Theorem dvdssqim 11287

Description: Unidirectional form of dvdssq 11294. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssqim	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N -> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem dvdssqim

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divides 11072	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> E. k e. ZZ ( k x. M ) = N ) )
2		zsqcl 10021	. . . . . . 7 |- ( k e. ZZ -> ( k ^ 2 ) e. ZZ )
3		zsqcl 10021	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
4		dvdsmul2 11093	. . . . . . 7 |- ( ( ( k ^ 2 ) e. ZZ /\ ( M ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( k ^ 2 ) x. ( M ^ 2 ) ) )
5	2, 3, 4	syl2anr 284	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( k ^ 2 ) x. ( M ^ 2 ) ) )
6		zcn 8753	. . . . . . 7 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
7		zcn 8753	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
8		sqmul 10013	. . . . . . 7 |- ( ( k e. CC /\ M e. CC ) -> ( ( k x. M ) ^ 2 ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( M ^ 2 ) ) )
9	6, 7, 8	syl2anr 284	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( k x. M ) ^ 2 ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( M ^ 2 ) ) )
10	5, 9	breqtrrd 3871	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( k x. M ) ^ 2 ) )
11		oveq1 5659	. . . . . 6 |- ( ( k x. M ) = N -> ( ( k x. M ) ^ 2 ) = ( N ^ 2 ) )
12	11	breq2d 3857	. . . . 5 |- ( ( k x. M ) = N -> ( ( M ^ 2 ) || ( ( k x. M ) ^ 2 ) <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
13	10, 12	syl5ibcom 153	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( k x. M ) = N -> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
14	13	rexlimdva 2489	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( E. k e. ZZ ( k x. M ) = N -> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
15	14	adantr 270	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( E. k e. ZZ ( k x. M ) = N -> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
16	1, 15	sylbid 148	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N -> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438   E.wrex 2360   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   CCcc 7346   x. cmul 7353   2c2 8471   ZZcz 8748   ^cexp 9950   || cdvds 11070

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-dvds 11071

This theorem is referenced by:  sqgcd  11292  dvdssqlem  11293