Theorem ennnfonelemen 12663

Description: Lemma for ennnfone 12667. The result. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfone.l	|- L = U_ i e. NN0 ( H ` i )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemen	|- ( ph -> A ~~ NN )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   i, F, j, k, n   x, F, y, i, k   j, G   i, H, j, k, n   x, H, y   j, J   i, L, j, x, y   i, N, j, k, n   x, N, y   ph, i, j, k, n   ph, x, y

Allowed substitution hints:   A( i, k, n)   G( x, y, i, k, n)   J( x, y, i, k, n)   L( k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . . . . 7 |- H = seq 0 ( G , J )
8		ennnfone.l	. . . . . . 7 |- L = U_ i e. NN0 ( H ` i )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemf1 12660	. . . . . 6 |- ( ph -> L : dom L -1-1-> A )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemdm 12662	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom L = om )
11		f1eq2 5462	. . . . . . 7 |- ( dom L = om -> ( L : dom L -1-1-> A <-> L : om -1-1-> A ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L : dom L -1-1-> A <-> L : om -1-1-> A ) )
13	9, 12	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> L : om -1-1-> A )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemrn 12661	. . . . 5 |- ( ph -> ran L = A )
15		dff1o5 5516	. . . . 5 |- ( L : om -1-1-onto-> A <-> ( L : om -1-1-> A /\ ran L = A ) )
16	13, 14, 15	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ph -> L : om -1-1-onto-> A )
17		omex 4630	. . . . 5 |- om e. _V
18	17	f1oen 6827	. . . 4 |- ( L : om -1-1-onto-> A -> om ~~ A )
19	16, 18	syl 14	. . 3 |- ( ph -> om ~~ A )
20	19	ensymd 6851	. 2 |- ( ph -> A ~~ om )
21		nnenom 10543	. . 3 |- NN ~~ om
22	21	ensymi 6850	. 2 |- om ~~ NN
23		entr 6852	. 2 |- ( ( A ~~ om /\ om ~~ NN ) -> A ~~ NN )
24	20, 22, 23	sylancl 413	1 |- ( ph -> A ~~ NN )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   E.wrex 2476   u. cun 3155   (/)c0 3451   ifcif 3562   {csn 3623   <.cop 3626   U_ciun 3917   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   suc csuc 4401   omcom 4627   `'ccnv 4663   dom cdm 4664   ran crn 4665   "cima 4667   -1-1->wf1 5256   -onto->wfo 5257   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   e. cmpo 5927  freccfrec 6457   ^pm cpm 6717   ~~ cen 6806   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   - cmin 8214   NNcn 9007   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   seqcseq 10556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-er 6601  df-pm 6719  df-en 6809  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-seqfrec 10557

This theorem is referenced by:  ennnfonelemnn0  12664