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Theorem swrdspsleq 11417
Description: Two words have a common subword (starting at the same position with the same length) iff they have the same symbols at each position. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Aug-2018.) (Proof shortened by AV, 7-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdspsleq |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
Distinct variable groups:   i, M   i, N   U, i   i, V   i, W
Proof of Theorem swrdspsleq
Dummy variable j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdsb0eq 11415 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ M ) -> ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) )
213expa 1234 . . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) /\ N <_ M ) -> ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) )
32ancoms 268 . . . . 5 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) )
433adantr3 1189 . . . 4 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) )
5 ral0 3626 . . . . . . . 8 |- A. i e. (/) ( W ` i ) = ( U ` i )
6 nn0z 9643 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
7 nn0z 9643 . . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
8 fzon 10552 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N <_ M <-> ( M..^ N ) = (/) ) )
96, 7, 8syl2an 289 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N <_ M <-> ( M..^ N ) = (/) ) )
109biimpa 296 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ M ) -> ( M..^ N ) = (/) )
1110raleqdv 2755 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ M ) -> ( A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) <-> A. i e. (/) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
125, 11mpbiri 168 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ M ) -> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) )
1312ex 115 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N <_ M -> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
14133ad2ant2 1050 . . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( N <_ M -> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
1514impcom 125 . . . 4 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) )
164, 152thd 175 . . 3 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
1716ancoms 268 . 2 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ N <_ M ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
18 simp1l 1052 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> W e. Word V )
19 simp2l 1054 . . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> M e. NN0 )
2019nn0zd 9745 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> M e. ZZ )
21 simp2r 1055 . . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> N e. NN0 )
2221nn0zd 9745 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> N e. ZZ )
23 swrdclg 11400 . . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( W substr <. M , N >. ) e. Word V )
2418, 20, 22, 23syl3anc 1278 . . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( W substr <. M , N >. ) e. Word V )
25 simp1r 1053 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> U e. Word V )
26 swrdclg 11400 . . . . . . 7 |- ( ( U e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( U substr <. M , N >. ) e. Word V )
2725, 20, 22, 26syl3anc 1278 . . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( U substr <. M , N >. ) e. Word V )
28 eqwrd 11323 . . . . . 6 |- ( ( ( W substr <. M , N >. ) e. Word V /\ ( U substr <. M , N >. ) e. Word V ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> ( (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) /\ A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) ) )
2924, 27, 28syl2anc 415 . . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> ( (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) /\ A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) ) )
3029adantl 277 . . . 4 |- ( ( -. N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> ( (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) /\ A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) ) )
31 swrdsbslen 11416 . . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) )
3231adantl 277 . . . . 5 |- ( ( -. N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) )
3332biantrurd 305 . . . 4 |- ( ( -. N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> ( A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> ( (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) /\ A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) ) )
34 zltnle 9669 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> -. N <_ M ) )
3520, 22, 34syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( M < N <-> -. N <_ M ) )
3619nn0red 9600 . . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> M e. RR )
3721nn0red 9600 . . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> N e. RR )
38 ltle 8403 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M < N -> M <_ N ) )
3936, 37, 38syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( M < N -> M <_ N ) )
4035, 39sylbird 170 . . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( -. N <_ M -> M <_ N ) )
41 simpl1l 1079 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> W e. Word V )
42 simpl2l 1081 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> M e. NN0 )
436, 7anim12i 338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
44433ad2ant2 1050 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
4544anim1i 340 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) )
46 df-3an 1011 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) )
4745, 46sylibr 134 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
48 eluz2 9906 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
4947, 48sylibr 134 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5042, 49jca 306 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
51 simpl3l 1083 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> N <_ (♯ ` W ) )
52 swrdlen2 11412 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( N - M ) )
5341, 50, 51, 52syl3anc 1278 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( N - M ) )
5453oveq2d 6091 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) = ( 0..^ ( N - M ) ) )
5554raleqdv 2755 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. j e. ( 0..^ ( N - M ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
56 0zd 9635 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> 0 e. ZZ )
57 zsubcl 9664 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N - M ) e. ZZ )
587, 6, 57syl2anr 290 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N - M ) e. ZZ )
59583ad2ant2 1050 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( N - M ) e. ZZ )
606adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. ZZ )
61603ad2ant2 1050 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> M e. ZZ )
62 fzoshftral 10635 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( N - M ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( A. j e. ( 0..^ ( N - M ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
6356, 59, 61, 62syl3anc 1278 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( A. j e. ( 0..^ ( N - M ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
6463adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. j e. ( 0..^ ( N - M ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
65 nn0cn 9552 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
66 nn0cn 9552 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
67 addlid 8455 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. CC -> ( 0 + M ) = M )
6867adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( 0 + M ) = M )
69 npcan 8525 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( ( N - M ) + M ) = N )
7068, 69oveq12d 6093 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( M..^ N ) )
7165, 66, 70syl2anr 290 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( M..^ N ) )
72713ad2ant2 1050 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( M..^ N ) )
7372adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( M..^ N ) )
7473raleqdv 2755 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. i e. ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
75 elfzoelz 10532 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( M..^ N ) -> i e. ZZ )
7675adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> i e. ZZ )
7720ad2antrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> M e. ZZ )
7876, 77zsubcld 9752 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( i - M ) e. ZZ )
7978elexd 2835 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( i - M ) e. _V )
80 sbceqg 3163 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i - M ) e. _V -> ( [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
81 csbfvg 5732 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i - M ) e. _V -> [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) )
82 csbfvg 5732 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i - M ) e. _V -> [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) )
8381, 82eqeq12d 2253 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i - M ) e. _V -> ( [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) ) )
8480, 83bitrd 188 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i - M ) e. _V -> ( [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) ) )
8579, 84syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) ) )
8641, 50, 513jca 1208 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( W e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ (♯ ` W ) ) )
87 swrdfv2 11413 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ (♯ ` W ) ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( W ` i ) )
8886, 87sylan 283 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( W ` i ) )
89 simpl1r 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> U e. Word V )
90 simpl3r 1084 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> N <_ (♯ ` U ) )
9189, 50, 903jca 1208 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( U e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) )
92 swrdfv2 11413 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( U e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( U ` i ) )
9391, 92sylan 283 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( U ` i ) )
9488, 93eqeq12d 2253 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) <-> ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
9585, 94bitrd 188 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
9695ralbidva 2546 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. i e. ( M..^ N ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
9774, 96bitrd 188 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. i e. ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
9855, 64, 973bitrd 214 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
9998ex 115 . . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( M <_ N -> ( A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) ) )
10040, 99syld 45 . . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( -. N <_ M -> ( A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) ) )
101100impcom 125 . . . 4 |- ( ( -. N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> ( A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
10230, 33, 1013bitr2d 216 . . 3 |- ( ( -. N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
103102ancoms 268 . 2 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ -. N <_ M ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
10444simprd 114 . . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> N e. ZZ )
105 zdcle 9700 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID N <_ M )
106104, 61, 105syl2anc 415 . . 3 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> DECID N <_ M )
107 exmiddc 848 . . 3 |- (DECID N <_ M -> ( N <_ M \/ -. N <_ M ) )
108106, 107syl 14 . 2 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( N <_ M \/ -. N <_ M ) )
10917, 103, 108mpjaodan 810 1 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   [.wsbc 3051   [_csb 3147   (/)c0 3520   <.cop 3708   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   0cc0 8169   + caddc 8172   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900  ..^cfzo 10527  ♯chash 11192  Word cword 11282   substr csubstr 11395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-ihash 11193  df-word 11283  df-substr 11396
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