Theorem sqgcd 12566

Description: Square distributes over gcd. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sqgcd	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem sqgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 12504	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. NN )
2	1	nnsqcld 10928	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. NN )
3	2	nncnd 9135	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. CC )
4	3	mulridd 8174	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M gcd N ) ^ 2 ) )
5		nnsqcl 10843	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( M ^ 2 ) e. NN )
6	5	nnzd 9579	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
8		nnsqcl 10843	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N ^ 2 ) e. NN )
9	8	nnzd 9579	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
10	9	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
11		nnz 9476	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
12		nnz 9476	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
13		gcddvds 12500	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
14	11, 12, 13	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
15	14	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) || M )
16	1	nnzd 9579	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. ZZ )
17	11	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. ZZ )
18		dvdssqim 12561	. . . . . . 7 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( M ^ 2 ) ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || M -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( M ^ 2 ) ) )
20	15, 19	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( M ^ 2 ) )
21	14	simprd 114	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) || N )
22	12	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
23		dvdssqim 12561	. . . . . . 7 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || N -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
24	16, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || N -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
25	21, 24	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) )
26		gcddiv 12556	. . . . 5 |- ( ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( M ^ 2 ) /\ ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) gcd ( ( N ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) ) )
27	7, 10, 2, 20, 25, 26	syl32anc 1279	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) gcd ( ( N ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) ) )
28		nncn 9129	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. CC )
29	28	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. CC )
30	1	nncnd 9135	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. CC )
31	1	nnap0d 9167	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) # 0 )
32	29, 30, 31	sqdivapd 10920	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) )
33		nncn 9129	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. CC )
34	33	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. CC )
35	34, 30, 31	sqdivapd 10920	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) = ( ( N ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) )
36	32, 35	oveq12d 6025	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) gcd ( ( N ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) ) )
37		gcddiv 12556	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M gcd N ) e. NN ) /\ ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) ) -> ( ( M gcd N ) / ( M gcd N ) ) = ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) )
38	17, 22, 1, 14, 37	syl31anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) / ( M gcd N ) ) = ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) )
39	30, 31	dividapd 8944	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) / ( M gcd N ) ) = 1 )
40	38, 39	eqtr3d 2264	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) = 1 )
41	1	nnne0d 9166	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) =/= 0 )
42		dvdsval2 12317	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ ( M gcd N ) =/= 0 /\ M e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M <-> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
43	16, 41, 17, 42	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || M <-> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
44	15, 43	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
45		nnre 9128	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M e. RR )
46	45	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. RR )
47	1	nnred 9134	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. RR )
48		nngt0 9146	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> 0 < M )
49	48	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < M )
50	1	nngt0d 9165	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < ( M gcd N ) )
51	46, 47, 49, 50	divgt0d 9093	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < ( M / ( M gcd N ) ) )
52		elnnz 9467	. . . . . . 7 |- ( ( M / ( M gcd N ) ) e. NN <-> ( ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ /\ 0 < ( M / ( M gcd N ) ) ) )
53	44, 51, 52	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M / ( M gcd N ) ) e. NN )
54		dvdsval2 12317	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ ( M gcd N ) =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || N <-> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
55	16, 41, 22, 54	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || N <-> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
56	21, 55	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
57		nnre 9128	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. RR )
58	57	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. RR )
59		nngt0 9146	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 < N )
60	59	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < N )
61	58, 47, 60, 50	divgt0d 9093	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < ( N / ( M gcd N ) ) )
62		elnnz 9467	. . . . . . 7 |- ( ( N / ( M gcd N ) ) e. NN <-> ( ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ /\ 0 < ( N / ( M gcd N ) ) ) )
63	56, 61, 62	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N / ( M gcd N ) ) e. NN )
64		2nn 9283	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
65		rppwr 12565	. . . . . . 7 |- ( ( ( M / ( M gcd N ) ) e. NN /\ ( N / ( M gcd N ) ) e. NN /\ 2 e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) = 1 -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
66	64, 65	mp3an3 1360	. . . . . 6 |- ( ( ( M / ( M gcd N ) ) e. NN /\ ( N / ( M gcd N ) ) e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) = 1 -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
67	53, 63, 66	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) = 1 -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
68	40, 67	mpd 13	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
69	27, 36, 68	3eqtr2d 2268	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = 1 )
70	6, 9	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ ) )
71	5	nnne0d 9166	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( M ^ 2 ) =/= 0 )
72	71	neneqd 2421	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> -. ( M ^ 2 ) = 0 )
73	72	intnanrd 937	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> -. ( ( M ^ 2 ) = 0 /\ ( N ^ 2 ) = 0 ) )
74	73	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> -. ( ( M ^ 2 ) = 0 /\ ( N ^ 2 ) = 0 ) )
75		gcdn0cl 12499	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ ) /\ -. ( ( M ^ 2 ) = 0 /\ ( N ^ 2 ) = 0 ) ) -> ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. NN )
76	70, 74, 75	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. NN )
77	76	nncnd 9135	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. CC )
78	2	nnap0d 9167	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) # 0 )
79		ax-1cn 8103	. . . . 5 |- 1 e. CC
80		divmulap 8833	. . . . 5 |- ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( M gcd N ) ^ 2 ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = 1 <-> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) ) )
81	79, 80	mp3an2 1359	. . . 4 |- ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. CC /\ ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( M gcd N ) ^ 2 ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = 1 <-> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) ) )
82	77, 3, 78, 81	syl12anc 1269	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = 1 <-> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) ) )
83	69, 82	mpbid 147	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) )
84	4, 83	eqtr3d 2264	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007   CCcc 8008   RRcr 8009   0cc0 8010   1c1 8011   x. cmul 8015   < clt 8192   # cap 8739   / cdiv 8830   NNcn 9121   2c2 9172   ZZcz 9457   ^cexp 10772   || cdvds 12314   gcd cgcd 12490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-sup 7162  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-fl 10502  df-mod 10557  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-cj 11369  df-re 11370  df-im 11371  df-rsqrt 11525  df-abs 11526  df-dvds 12315  df-gcd 12491

This theorem is referenced by:  dvdssqlem  12567  nn0gcdsq  12738  pythagtriplem3  12806