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Theorem swrdspsleq 11235
Description: Two words have a common subword (starting at the same position with the same length) iff they have the same symbols at each position. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Aug-2018.) (Proof shortened by AV, 7-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdspsleq |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
Distinct variable groups:   i, M   i, N   U, i   i, V   i, W
Proof of Theorem swrdspsleq
Dummy variable j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdsb0eq 11233 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ M ) -> ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) )
213expa 1227 . . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) /\ N <_ M ) -> ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) )
32ancoms 268 . . . . 5 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) )
433adantr3 1182 . . . 4 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) )
5 ral0 3594 . . . . . . . 8 |- A. i e. (/) ( W ` i ) = ( U ` i )
6 nn0z 9487 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
7 nn0z 9487 . . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
8 fzon 10390 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N <_ M <-> ( M..^ N ) = (/) ) )
96, 7, 8syl2an 289 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N <_ M <-> ( M..^ N ) = (/) ) )
109biimpa 296 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ M ) -> ( M..^ N ) = (/) )
1110raleqdv 2734 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ M ) -> ( A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) <-> A. i e. (/) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
125, 11mpbiri 168 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ M ) -> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) )
1312ex 115 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N <_ M -> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
14133ad2ant2 1043 . . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( N <_ M -> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
1514impcom 125 . . . 4 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) )
164, 152thd 175 . . 3 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
1716ancoms 268 . 2 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ N <_ M ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
18 simp1l 1045 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> W e. Word V )
19 simp2l 1047 . . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> M e. NN0 )
2019nn0zd 9588 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> M e. ZZ )
21 simp2r 1048 . . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> N e. NN0 )
2221nn0zd 9588 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> N e. ZZ )
23 swrdclg 11218 . . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( W substr <. M , N >. ) e. Word V )
2418, 20, 22, 23syl3anc 1271 . . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( W substr <. M , N >. ) e. Word V )
25 simp1r 1046 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> U e. Word V )
26 swrdclg 11218 . . . . . . 7 |- ( ( U e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( U substr <. M , N >. ) e. Word V )
2725, 20, 22, 26syl3anc 1271 . . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( U substr <. M , N >. ) e. Word V )
28 eqwrd 11141 . . . . . 6 |- ( ( ( W substr <. M , N >. ) e. Word V /\ ( U substr <. M , N >. ) e. Word V ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> ( (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) /\ A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) ) )
2924, 27, 28syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> ( (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) /\ A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) ) )
3029adantl 277 . . . 4 |- ( ( -. N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> ( (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) /\ A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) ) )
31 swrdsbslen 11234 . . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) )
3231adantl 277 . . . . 5 |- ( ( -. N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) )
3332biantrurd 305 . . . 4 |- ( ( -. N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> ( A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> ( (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) /\ A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) ) )
34 zltnle 9513 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> -. N <_ M ) )
3520, 22, 34syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( M < N <-> -. N <_ M ) )
3619nn0red 9444 . . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> M e. RR )
3721nn0red 9444 . . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> N e. RR )
38 ltle 8255 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M < N -> M <_ N ) )
3936, 37, 38syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( M < N -> M <_ N ) )
4035, 39sylbird 170 . . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( -. N <_ M -> M <_ N ) )
41 simpl1l 1072 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> W e. Word V )
42 simpl2l 1074 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> M e. NN0 )
436, 7anim12i 338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
44433ad2ant2 1043 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
4544anim1i 340 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) )
46 df-3an 1004 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) )
4745, 46sylibr 134 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
48 eluz2 9749 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
4947, 48sylibr 134 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5042, 49jca 306 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
51 simpl3l 1076 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> N <_ (♯ ` W ) )
52 swrdlen2 11230 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( N - M ) )
5341, 50, 51, 52syl3anc 1271 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( N - M ) )
5453oveq2d 6027 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) = ( 0..^ ( N - M ) ) )
5554raleqdv 2734 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. j e. ( 0..^ ( N - M ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
56 0zd 9479 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> 0 e. ZZ )
57 zsubcl 9508 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N - M ) e. ZZ )
587, 6, 57syl2anr 290 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N - M ) e. ZZ )
59583ad2ant2 1043 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( N - M ) e. ZZ )
606adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. ZZ )
61603ad2ant2 1043 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> M e. ZZ )
62 fzoshftral 10472 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( N - M ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( A. j e. ( 0..^ ( N - M ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
6356, 59, 61, 62syl3anc 1271 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( A. j e. ( 0..^ ( N - M ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
6463adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. j e. ( 0..^ ( N - M ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
65 nn0cn 9400 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
66 nn0cn 9400 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
67 addlid 8306 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. CC -> ( 0 + M ) = M )
6867adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( 0 + M ) = M )
69 npcan 8376 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( ( N - M ) + M ) = N )
7068, 69oveq12d 6029 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( M..^ N ) )
7165, 66, 70syl2anr 290 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( M..^ N ) )
72713ad2ant2 1043 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( M..^ N ) )
7372adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( M..^ N ) )
7473raleqdv 2734 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. i e. ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
75 elfzoelz 10370 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( M..^ N ) -> i e. ZZ )
7675adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> i e. ZZ )
7720ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> M e. ZZ )
7876, 77zsubcld 9595 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( i - M ) e. ZZ )
7978elexd 2814 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( i - M ) e. _V )
80 sbceqg 3141 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i - M ) e. _V -> ( [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
81 csbfvg 5675 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i - M ) e. _V -> [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) )
82 csbfvg 5675 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i - M ) e. _V -> [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) )
8381, 82eqeq12d 2244 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i - M ) e. _V -> ( [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) ) )
8480, 83bitrd 188 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i - M ) e. _V -> ( [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) ) )
8579, 84syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) ) )
8641, 50, 513jca 1201 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( W e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ (♯ ` W ) ) )
87 swrdfv2 11231 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ (♯ ` W ) ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( W ` i ) )
8886, 87sylan 283 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( W ` i ) )
89 simpl1r 1073 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> U e. Word V )
90 simpl3r 1077 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> N <_ (♯ ` U ) )
9189, 50, 903jca 1201 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( U e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) )
92 swrdfv2 11231 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( U e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( U ` i ) )
9391, 92sylan 283 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( U ` i ) )
9488, 93eqeq12d 2244 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) <-> ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
9585, 94bitrd 188 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
9695ralbidva 2526 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. i e. ( M..^ N ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
9774, 96bitrd 188 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. i e. ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
9855, 64, 973bitrd 214 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
9998ex 115 . . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( M <_ N -> ( A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) ) )
10040, 99syld 45 . . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( -. N <_ M -> ( A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) ) )
101100impcom 125 . . . 4 |- ( ( -. N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> ( A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
10230, 33, 1013bitr2d 216 . . 3 |- ( ( -. N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
103102ancoms 268 . 2 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ -. N <_ M ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
10444simprd 114 . . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> N e. ZZ )
105 zdcle 9544 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID N <_ M )
106104, 61, 105syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> DECID N <_ M )
107 exmiddc 841 . . 3 |- (DECID N <_ M -> ( N <_ M \/ -. N <_ M ) )
108106, 107syl 14 . 2 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( N <_ M \/ -. N <_ M ) )
10917, 103, 108mpjaodan 803 1 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2800   [.wsbc 3029   [_csb 3125   (/)c0 3492   <.cop 3670   class class class wbr 4084   ` cfv 5322  (class class class)co 6011   CCcc 8018   RRcr 8019   0cc0 8020   + caddc 8023   < clt 8202   <_ cle 8203   - cmin 8338   NN0cn0 9390   ZZcz 9467   ZZ>=cuz 9743  ..^cfzo 10365  ♯chash 11025  Word cword 11100   substr csubstr 11213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-nul 4211  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-iinf 4682  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-apti 8135  ax-pre-ltadd 8136
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-tr 4184  df-id 4386  df-iord 4459  df-on 4461  df-ilim 4462  df-suc 4464  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-recs 6464  df-frec 6550  df-1o 6575  df-er 6695  df-en 6903  df-dom 6904  df-fin 6905  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-inn 9132  df-n0 9391  df-z 9468  df-uz 9744  df-fz 10232  df-fzo 10366  df-ihash 11026  df-word 11101  df-substr 11214
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