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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > sqgcd | Unicode version |
Description: Square distributes over gcd. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.) |
Ref | Expression |
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sqgcd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | gcdnncl 12000 |
. . . . 5
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2 | 1 | nnsqcld 10706 |
. . . 4
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3 | 2 | nncnd 8963 |
. . 3
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4 | 3 | mulridd 8004 |
. 2
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5 | nnsqcl 10621 |
. . . . . . 7
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6 | 5 | nnzd 9404 |
. . . . . 6
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7 | 6 | adantr 276 |
. . . . 5
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8 | nnsqcl 10621 |
. . . . . . 7
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9 | 8 | nnzd 9404 |
. . . . . 6
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10 | 9 | adantl 277 |
. . . . 5
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11 | nnz 9302 |
. . . . . . . 8
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12 | nnz 9302 |
. . . . . . . 8
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13 | gcddvds 11996 |
. . . . . . . 8
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14 | 11, 12, 13 | syl2an 289 |
. . . . . . 7
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15 | 14 | simpld 112 |
. . . . . 6
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16 | 1 | nnzd 9404 |
. . . . . . 7
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17 | 11 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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18 | dvdssqim 12057 |
. . . . . . 7
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19 | 16, 17, 18 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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20 | 15, 19 | mpd 13 |
. . . . 5
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21 | 14 | simprd 114 |
. . . . . 6
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22 | 12 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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23 | dvdssqim 12057 |
. . . . . . 7
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24 | 16, 22, 23 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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25 | 21, 24 | mpd 13 |
. . . . 5
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26 | gcddiv 12052 |
. . . . 5
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27 | 7, 10, 2, 20, 25, 26 | syl32anc 1257 |
. . . 4
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28 | nncn 8957 |
. . . . . . 7
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29 | 28 | adantr 276 |
. . . . . 6
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30 | 1 | nncnd 8963 |
. . . . . 6
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31 | 1 | nnap0d 8995 |
. . . . . 6
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32 | 29, 30, 31 | sqdivapd 10698 |
. . . . 5
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33 | nncn 8957 |
. . . . . . 7
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34 | 33 | adantl 277 |
. . . . . 6
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35 | 34, 30, 31 | sqdivapd 10698 |
. . . . 5
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36 | 32, 35 | oveq12d 5914 |
. . . 4
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37 | gcddiv 12052 |
. . . . . . 7
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38 | 17, 22, 1, 14, 37 | syl31anc 1252 |
. . . . . 6
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39 | 30, 31 | dividapd 8773 |
. . . . . 6
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40 | 38, 39 | eqtr3d 2224 |
. . . . 5
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41 | 1 | nnne0d 8994 |
. . . . . . . . 9
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42 | dvdsval2 11829 |
. . . . . . . . 9
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43 | 16, 41, 17, 42 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . 8
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44 | 15, 43 | mpbid 147 |
. . . . . . 7
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45 | nnre 8956 |
. . . . . . . . 9
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46 | 45 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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47 | 1 | nnred 8962 |
. . . . . . . 8
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48 | nngt0 8974 |
. . . . . . . . 9
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49 | 48 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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50 | 1 | nngt0d 8993 |
. . . . . . . 8
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51 | 46, 47, 49, 50 | divgt0d 8922 |
. . . . . . 7
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52 | elnnz 9293 |
. . . . . . 7
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53 | 44, 51, 52 | sylanbrc 417 |
. . . . . 6
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54 | dvdsval2 11829 |
. . . . . . . . 9
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55 | 16, 41, 22, 54 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . 8
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56 | 21, 55 | mpbid 147 |
. . . . . . 7
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57 | nnre 8956 |
. . . . . . . . 9
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58 | 57 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
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59 | nngt0 8974 |
. . . . . . . . 9
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60 | 59 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
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61 | 58, 47, 60, 50 | divgt0d 8922 |
. . . . . . 7
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62 | elnnz 9293 |
. . . . . . 7
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63 | 56, 61, 62 | sylanbrc 417 |
. . . . . 6
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64 | 2nn 9110 |
. . . . . . 7
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65 | rppwr 12061 |
. . . . . . 7
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66 | 64, 65 | mp3an3 1337 |
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67 | 53, 63, 66 | syl2anc 411 |
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68 | 40, 67 | mpd 13 |
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69 | 27, 36, 68 | 3eqtr2d 2228 |
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70 | 6, 9 | anim12i 338 |
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72 | 71 | neneqd 2381 |
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75 | gcdn0cl 11995 |
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76 | 70, 74, 75 | syl2anc 411 |
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77 | 76 | nncnd 8963 |
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78 | 2 | nnap0d 8995 |
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79 | ax-1cn 7934 |
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80 | divmulap 8662 |
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81 | 79, 80 | mp3an2 1336 |
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82 | 77, 3, 78, 81 | syl12anc 1247 |
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83 | 69, 82 | mpbid 147 |
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84 | 4, 83 | eqtr3d 2224 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 ax-cnex 7932 ax-resscn 7933 ax-1cn 7934 ax-1re 7935 ax-icn 7936 ax-addcl 7937 ax-addrcl 7938 ax-mulcl 7939 ax-mulrcl 7940 ax-addcom 7941 ax-mulcom 7942 ax-addass 7943 ax-mulass 7944 ax-distr 7945 ax-i2m1 7946 ax-0lt1 7947 ax-1rid 7948 ax-0id 7949 ax-rnegex 7950 ax-precex 7951 ax-cnre 7952 ax-pre-ltirr 7953 ax-pre-ltwlin 7954 ax-pre-lttrn 7955 ax-pre-apti 7956 ax-pre-ltadd 7957 ax-pre-mulgt0 7958 ax-pre-mulext 7959 ax-arch 7960 ax-caucvg 7961 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-iord 4384 df-on 4386 df-ilim 4387 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-riota 5852 df-ov 5899 df-oprab 5900 df-mpo 5901 df-1st 6165 df-2nd 6166 df-recs 6330 df-frec 6416 df-sup 7013 df-pnf 8024 df-mnf 8025 df-xr 8026 df-ltxr 8027 df-le 8028 df-sub 8160 df-neg 8161 df-reap 8562 df-ap 8569 df-div 8660 df-inn 8950 df-2 9008 df-3 9009 df-4 9010 df-n0 9207 df-z 9284 df-uz 9559 df-q 9650 df-rp 9684 df-fz 10039 df-fzo 10173 df-fl 10301 df-mod 10354 df-seqfrec 10477 df-exp 10551 df-cj 10883 df-re 10884 df-im 10885 df-rsqrt 11039 df-abs 11040 df-dvds 11827 df-gcd 11976 |
This theorem is referenced by: dvdssqlem 12063 nn0gcdsq 12232 pythagtriplem3 12299 |
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