Theorem ennnfonelemen 13256

Description: Lemma for ennnfone 13260. The result. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfone.l	|- L = U_ i e. NN0 ( H ` i )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemen	|- ( ph -> A ~~ NN )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   i, F, j, k, n   x, F, y, i, k   j, G   i, H, j, k, n   x, H, y   j, J   i, L, j, x, y   i, N, j, k, n   x, N, y   ph, i, j, k, n   ph, x, y

Allowed substitution hints:   A( i, k, n)   G( x, y, i, k, n)   J( x, y, i, k, n)   L( k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . . . . 7 |- H = seq 0 ( G , J )
8		ennnfone.l	. . . . . . 7 |- L = U_ i e. NN0 ( H ` i )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemf1 13253	. . . . . 6 |- ( ph -> L : dom L -1-1-> A )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemdm 13255	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom L = om )
11		f1eq2 5574	. . . . . . 7 |- ( dom L = om -> ( L : dom L -1-1-> A <-> L : om -1-1-> A ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L : dom L -1-1-> A <-> L : om -1-1-> A ) )
13	9, 12	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> L : om -1-1-> A )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemrn 13254	. . . . 5 |- ( ph -> ran L = A )
15		dff1o5 5628	. . . . 5 |- ( L : om -1-1-onto-> A <-> ( L : om -1-1-> A /\ ran L = A ) )
16	13, 14, 15	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ph -> L : om -1-1-onto-> A )
17		omex 4720	. . . . 5 |- om e. _V
18	17	f1oen 7011	. . . 4 |- ( L : om -1-1-onto-> A -> om ~~ A )
19	16, 18	syl 14	. . 3 |- ( ph -> om ~~ A )
20	19	ensymd 7036	. 2 |- ( ph -> A ~~ om )
21		nnenom 10820	. . 3 |- NN ~~ om
22	21	ensymi 7035	. 2 |- om ~~ NN
23		entr 7037	. 2 |- ( ( A ~~ om /\ om ~~ NN ) -> A ~~ NN )
24	20, 22, 23	sylancl 413	1 |- ( ph -> A ~~ NN )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   A.wral 2522   E.wrex 2523   u. cun 3212   (/)c0 3512   ifcif 3624   {csn 3694   <.cop 3697   U_ciun 3996   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   suc csuc 4491   omcom 4717   `'ccnv 4753   dom cdm 4754   ran crn 4755   "cima 4757   -1-1->wf1 5354   -onto->wfo 5355   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   e. cmpo 6060  freccfrec 6634   ^pm cpm 6896   ~~ cen 6986   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   - cmin 8460   NNcn 9254   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   seqcseq 10833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-er 6780  df-pm 6898  df-en 6989  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-seqfrec 10834

This theorem is referenced by:  ennnfonelemnn0  13257