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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > sqgcd | Unicode version |
Description: Square distributes over GCD. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.) |
Ref | Expression |
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sqgcd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | gcdnncl 10739 |
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2 | 1 | nnsqcld 9942 |
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3 | 2 | nncnd 8330 |
. . 3
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4 | 3 | mulid1d 7408 |
. 2
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5 | nnsqcl 9861 |
. . . . . . 7
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6 | 5 | nnzd 8763 |
. . . . . 6
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7 | 6 | adantr 270 |
. . . . 5
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8 | nnsqcl 9861 |
. . . . . . 7
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9 | 8 | nnzd 8763 |
. . . . . 6
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10 | 9 | adantl 271 |
. . . . 5
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11 | nnz 8665 |
. . . . . . . 8
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12 | nnz 8665 |
. . . . . . . 8
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13 | gcddvds 10735 |
. . . . . . . 8
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14 | 11, 12, 13 | syl2an 283 |
. . . . . . 7
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15 | 14 | simpld 110 |
. . . . . 6
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16 | 1 | nnzd 8763 |
. . . . . . 7
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17 | 11 | adantr 270 |
. . . . . . 7
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18 | dvdssqim 10793 |
. . . . . . 7
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19 | 16, 17, 18 | syl2anc 403 |
. . . . . 6
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20 | 15, 19 | mpd 13 |
. . . . 5
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21 | 14 | simprd 112 |
. . . . . 6
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22 | 12 | adantl 271 |
. . . . . . 7
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23 | dvdssqim 10793 |
. . . . . . 7
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24 | 16, 22, 23 | syl2anc 403 |
. . . . . 6
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25 | 21, 24 | mpd 13 |
. . . . 5
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26 | gcddiv 10788 |
. . . . 5
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27 | 7, 10, 2, 20, 25, 26 | syl32anc 1178 |
. . . 4
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28 | nncn 8324 |
. . . . . . 7
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29 | 28 | adantr 270 |
. . . . . 6
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30 | 1 | nncnd 8330 |
. . . . . 6
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31 | 1 | nnap0d 8361 |
. . . . . 6
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32 | 29, 30, 31 | sqdivapd 9934 |
. . . . 5
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33 | nncn 8324 |
. . . . . . 7
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34 | 33 | adantl 271 |
. . . . . 6
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35 | 34, 30, 31 | sqdivapd 9934 |
. . . . 5
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36 | 32, 35 | oveq12d 5609 |
. . . 4
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37 | gcddiv 10788 |
. . . . . . 7
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38 | 17, 22, 1, 14, 37 | syl31anc 1173 |
. . . . . 6
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39 | 30, 31 | dividapd 8151 |
. . . . . 6
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40 | 38, 39 | eqtr3d 2117 |
. . . . 5
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41 | 1 | nnne0d 8360 |
. . . . . . . . 9
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42 | dvdsval2 10579 |
. . . . . . . . 9
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43 | 16, 41, 17, 42 | syl3anc 1170 |
. . . . . . . 8
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44 | 15, 43 | mpbid 145 |
. . . . . . 7
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45 | nnre 8323 |
. . . . . . . . 9
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46 | 45 | adantr 270 |
. . . . . . . 8
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47 | 1 | nnred 8329 |
. . . . . . . 8
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48 | nngt0 8341 |
. . . . . . . . 9
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49 | 48 | adantr 270 |
. . . . . . . 8
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50 | 1 | nngt0d 8359 |
. . . . . . . 8
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51 | 46, 47, 49, 50 | divgt0d 8290 |
. . . . . . 7
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52 | elnnz 8656 |
. . . . . . 7
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53 | 44, 51, 52 | sylanbrc 408 |
. . . . . 6
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54 | dvdsval2 10579 |
. . . . . . . . 9
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55 | 16, 41, 22, 54 | syl3anc 1170 |
. . . . . . . 8
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56 | 21, 55 | mpbid 145 |
. . . . . . 7
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57 | nnre 8323 |
. . . . . . . . 9
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58 | 57 | adantl 271 |
. . . . . . . 8
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59 | nngt0 8341 |
. . . . . . . . 9
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60 | 59 | adantl 271 |
. . . . . . . 8
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61 | 58, 47, 60, 50 | divgt0d 8290 |
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62 | elnnz 8656 |
. . . . . . 7
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63 | 56, 61, 62 | sylanbrc 408 |
. . . . . 6
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64 | 2nn 8470 |
. . . . . . 7
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65 | rppwr 10797 |
. . . . . . 7
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66 | 64, 65 | mp3an3 1258 |
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67 | 53, 63, 66 | syl2anc 403 |
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68 | 40, 67 | mpd 13 |
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69 | 27, 36, 68 | 3eqtr2d 2121 |
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70 | 6, 9 | anim12i 331 |
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71 | 5 | nnne0d 8360 |
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72 | 71 | neneqd 2270 |
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73 | 72 | intnanrd 875 |
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74 | 73 | adantr 270 |
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75 | gcdn0cl 10734 |
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76 | 70, 74, 75 | syl2anc 403 |
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77 | 76 | nncnd 8330 |
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78 | 2 | nnap0d 8361 |
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79 | ax-1cn 7341 |
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80 | divmulap 8040 |
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81 | 79, 80 | mp3an2 1257 |
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82 | 77, 3, 78, 81 | syl12anc 1168 |
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83 | 69, 82 | mpbid 145 |
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84 | 4, 83 | eqtr3d 2117 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 577 ax-in2 578 ax-io 663 ax-5 1377 ax-7 1378 ax-gen 1379 ax-ie1 1423 ax-ie2 1424 ax-8 1436 ax-10 1437 ax-11 1438 ax-i12 1439 ax-bndl 1440 ax-4 1441 ax-13 1445 ax-14 1446 ax-17 1460 ax-i9 1464 ax-ial 1468 ax-i5r 1469 ax-ext 2065 ax-coll 3919 ax-sep 3922 ax-nul 3930 ax-pow 3974 ax-pr 4000 ax-un 4224 ax-setind 4316 ax-iinf 4366 ax-cnex 7339 ax-resscn 7340 ax-1cn 7341 ax-1re 7342 ax-icn 7343 ax-addcl 7344 ax-addrcl 7345 ax-mulcl 7346 ax-mulrcl 7347 ax-addcom 7348 ax-mulcom 7349 ax-addass 7350 ax-mulass 7351 ax-distr 7352 ax-i2m1 7353 ax-0lt1 7354 ax-1rid 7355 ax-0id 7356 ax-rnegex 7357 ax-precex 7358 ax-cnre 7359 ax-pre-ltirr 7360 ax-pre-ltwlin 7361 ax-pre-lttrn 7362 ax-pre-apti 7363 ax-pre-ltadd 7364 ax-pre-mulgt0 7365 ax-pre-mulext 7366 ax-arch 7367 ax-caucvg 7368 |
This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 777 df-3or 921 df-3an 922 df-tru 1288 df-fal 1291 df-nf 1391 df-sb 1688 df-eu 1946 df-mo 1947 df-clab 2070 df-cleq 2076 df-clel 2079 df-nfc 2212 df-ne 2250 df-nel 2345 df-ral 2358 df-rex 2359 df-reu 2360 df-rmo 2361 df-rab 2362 df-v 2614 df-sbc 2827 df-csb 2920 df-dif 2986 df-un 2988 df-in 2990 df-ss 2997 df-nul 3270 df-if 3374 df-pw 3408 df-sn 3428 df-pr 3429 df-op 3431 df-uni 3628 df-int 3663 df-iun 3706 df-br 3812 df-opab 3866 df-mpt 3867 df-tr 3902 df-id 4084 df-po 4087 df-iso 4088 df-iord 4157 df-on 4159 df-ilim 4160 df-suc 4162 df-iom 4369 df-xp 4407 df-rel 4408 df-cnv 4409 df-co 4410 df-dm 4411 df-rn 4412 df-res 4413 df-ima 4414 df-iota 4934 df-fun 4971 df-fn 4972 df-f 4973 df-f1 4974 df-fo 4975 df-f1o 4976 df-fv 4977 df-riota 5547 df-ov 5594 df-oprab 5595 df-mpt2 5596 df-1st 5846 df-2nd 5847 df-recs 6002 df-frec 6088 df-sup 6586 df-pnf 7427 df-mnf 7428 df-xr 7429 df-ltxr 7430 df-le 7431 df-sub 7558 df-neg 7559 df-reap 7952 df-ap 7959 df-div 8038 df-inn 8317 df-2 8375 df-3 8376 df-4 8377 df-n0 8566 df-z 8647 df-uz 8915 df-q 9000 df-rp 9030 df-fz 9320 df-fzo 9444 df-fl 9566 df-mod 9619 df-iseq 9741 df-iexp 9792 df-cj 10103 df-re 10104 df-im 10105 df-rsqrt 10258 df-abs 10259 df-dvds 10577 df-gcd 10719 |
This theorem is referenced by: dvdssqlem 10799 nn0gcdsq 10958 |
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