Theorem eqwrd 10941

Description: Two words are equal iff they have the same length and the same symbol at each position. (Contributed by AV, 13-Apr-2018.) (Revised by JJ, 30-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eqwrd	⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))))

Distinct variable groups:   𝑈,𝑖   𝑖,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝑇(𝑖)

Proof of Theorem eqwrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfn 10916	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑆 → 𝑈 Fn (0..^(♯‘𝑈)))
2		wrdfn 10916	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
3		eqfnfv2 5648	. . 3 ⊢ ((𝑈 Fn (0..^(♯‘𝑈)) ∧ 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))))
5		fveq2 5546	. . . . 5 ⊢ ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
6		lencl 10905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
7		hashfzo0 10881	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑈) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘𝑈))
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑆 → (♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘𝑈))
9		lencl 10905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10		hashfzo0 10881	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
11	9, 10	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
12	8, 11	eqeqan12d 2209	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) ↔ (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
13	5, 12	imbitrid 154	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
14		oveq2 5918	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) → (0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)))
15	13, 14	impbid1 142	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
16	15	anbi1d 465	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈‘𝑖) = (𝑊‘𝑖)) ↔ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))))
17	4, 16	bitrd 188	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   Fn wfn 5241  ‘cfv 5246  (class class class)co 5910  0cc0 7862  ℕ₀cn0 9230  ..^cfzo 10198  ♯chash 10833  Word cword 10901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-frec 6435  df-1o 6460  df-er 6578  df-en 6786  df-dom 6787  df-fin 6788  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-inn 8973  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-fz 10065  df-fzo 10199  df-ihash 10834  df-word 10902

This theorem is referenced by: (None)