Theorem sqgcd 11962

Description: Square distributes over gcd. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sqgcd	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem sqgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 11900	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. NN )
2	1	nnsqcld 10609	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. NN )
3	2	nncnd 8871	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. CC )
4	3	mulid1d 7916	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M gcd N ) ^ 2 ) )
5		nnsqcl 10524	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( M ^ 2 ) e. NN )
6	5	nnzd 9312	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
7	6	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
8		nnsqcl 10524	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N ^ 2 ) e. NN )
9	8	nnzd 9312	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
10	9	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
11		nnz 9210	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
12		nnz 9210	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
13		gcddvds 11896	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
14	11, 12, 13	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
15	14	simpld 111	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) || M )
16	1	nnzd 9312	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. ZZ )
17	11	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. ZZ )
18		dvdssqim 11957	. . . . . . 7 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( M ^ 2 ) ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || M -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( M ^ 2 ) ) )
20	15, 19	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( M ^ 2 ) )
21	14	simprd 113	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) || N )
22	12	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
23		dvdssqim 11957	. . . . . . 7 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || N -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
24	16, 22, 23	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || N -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
25	21, 24	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) )
26		gcddiv 11952	. . . . 5 |- ( ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( M ^ 2 ) /\ ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) gcd ( ( N ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) ) )
27	7, 10, 2, 20, 25, 26	syl32anc 1236	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) gcd ( ( N ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) ) )
28		nncn 8865	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. CC )
29	28	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. CC )
30	1	nncnd 8871	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. CC )
31	1	nnap0d 8903	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) # 0 )
32	29, 30, 31	sqdivapd 10601	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) )
33		nncn 8865	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. CC )
34	33	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. CC )
35	34, 30, 31	sqdivapd 10601	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) = ( ( N ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) )
36	32, 35	oveq12d 5860	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) gcd ( ( N ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) ) )
37		gcddiv 11952	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M gcd N ) e. NN ) /\ ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) ) -> ( ( M gcd N ) / ( M gcd N ) ) = ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) )
38	17, 22, 1, 14, 37	syl31anc 1231	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) / ( M gcd N ) ) = ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) )
39	30, 31	dividapd 8682	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) / ( M gcd N ) ) = 1 )
40	38, 39	eqtr3d 2200	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) = 1 )
41	1	nnne0d 8902	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) =/= 0 )
42		dvdsval2 11730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ ( M gcd N ) =/= 0 /\ M e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M <-> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
43	16, 41, 17, 42	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || M <-> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
44	15, 43	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
45		nnre 8864	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M e. RR )
46	45	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. RR )
47	1	nnred 8870	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. RR )
48		nngt0 8882	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> 0 < M )
49	48	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < M )
50	1	nngt0d 8901	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < ( M gcd N ) )
51	46, 47, 49, 50	divgt0d 8830	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < ( M / ( M gcd N ) ) )
52		elnnz 9201	. . . . . . 7 |- ( ( M / ( M gcd N ) ) e. NN <-> ( ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ /\ 0 < ( M / ( M gcd N ) ) ) )
53	44, 51, 52	sylanbrc 414	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M / ( M gcd N ) ) e. NN )
54		dvdsval2 11730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ ( M gcd N ) =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || N <-> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
55	16, 41, 22, 54	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || N <-> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
56	21, 55	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
57		nnre 8864	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. RR )
58	57	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. RR )
59		nngt0 8882	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 < N )
60	59	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < N )
61	58, 47, 60, 50	divgt0d 8830	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < ( N / ( M gcd N ) ) )
62		elnnz 9201	. . . . . . 7 |- ( ( N / ( M gcd N ) ) e. NN <-> ( ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ /\ 0 < ( N / ( M gcd N ) ) ) )
63	56, 61, 62	sylanbrc 414	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N / ( M gcd N ) ) e. NN )
64		2nn 9018	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
65		rppwr 11961	. . . . . . 7 |- ( ( ( M / ( M gcd N ) ) e. NN /\ ( N / ( M gcd N ) ) e. NN /\ 2 e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) = 1 -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
66	64, 65	mp3an3 1316	. . . . . 6 |- ( ( ( M / ( M gcd N ) ) e. NN /\ ( N / ( M gcd N ) ) e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) = 1 -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
67	53, 63, 66	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) = 1 -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
68	40, 67	mpd 13	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
69	27, 36, 68	3eqtr2d 2204	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = 1 )
70	6, 9	anim12i 336	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ ) )
71	5	nnne0d 8902	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( M ^ 2 ) =/= 0 )
72	71	neneqd 2357	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> -. ( M ^ 2 ) = 0 )
73	72	intnanrd 922	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> -. ( ( M ^ 2 ) = 0 /\ ( N ^ 2 ) = 0 ) )
74	73	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> -. ( ( M ^ 2 ) = 0 /\ ( N ^ 2 ) = 0 ) )
75		gcdn0cl 11895	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ ) /\ -. ( ( M ^ 2 ) = 0 /\ ( N ^ 2 ) = 0 ) ) -> ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. NN )
76	70, 74, 75	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. NN )
77	76	nncnd 8871	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. CC )
78	2	nnap0d 8903	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) # 0 )
79		ax-1cn 7846	. . . . 5 |- 1 e. CC
80		divmulap 8571	. . . . 5 |- ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( M gcd N ) ^ 2 ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = 1 <-> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) ) )
81	79, 80	mp3an2 1315	. . . 4 |- ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. CC /\ ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( M gcd N ) ^ 2 ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = 1 <-> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) ) )
82	77, 3, 78, 81	syl12anc 1226	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = 1 <-> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) ) )
83	69, 82	mpbid 146	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) )
84	4, 83	eqtr3d 2200	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   x. cmul 7758   < clt 7933   # cap 8479   / cdiv 8568   NNcn 8857   2c2 8908   ZZcz 9191   ^cexp 10454   || cdvds 11727   gcd cgcd 11875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-sup 6949  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728  df-gcd 11876

This theorem is referenced by:  dvdssqlem  11963  nn0gcdsq  12132  pythagtriplem3  12199