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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > lcmcllem | Unicode version |
Description: Lemma for lcmn0cl 12099 and dvdslcm 12100. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.) |
Ref | Expression |
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lcmcllem |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | lcmn0val 12097 |
. 2
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2 | 1zzd 9309 |
. . 3
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3 | nnuz 9592 |
. . . 4
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4 | 3 | rabeqi 2745 |
. . 3
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5 | breq2 4022 |
. . . . 5
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6 | breq2 4022 |
. . . . 5
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7 | 5, 6 | anbi12d 473 |
. . . 4
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8 | simpll 527 |
. . . . . 6
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9 | simplr 528 |
. . . . . 6
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10 | 8, 9 | zmulcld 9410 |
. . . . 5
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11 | 8 | zcnd 9405 |
. . . . . . 7
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12 | 9 | zcnd 9405 |
. . . . . . 7
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13 | ioran 753 |
. . . . . . . . . . . 12
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14 | 13 | biimpi 120 |
. . . . . . . . . . 11
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15 | 14 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
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16 | 15 | simpld 112 |
. . . . . . . . 9
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17 | 16 | neneqad 2439 |
. . . . . . . 8
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18 | 0zd 9294 |
. . . . . . . . 9
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19 | zapne 9356 |
. . . . . . . . 9
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20 | 8, 18, 19 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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21 | 17, 20 | mpbird 167 |
. . . . . . 7
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22 | 15 | simprd 114 |
. . . . . . . . 9
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23 | 22 | neneqad 2439 |
. . . . . . . 8
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24 | zapne 9356 |
. . . . . . . . 9
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25 | 9, 18, 24 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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26 | 23, 25 | mpbird 167 |
. . . . . . 7
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27 | 11, 12, 21, 26 | mulap0d 8644 |
. . . . . 6
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28 | zapne 9356 |
. . . . . . 7
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29 | 10, 18, 28 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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30 | 27, 29 | mpbid 147 |
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31 | nnabscl 11140 |
. . . . 5
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32 | 10, 30, 31 | syl2anc 411 |
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33 | dvdsmul1 11851 |
. . . . . . 7
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34 | zmulcl 9335 |
. . . . . . . 8
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35 | dvdsabsb 11848 |
. . . . . . . 8
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36 | 34, 35 | syldan 282 |
. . . . . . 7
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37 | 33, 36 | mpbid 147 |
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38 | dvdsmul2 11852 |
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39 | dvdsabsb 11848 |
. . . . . . . . 9
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40 | 34, 39 | sylan2 286 |
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41 | 40 | anabss7 583 |
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42 | 38, 41 | mpbid 147 |
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43 | 37, 42 | jca 306 |
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44 | 43 | adantr 276 |
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45 | 7, 32, 44 | elrabd 2910 |
. . 3
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46 | simplll 533 |
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47 | elfzelz 10054 |
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48 | 47 | adantl 277 |
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49 | zdvdsdc 11850 |
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50 | 46, 48, 49 | syl2anc 411 |
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51 | simpllr 534 |
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52 | zdvdsdc 11850 |
. . . . 5
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53 | 51, 48, 52 | syl2anc 411 |
. . . 4
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54 | 50, 53 | dcand 934 |
. . 3
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55 | 2, 4, 45, 54 | infssuzcldc 11983 |
. 2
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56 | 1, 55 | eqeltrd 2266 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 ax-cnex 7931 ax-resscn 7932 ax-1cn 7933 ax-1re 7934 ax-icn 7935 ax-addcl 7936 ax-addrcl 7937 ax-mulcl 7938 ax-mulrcl 7939 ax-addcom 7940 ax-mulcom 7941 ax-addass 7942 ax-mulass 7943 ax-distr 7944 ax-i2m1 7945 ax-0lt1 7946 ax-1rid 7947 ax-0id 7948 ax-rnegex 7949 ax-precex 7950 ax-cnre 7951 ax-pre-ltirr 7952 ax-pre-ltwlin 7953 ax-pre-lttrn 7954 ax-pre-apti 7955 ax-pre-ltadd 7956 ax-pre-mulgt0 7957 ax-pre-mulext 7958 ax-arch 7959 ax-caucvg 7960 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-iord 4384 df-on 4386 df-ilim 4387 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-isom 5244 df-riota 5851 df-ov 5898 df-oprab 5899 df-mpo 5900 df-1st 6164 df-2nd 6165 df-recs 6329 df-frec 6415 df-sup 7012 df-inf 7013 df-pnf 8023 df-mnf 8024 df-xr 8025 df-ltxr 8026 df-le 8027 df-sub 8159 df-neg 8160 df-reap 8561 df-ap 8568 df-div 8659 df-inn 8949 df-2 9007 df-3 9008 df-4 9009 df-n0 9206 df-z 9283 df-uz 9558 df-q 9649 df-rp 9683 df-fz 10038 df-fzo 10172 df-fl 10300 df-mod 10353 df-seqfrec 10476 df-exp 10550 df-cj 10882 df-re 10883 df-im 10884 df-rsqrt 11038 df-abs 11039 df-dvds 11826 df-lcm 12092 |
This theorem is referenced by: lcmn0cl 12099 dvdslcm 12100 |
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