) )
1514simpld 111 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  M )
161nnzd 9130 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  ZZ )
1711adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
18 dvdssqim 11624 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  -> 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) 
||  ( M ^
2 ) ) )
1916, 17, 18syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  -> 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) 
||  ( M ^
2 ) ) )
2015, 19mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) 
||  ( M ^
2 ) )
2114simprd 113 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  N )
2212adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
23 dvdssqim 11624 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  N  -> 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
2416, 22, 23syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  N  -> 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
2521, 24mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) )
26 gcddiv 11619 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M ^
2 )  e.  ZZ  /\  ( N ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  e.  NN )  /\  ( ( ( M  gcd  N ) ^
2 )  ||  ( M ^ 2 )  /\  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^
2 ) )  / 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) )  gcd  ( ( N ^ 2 )  / 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) ) ) )
277, 10, 2, 20, 25, 26syl32anc 1209 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  /  (
( M  gcd  N
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) )  gcd  ( ( N ^ 2 )  / 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) ) ) )
28 nncn 8692 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
2928adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
301nncnd 8698 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  CC )
311nnap0d 8730 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
) #  0 )
3229, 30, 31sqdivapd 10392 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  / 
( M  gcd  N
) ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( ( M  gcd  N ) ^
2 ) ) )
33 nncn 8692 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
3433adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
3534, 30, 31sqdivapd 10392 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  / 
( M  gcd  N
) ) ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  /  ( ( M  gcd  N ) ^
2 ) ) )
3632, 35oveq12d 5760 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  ( M  gcd  N ) ) ^ 2 )  gcd  ( ( N  /  ( M  gcd  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  ( ( M  gcd  N ) ^
2 ) )  gcd  ( ( N ^
2 )  /  (
( M  gcd  N
) ^ 2 ) ) ) )
37 gcddiv 11619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  gcd  N )  e.  NN )  /\  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N ) )  ->  ( ( M  gcd  N )  / 
( M  gcd  N
) )  =  ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  gcd  ( N  / 
( M  gcd  N
) ) ) )
3817, 22, 1, 14, 37syl31anc 1204 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =  ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  gcd  ( N  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
3930, 31dividapd 8513 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =  1 )
4038, 39eqtr3d 2152 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  / 
( M  gcd  N
) )  gcd  ( N  /  ( M  gcd  N ) ) )  =  1 )
411nnne0d 8729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  =/=  0 )
42 dvdsval2 11408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  ( M  gcd  N )  =/=  0  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( M  gcd  N
)  ||  M  <->  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
4316, 41, 17, 42syl3anc 1201 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  <->  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
4415, 43mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )
45 nnre 8691 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
4645adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
471nnred 8697 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  RR )
48 nngt0 8709 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <  M )
4948adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  M )
501nngt0d 8728 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( M  gcd  N ) )
5146, 47, 49, 50divgt0d 8657 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( M  /  ( M  gcd  N ) ) )
52 elnnz 9022 . . . . . . 7  |-  ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN  <->  ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( M  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
5344, 51, 52sylanbrc 413 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN )
54 dvdsval2 11408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  ( M  gcd  N )  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( M  gcd  N
)  ||  N  <->  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
5516, 41, 22, 54syl3anc 1201 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  N  <->  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
5621, 55mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )
57 nnre 8691 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
5857adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
59 nngt0 8709 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
6059adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
6158, 47, 60, 50divgt0d 8657 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( N  /  ( M  gcd  N ) ) )
62 elnnz 9022 . . . . . . 7  |-  ( ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN  <->  ( ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( N  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
6356, 61, 62sylanbrc 413 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN )
64 2nn 8839 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
65 rppwr 11628 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN  /\  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN  /\  2  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  gcd  ( N  / 
( M  gcd  N
) ) )  =  1  ->  ( (
( M  /  ( M  gcd  N ) ) ^ 2 )  gcd  ( ( N  / 
( M  gcd  N
) ) ^ 2 ) )  =  1 ) )
6664, 65mp3an3 1289 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN  /\  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  gcd  ( N  / 
( M  gcd  N
) ) )  =  1  ->  ( (
( M  /  ( M  gcd  N ) ) ^ 2 )  gcd  ( ( N  / 
( M  gcd  N
) ) ^ 2 ) )  =  1 ) )
6753, 63, 66syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  gcd  ( N  /  ( M  gcd  N ) ) )  =  1  ->  ( (
( M  /  ( M  gcd  N ) ) ^ 2 )  gcd  ( ( N  / 
( M  gcd  N
) ) ^ 2 ) )  =  1 ) )
6840, 67mpd 13 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  ( M  gcd  N ) ) ^ 2 )  gcd  ( ( N  /  ( M  gcd  N ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
6927, 36, 683eqtr2d 2156 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  /  (
( M  gcd  N
) ^ 2 ) )  =  1 )
706, 9anim12i 336 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M ^
2 )  e.  ZZ  /\  ( N ^ 2 )  e.  ZZ ) )
715nnne0d 8729 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ 2 )  =/=  0 )
7271neneqd 2306 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  -.  ( M ^ 2 )  =  0 )
7372intnanrd 902 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  -.  ( ( M ^
2 )  =  0  /\  ( N ^
2 )  =  0 ) )
7473adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  -.  ( ( M ^ 2 )  =  0  /\  ( N ^ 2 )  =  0 ) )
75 gcdn0cl 11563 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M ^
2 )  e.  ZZ  /\  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )  /\  -.  ( ( M ^ 2 )  =  0  /\  ( N ^ 2 )  =  0 ) )  -> 
( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  e.  NN )
7670, 74, 75syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  e.  NN )
7776nncnd 8698 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  e.  CC )
782nnap0d 8730 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) #  0 )
79 ax-1cn 7681 . . . . 5  |-  1  e.  CC
80 divmulap 8402 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( ( ( M  gcd  N
) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( M  gcd  N
) ^ 2 ) #  0 ) )  -> 
( ( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^
2 ) )  / 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) )  =  1  <->  (
( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  x.  1 )  =  ( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) ) ) )
8179, 80mp3an2 1288 . . . 4  |-  ( ( ( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  e.  CC  /\  (
( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( M  gcd  N
) ^ 2 ) #  0 ) )  -> 
( ( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^
2 ) )  / 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) )  =  1  <->  (
( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  x.  1 )  =  ( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) ) ) )
8277, 3, 78, 81syl12anc 1199 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^
2 ) )  / 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) )  =  1  <->  (
( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  x.  1 )  =  ( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) ) ) )
8369, 82mpbid 146 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  gcd  N ) ^
2 )  x.  1 )  =  ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^
2 ) ) )
844, 83eqtr3d 2152 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465    =/= wne 2285   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   CCcc 7586   RRcr 7587   0cc0 7588   1c1 7589    x. cmul 7593    < clt 7768   # cap 8310    / cdiv 8399   NNcn 8684   2c2 8735   ZZcz 9012   ^cexp 10247    || cdvds 11405    gcd cgcd 11547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 801  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-sup 6839  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8304  df-ap 8311  df-div 8400  df-inn 8685  df-2 8743  df-3 8744  df-4 8745  df-n0 8936  df-z 9013  df-uz 9283  df-q 9368  df-rp 9398  df-fz 9746  df-fzo 9875  df-fl 9998  df-mod 10051  df-seqfrec 10174  df-exp 10248  df-cj 10569  df-re 10570  df-im 10571  df-rsqrt 10725  df-abs 10726  df-dvds 11406  df-gcd 11548
This theorem is referenced by:  dvdssqlem  11630  nn0gcdsq  11789
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