Theorem ennnfonelemen 12578

Description: Lemma for ennnfone 12582. The result. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfone.l	|- L = U_ i e. NN0 ( H ` i )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemen	|- ( ph -> A ~~ NN )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   i, F, j, k, n   x, F, y, i, k   j, G   i, H, j, k, n   x, H, y   j, J   i, L, j, x, y   i, N, j, k, n   x, N, y   ph, i, j, k, n   ph, x, y

Allowed substitution hints:   A( i, k, n)   G( x, y, i, k, n)   J( x, y, i, k, n)   L( k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . . . . 7 |- H = seq 0 ( G , J )
8		ennnfone.l	. . . . . . 7 |- L = U_ i e. NN0 ( H ` i )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemf1 12575	. . . . . 6 |- ( ph -> L : dom L -1-1-> A )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemdm 12577	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom L = om )
11		f1eq2 5455	. . . . . . 7 |- ( dom L = om -> ( L : dom L -1-1-> A <-> L : om -1-1-> A ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L : dom L -1-1-> A <-> L : om -1-1-> A ) )
13	9, 12	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> L : om -1-1-> A )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemrn 12576	. . . . 5 |- ( ph -> ran L = A )
15		dff1o5 5509	. . . . 5 |- ( L : om -1-1-onto-> A <-> ( L : om -1-1-> A /\ ran L = A ) )
16	13, 14, 15	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ph -> L : om -1-1-onto-> A )
17		omex 4625	. . . . 5 |- om e. _V
18	17	f1oen 6813	. . . 4 |- ( L : om -1-1-onto-> A -> om ~~ A )
19	16, 18	syl 14	. . 3 |- ( ph -> om ~~ A )
20	19	ensymd 6837	. 2 |- ( ph -> A ~~ om )
21		nnenom 10505	. . 3 |- NN ~~ om
22	21	ensymi 6836	. 2 |- om ~~ NN
23		entr 6838	. 2 |- ( ( A ~~ om /\ om ~~ NN ) -> A ~~ NN )
24	20, 22, 23	sylancl 413	1 |- ( ph -> A ~~ NN )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   E.wrex 2473   u. cun 3151   (/)c0 3446   ifcif 3557   {csn 3618   <.cop 3621   U_ciun 3912   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   suc csuc 4396   omcom 4622   `'ccnv 4658   dom cdm 4659   ran crn 4660   "cima 4662   -1-1->wf1 5251   -onto->wfo 5252   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   e. cmpo 5920  freccfrec 6443   ^pm cpm 6703   ~~ cen 6792   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   - cmin 8190   NNcn 8982   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   seqcseq 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-er 6587  df-pm 6705  df-en 6795  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519

This theorem is referenced by:  ennnfonelemnn0  12579