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Theorem sqgcd 11740
Description: Square distributes over GCD. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sqgcd  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem sqgcd
StepHypRef Expression
1 gcdnncl 11679 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  NN )
21nnsqcld 10469 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  e.  NN )
32nncnd 8753 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  e.  CC )
43mulid1d 7802 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  gcd  N ) ^
2 )  x.  1 )  =  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) )
5 nnsqcl 10386 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ 2 )  e.  NN )
65nnzd 9191 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
76adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
8 nnsqcl 10386 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  NN )
98nnzd 9191 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )
109adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )
11 nnz 9092 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
12 nnz 9092 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
13 gcddvds 11675 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N ) )
1411, 12, 13syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N ) )
1514simpld 111 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  M )
161nnzd 9191 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  ZZ )
1711adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
18 dvdssqim 11735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  -> 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) 
||  ( M ^
2 ) ) )
1916, 17, 18syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  -> 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) 
||  ( M ^
2 ) ) )
2015, 19mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) 
||  ( M ^
2 ) )
2114simprd 113 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  N )
2212adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
23 dvdssqim 11735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  N  -> 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
2416, 22, 23syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  N  -> 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
2521, 24mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) )
26 gcddiv 11730 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M ^
2 )  e.  ZZ  /\  ( N ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  e.  NN )  /\  ( ( ( M  gcd  N ) ^
2 )  ||  ( M ^ 2 )  /\  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^
2 ) )  / 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) )  gcd  ( ( N ^ 2 )  / 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) ) ) )
277, 10, 2, 20, 25, 26syl32anc 1224 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  /  (
( M  gcd  N
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) )  gcd  ( ( N ^ 2 )  / 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) ) ) )
28 nncn 8747 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
2928adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
301nncnd 8753 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  CC )
311nnap0d 8785 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
) #  0 )
3229, 30, 31sqdivapd 10461 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  / 
( M  gcd  N
) ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( ( M  gcd  N ) ^
2 ) ) )
33 nncn 8747 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
3433adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
3534, 30, 31sqdivapd 10461 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  / 
( M  gcd  N
) ) ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  /  ( ( M  gcd  N ) ^
2 ) ) )
3632, 35oveq12d 5795 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  ( M  gcd  N ) ) ^ 2 )  gcd  ( ( N  /  ( M  gcd  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  ( ( M  gcd  N ) ^
2 ) )  gcd  ( ( N ^
2 )  /  (
( M  gcd  N
) ^ 2 ) ) ) )
37 gcddiv 11730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  gcd  N )  e.  NN )  /\  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N ) )  ->  ( ( M  gcd  N )  / 
( M  gcd  N
) )  =  ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  gcd  ( N  / 
( M  gcd  N
) ) ) )
3817, 22, 1, 14, 37syl31anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =  ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  gcd  ( N  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
3930, 31dividapd 8565 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =  1 )
4038, 39eqtr3d 2174 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  / 
( M  gcd  N
) )  gcd  ( N  /  ( M  gcd  N ) ) )  =  1 )
411nnne0d 8784 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  =/=  0 )
42 dvdsval2 11519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  ( M  gcd  N )  =/=  0  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( M  gcd  N
)  ||  M  <->  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
4316, 41, 17, 42syl3anc 1216 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  <->  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
4415, 43mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )
45 nnre 8746 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
4645adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
471nnred 8752 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  RR )
48 nngt0 8764 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <  M )
4948adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  M )
501nngt0d 8783 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( M  gcd  N ) )
5146, 47, 49, 50divgt0d 8712 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( M  /  ( M  gcd  N ) ) )
52 elnnz 9083 . . . . . . 7  |-  ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN  <->  ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( M  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
5344, 51, 52sylanbrc 413 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN )
54 dvdsval2 11519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  ( M  gcd  N )  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( M  gcd  N
)  ||  N  <->  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
5516, 41, 22, 54syl3anc 1216 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  N  <->  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
5621, 55mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )
57 nnre 8746 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
5857adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
59 nngt0 8764 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
6059adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
6158, 47, 60, 50divgt0d 8712 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( N  /  ( M  gcd  N ) ) )
62 elnnz 9083 . . . . . . 7  |-  ( ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN  <->  ( ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( N  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
6356, 61, 62sylanbrc 413 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN )
64 2nn 8900 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
65 rppwr 11739 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN  /\  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN  /\  2  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  gcd  ( N  / 
( M  gcd  N
) ) )  =  1  ->  ( (
( M  /  ( M  gcd  N ) ) ^ 2 )  gcd  ( ( N  / 
( M  gcd  N
) ) ^ 2 ) )  =  1 ) )
6664, 65mp3an3 1304 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN  /\  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  gcd  ( N  / 
( M  gcd  N
) ) )  =  1  ->  ( (
( M  /  ( M  gcd  N ) ) ^ 2 )  gcd  ( ( N  / 
( M  gcd  N
) ) ^ 2 ) )  =  1 ) )
6753, 63, 66syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  ( M  gcd  N ) )  gcd  ( N  /  ( M  gcd  N ) ) )  =  1  ->  ( (
( M  /  ( M  gcd  N ) ) ^ 2 )  gcd  ( ( N  / 
( M  gcd  N
) ) ^ 2 ) )  =  1 ) )
6840, 67mpd 13 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  ( M  gcd  N ) ) ^ 2 )  gcd  ( ( N  /  ( M  gcd  N ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
6927, 36, 683eqtr2d 2178 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  /  (
( M  gcd  N
) ^ 2 ) )  =  1 )
706, 9anim12i 336 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M ^
2 )  e.  ZZ  /\  ( N ^ 2 )  e.  ZZ ) )
715nnne0d 8784 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ 2 )  =/=  0 )
7271neneqd 2329 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  -.  ( M ^ 2 )  =  0 )
7372intnanrd 917 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  -.  ( ( M ^
2 )  =  0  /\  ( N ^
2 )  =  0 ) )
7473adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  -.  ( ( M ^ 2 )  =  0  /\  ( N ^ 2 )  =  0 ) )
75 gcdn0cl 11674 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M ^
2 )  e.  ZZ  /\  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )  /\  -.  ( ( M ^ 2 )  =  0  /\  ( N ^ 2 )  =  0 ) )  -> 
( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  e.  NN )
7670, 74, 75syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  e.  NN )
7776nncnd 8753 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  e.  CC )
782nnap0d 8785 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) #  0 )
79 ax-1cn 7732 . . . . 5  |-  1  e.  CC
80 divmulap 8454 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( ( ( M  gcd  N
) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( M  gcd  N
) ^ 2 ) #  0 ) )  -> 
( ( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^
2 ) )  / 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) )  =  1  <->  (
( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  x.  1 )  =  ( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) ) ) )
8179, 80mp3an2 1303 . . . 4  |-  ( ( ( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  e.  CC  /\  (
( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( M  gcd  N
) ^ 2 ) #  0 ) )  -> 
( ( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^
2 ) )  / 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) )  =  1  <->  (
( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  x.  1 )  =  ( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) ) ) )
8277, 3, 78, 81syl12anc 1214 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^
2 ) )  / 
( ( M  gcd  N ) ^ 2 ) )  =  1  <->  (
( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  x.  1 )  =  ( ( M ^
2 )  gcd  ( N ^ 2 ) ) ) )
8369, 82mpbid 146 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  gcd  N ) ^
2 )  x.  1 )  =  ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^
2 ) ) )
844, 83eqtr3d 2174 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480    =/= wne 2308   class class class wbr 3932  (class class class)co 5777   CCcc 7637   RRcr 7638   0cc0 7639   1c1 7640    x. cmul 7644    < clt 7819   # cap 8362    / cdiv 8451   NNcn 8739   2c2 8790   ZZcz 9073   ^cexp 10316    || cdvds 11516    gcd cgcd 11658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756  ax-pre-mulext 7757  ax-arch 7758  ax-caucvg 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-iord 4291  df-on 4293  df-ilim 4294  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-frec 6291  df-sup 6874  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-reap 8356  df-ap 8363  df-div 8452  df-inn 8740  df-2 8798  df-3 8799  df-4 8800  df-n0 8997  df-z 9074  df-uz 9346  df-q 9434  df-rp 9464  df-fz 9815  df-fzo 9944  df-fl 10067  df-mod 10120  df-seqfrec 10243  df-exp 10317  df-cj 10638  df-re 10639  df-im 10640  df-rsqrt 10794  df-abs 10795  df-dvds 11517  df-gcd 11659
This theorem is referenced by:  dvdssqlem  11741  nn0gcdsq  11901
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