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Theorem sqgcd 10900
Description: Square distributes over GCD. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sqgcd  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem sqgcd
StepHypRef Expression
1 gcdnncl 10841 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  NN )
21nnsqcld 10004 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  e.  NN )
32nncnd 8371 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  e.  CC )
43mulid1d 7449 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  gcd  N ) ^
2 )  x.  1 )  =  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) )
5 nnsqcl 9923 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ 2 )  e.  NN )
65nnzd 8800 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
76adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
8 nnsqcl 9923 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  NN )
98nnzd 8800 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )
109adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )
11 nnz 8702 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
12 nnz 8702 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
13 gcddvds 10837 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N ) )
1411, 12, 13syl2an 283 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N ) )
1514simpld 110 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  M )
161nnzd 8800 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  ZZ )
1711adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
18 dvdssqim 10895 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  -> 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) 
||  ( M ^
2 ) ) )
1916, 17, 18syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  -> 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) 
||  ( M ^
2 ) ) )
2015, 19mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) 
||  ( M ^
2 ) )
2114simprd 112 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  N )
2212adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
23 dvdssqim 10895 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  N  -> 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
2416, 22, 23syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  N  -> 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
2521, 24mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) )
26 gcddiv 10890 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M ^
2 )  e.  ZZ  /\  ( N ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  e.  NN )  /\  ( ( ( M  gcd  N ) ^
2 )  ||  ( M ^ 2 )  /\  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^
2 ) )  / 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) )  gcd  ( ( N ^ 2 )  / 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) ) ) )
277, 10, 2, 20, 25, 26syl32anc 1180 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  /  (
( M  gcd  N
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) )  gcd  ( ( N ^ 2 )  / 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) ) ) )
28 nncn 8365 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
2928adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
301nncnd 8371 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  CC )
311nnap0d 8402 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
) #  0 )
3229, 30, 31sqdivapd 9996 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  / 
( M  gcd  N
) ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( ( M  gcd  N ) ^
2 ) ) )
33 nncn 8365 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
3433adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
3534, 30, 31sqdivapd 9996 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  / 
( M  gcd  N
) ) ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  /  ( ( M  gcd  N ) ^
2 ) ) )
3632, 35oveq12d 5631 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  ( M  gcd  N ) ) ^ 2 )  gcd  ( ( N  /  ( M  gcd  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  ( ( M  gcd  N ) ^
2 ) )  gcd  ( ( N ^
2 )  /  (
( M  gcd  N
) ^ 2 ) ) ) )
37 gcddiv 10890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  gcd  N )  e.  NN )  /\  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N ) )  ->  ( ( M  gcd  N )  / 
( M  gcd  N
) )  =  ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  gcd  ( N  / 
( M  gcd  N
) ) ) )
3817, 22, 1, 14, 37syl31anc 1175 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =  ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  gcd  ( N  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
3930, 31dividapd 8192 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =  1 )
4038, 39eqtr3d 2119 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  / 
( M  gcd  N
) )  gcd  ( N  /  ( M  gcd  N ) ) )  =  1 )
411nnne0d 8401 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  =/=  0 )
42 dvdsval2 10681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  ( M  gcd  N )  =/=  0  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( M  gcd  N
)  ||  M  <->  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
4316, 41, 17, 42syl3anc 1172 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  <->  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
4415, 43mpbid 145 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )
45 nnre 8364 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
4645adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
471nnred 8370 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  RR )
48 nngt0 8382 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <  M )
4948adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  M )
501nngt0d 8400 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( M  gcd  N ) )
5146, 47, 49, 50divgt0d 8331 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( M  /  ( M  gcd  N ) ) )
52 elnnz 8693 . . . . . . 7  |-  ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN  <->  ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( M  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
5344, 51, 52sylanbrc 408 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN )
54 dvdsval2 10681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  ( M  gcd  N )  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( M  gcd  N
)  ||  N  <->  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
5516, 41, 22, 54syl3anc 1172 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  N  <->  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
5621, 55mpbid 145 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )
57 nnre 8364 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
5857adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
59 nngt0 8382 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
6059adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
6158, 47, 60, 50divgt0d 8331 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( N  /  ( M  gcd  N ) ) )
62 elnnz 8693 . . . . . . 7  |-  ( ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN  <->  ( ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( N  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
6356, 61, 62sylanbrc 408 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN )
64 2nn 8511 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
65 rppwr 10899 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN  /\  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN  /\  2  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  gcd  ( N  / 
( M  gcd  N
) ) )  =  1  ->  ( (
( M  /  ( M  gcd  N ) ) ^ 2 )  gcd  ( ( N  / 
( M  gcd  N
) ) ^ 2 ) )  =  1 ) )
6664, 65mp3an3 1260 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN  /\  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  gcd  ( N  / 
( M  gcd  N
) ) )  =  1  ->  ( (
( M  /  ( M  gcd  N ) ) ^ 2 )  gcd  ( ( N  / 
( M  gcd  N
) ) ^ 2 ) )  =  1 ) )
6753, 63, 66syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  gcd  ( N  /  ( M  gcd  N ) ) )  =  1  ->  ( (
( M  /  ( M  gcd  N ) ) ^ 2 )  gcd  ( ( N  / 
( M  gcd  N
) ) ^ 2 ) )  =  1 ) )
6840, 67mpd 13 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  ( M  gcd  N ) ) ^ 2 )  gcd  ( ( N  /  ( M  gcd  N ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
6927, 36, 683eqtr2d 2123 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  /  (
( M  gcd  N
) ^ 2 ) )  =  1 )
706, 9anim12i 331 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M ^
2 )  e.  ZZ  /\  ( N ^ 2 )  e.  ZZ ) )
715nnne0d 8401 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ 2 )  =/=  0 )
7271neneqd 2272 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  -.  ( M ^ 2 )  =  0 )
7372intnanrd 877 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  -.  ( ( M ^
2 )  =  0  /\  ( N ^
2 )  =  0 ) )
7473adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  -.  ( ( M ^ 2 )  =  0  /\  ( N ^ 2 )  =  0 ) )
75 gcdn0cl 10836 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M ^
2 )  e.  ZZ  /\  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )  /\  -.  ( ( M ^ 2 )  =  0  /\  ( N ^ 2 )  =  0 ) )  -> 
( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  e.  NN )
7670, 74, 75syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  e.  NN )
7776nncnd 8371 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  e.  CC )
782nnap0d 8402 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) #  0 )
79 ax-1cn 7382 . . . . 5  |-  1  e.  CC
80 divmulap 8081 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( ( ( M  gcd  N
) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( M  gcd  N
) ^ 2 ) #  0 ) )  -> 
( ( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^
2 ) )  / 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) )  =  1  <->  (
( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  x.  1 )  =  ( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) ) ) )
8179, 80mp3an2 1259 . . . 4  |-  ( ( ( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  e.  CC  /\  (
( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( M  gcd  N
) ^ 2 ) #  0 ) )  -> 
( ( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^
2 ) )  / 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) )  =  1  <->  (
( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  x.  1 )  =  ( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) ) ) )
8277, 3, 78, 81syl12anc 1170 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^
2 ) )  / 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) )  =  1  <->  (
( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  x.  1 )  =  ( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) ) ) )
8369, 82mpbid 145 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  gcd  N ) ^
2 )  x.  1 )  =  ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^
2 ) ) )
844, 83eqtr3d 2119 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1287    e. wcel 1436    =/= wne 2251   class class class wbr 3820  (class class class)co 5613   CCcc 7292   RRcr 7293   0cc0 7294   1c1 7295    x. cmul 7299    < clt 7466   # cap 7999    / cdiv 8078   NNcn 8357   2c2 8407   ZZcz 8683   ^cexp 9853    || cdvds 10678    gcd cgcd 10820
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407  ax-arch 7408  ax-caucvg 7409
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-iord 4167  df-on 4169  df-ilim 4170  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-recs 6024  df-frec 6110  df-sup 6623  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-2 8416  df-3 8417  df-4 8418  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952  df-q 9037  df-rp 9067  df-fz 9357  df-fzo 9482  df-fl 9605  df-mod 9658  df-iseq 9780  df-iexp 9854  df-cj 10172  df-re 10173  df-im 10174  df-rsqrt 10327  df-abs 10328  df-dvds 10679  df-gcd 10821
This theorem is referenced by:  dvdssqlem  10901  nn0gcdsq  11060
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