Theorem sqgcd 12221

Description: Square distributes over gcd. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sqgcd	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem sqgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 12159	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. NN )
2	1	nnsqcld 10803	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. NN )
3	2	nncnd 9021	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. CC )
4	3	mulridd 8060	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M gcd N ) ^ 2 ) )
5		nnsqcl 10718	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( M ^ 2 ) e. NN )
6	5	nnzd 9464	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
8		nnsqcl 10718	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N ^ 2 ) e. NN )
9	8	nnzd 9464	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
10	9	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
11		nnz 9362	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
12		nnz 9362	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
13		gcddvds 12155	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
14	11, 12, 13	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
15	14	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) || M )
16	1	nnzd 9464	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. ZZ )
17	11	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. ZZ )
18		dvdssqim 12216	. . . . . . 7 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( M ^ 2 ) ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || M -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( M ^ 2 ) ) )
20	15, 19	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( M ^ 2 ) )
21	14	simprd 114	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) || N )
22	12	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
23		dvdssqim 12216	. . . . . . 7 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || N -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
24	16, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || N -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
25	21, 24	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) )
26		gcddiv 12211	. . . . 5 |- ( ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( M ^ 2 ) /\ ( ( M gcd N ) ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) gcd ( ( N ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) ) )
27	7, 10, 2, 20, 25, 26	syl32anc 1257	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) gcd ( ( N ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) ) )
28		nncn 9015	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. CC )
29	28	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. CC )
30	1	nncnd 9021	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. CC )
31	1	nnap0d 9053	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) # 0 )
32	29, 30, 31	sqdivapd 10795	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) )
33		nncn 9015	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. CC )
34	33	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. CC )
35	34, 30, 31	sqdivapd 10795	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) = ( ( N ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) )
36	32, 35	oveq12d 5943	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) gcd ( ( N ^ 2 ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) ) )
37		gcddiv 12211	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M gcd N ) e. NN ) /\ ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) ) -> ( ( M gcd N ) / ( M gcd N ) ) = ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) )
38	17, 22, 1, 14, 37	syl31anc 1252	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) / ( M gcd N ) ) = ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) )
39	30, 31	dividapd 8830	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) / ( M gcd N ) ) = 1 )
40	38, 39	eqtr3d 2231	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) = 1 )
41	1	nnne0d 9052	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) =/= 0 )
42		dvdsval2 11972	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ ( M gcd N ) =/= 0 /\ M e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M <-> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
43	16, 41, 17, 42	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || M <-> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
44	15, 43	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
45		nnre 9014	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M e. RR )
46	45	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. RR )
47	1	nnred 9020	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. RR )
48		nngt0 9032	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> 0 < M )
49	48	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < M )
50	1	nngt0d 9051	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < ( M gcd N ) )
51	46, 47, 49, 50	divgt0d 8979	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < ( M / ( M gcd N ) ) )
52		elnnz 9353	. . . . . . 7 |- ( ( M / ( M gcd N ) ) e. NN <-> ( ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ /\ 0 < ( M / ( M gcd N ) ) ) )
53	44, 51, 52	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M / ( M gcd N ) ) e. NN )
54		dvdsval2 11972	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ ( M gcd N ) =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || N <-> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
55	16, 41, 22, 54	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || N <-> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
56	21, 55	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
57		nnre 9014	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. RR )
58	57	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. RR )
59		nngt0 9032	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 < N )
60	59	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < N )
61	58, 47, 60, 50	divgt0d 8979	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < ( N / ( M gcd N ) ) )
62		elnnz 9353	. . . . . . 7 |- ( ( N / ( M gcd N ) ) e. NN <-> ( ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ /\ 0 < ( N / ( M gcd N ) ) ) )
63	56, 61, 62	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N / ( M gcd N ) ) e. NN )
64		2nn 9169	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
65		rppwr 12220	. . . . . . 7 |- ( ( ( M / ( M gcd N ) ) e. NN /\ ( N / ( M gcd N ) ) e. NN /\ 2 e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) = 1 -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
66	64, 65	mp3an3 1337	. . . . . 6 |- ( ( ( M / ( M gcd N ) ) e. NN /\ ( N / ( M gcd N ) ) e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) = 1 -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
67	53, 63, 66	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) gcd ( N / ( M gcd N ) ) ) = 1 -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
68	40, 67	mpd 13	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) gcd ( ( N / ( M gcd N ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
69	27, 36, 68	3eqtr2d 2235	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = 1 )
70	6, 9	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ ) )
71	5	nnne0d 9052	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( M ^ 2 ) =/= 0 )
72	71	neneqd 2388	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> -. ( M ^ 2 ) = 0 )
73	72	intnanrd 933	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> -. ( ( M ^ 2 ) = 0 /\ ( N ^ 2 ) = 0 ) )
74	73	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> -. ( ( M ^ 2 ) = 0 /\ ( N ^ 2 ) = 0 ) )
75		gcdn0cl 12154	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N ^ 2 ) e. ZZ ) /\ -. ( ( M ^ 2 ) = 0 /\ ( N ^ 2 ) = 0 ) ) -> ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. NN )
76	70, 74, 75	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. NN )
77	76	nncnd 9021	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. CC )
78	2	nnap0d 9053	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) # 0 )
79		ax-1cn 7989	. . . . 5 |- 1 e. CC
80		divmulap 8719	. . . . 5 |- ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( M gcd N ) ^ 2 ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = 1 <-> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) ) )
81	79, 80	mp3an2 1336	. . . 4 |- ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) e. CC /\ ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( M gcd N ) ^ 2 ) # 0 ) ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = 1 <-> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) ) )
82	77, 3, 78, 81	syl12anc 1247	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) / ( ( M gcd N ) ^ 2 ) ) = 1 <-> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) ) )
83	69, 82	mpbid 147	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) )
84	4, 83	eqtr3d 2231	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   CCcc 7894   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   x. cmul 7901   < clt 8078   # cap 8625   / cdiv 8716   NNcn 9007   2c2 9058   ZZcz 9343   ^cexp 10647   || cdvds 11969   gcd cgcd 12145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-sup 7059  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-dvds 11970  df-gcd 12146

This theorem is referenced by:  dvdssqlem  12222  nn0gcdsq  12393  pythagtriplem3  12461