Theorem ennnfonelemen 12992

Description: Lemma for ennnfone 12996. The result. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfone.l	|- L = U_ i e. NN0 ( H ` i )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemen	|- ( ph -> A ~~ NN )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   i, F, j, k, n   x, F, y, i, k   j, G   i, H, j, k, n   x, H, y   j, J   i, L, j, x, y   i, N, j, k, n   x, N, y   ph, i, j, k, n   ph, x, y

Allowed substitution hints:   A( i, k, n)   G( x, y, i, k, n)   J( x, y, i, k, n)   L( k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . . . . 7 |- H = seq 0 ( G , J )
8		ennnfone.l	. . . . . . 7 |- L = U_ i e. NN0 ( H ` i )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemf1 12989	. . . . . 6 |- ( ph -> L : dom L -1-1-> A )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemdm 12991	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom L = om )
11		f1eq2 5527	. . . . . . 7 |- ( dom L = om -> ( L : dom L -1-1-> A <-> L : om -1-1-> A ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L : dom L -1-1-> A <-> L : om -1-1-> A ) )
13	9, 12	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> L : om -1-1-> A )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemrn 12990	. . . . 5 |- ( ph -> ran L = A )
15		dff1o5 5581	. . . . 5 |- ( L : om -1-1-onto-> A <-> ( L : om -1-1-> A /\ ran L = A ) )
16	13, 14, 15	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ph -> L : om -1-1-onto-> A )
17		omex 4685	. . . . 5 |- om e. _V
18	17	f1oen 6910	. . . 4 |- ( L : om -1-1-onto-> A -> om ~~ A )
19	16, 18	syl 14	. . 3 |- ( ph -> om ~~ A )
20	19	ensymd 6935	. 2 |- ( ph -> A ~~ om )
21		nnenom 10656	. . 3 |- NN ~~ om
22	21	ensymi 6934	. 2 |- om ~~ NN
23		entr 6936	. 2 |- ( ( A ~~ om /\ om ~~ NN ) -> A ~~ NN )
24	20, 22, 23	sylancl 413	1 |- ( ph -> A ~~ NN )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   E.wrex 2509   u. cun 3195   (/)c0 3491   ifcif 3602   {csn 3666   <.cop 3669   U_ciun 3965   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   suc csuc 4456   omcom 4682   `'ccnv 4718   dom cdm 4719   ran crn 4720   "cima 4722   -1-1->wf1 5315   -onto->wfo 5316   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   e. cmpo 6003  freccfrec 6536   ^pm cpm 6796   ~~ cen 6885   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   - cmin 8317   NNcn 9110   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   seqcseq 10669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-er 6680  df-pm 6798  df-en 6888  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-seqfrec 10670

This theorem is referenced by:  ennnfonelemnn0  12993