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Theorem swrdspsleq 11247
Description: Two words have a common subword (starting at the same position with the same length) iff they have the same symbols at each position. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Aug-2018.) (Proof shortened by AV, 7-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdspsleq |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
Distinct variable groups:   i, M   i, N   U, i   i, V   i, W
Proof of Theorem swrdspsleq
Dummy variable j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdsb0eq 11245 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ M ) -> ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) )
213expa 1229 . . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) /\ N <_ M ) -> ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) )
32ancoms 268 . . . . 5 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) )
433adantr3 1184 . . . 4 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) )
5 ral0 3596 . . . . . . . 8 |- A. i e. (/) ( W ` i ) = ( U ` i )
6 nn0z 9498 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
7 nn0z 9498 . . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
8 fzon 10401 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N <_ M <-> ( M..^ N ) = (/) ) )
96, 7, 8syl2an 289 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N <_ M <-> ( M..^ N ) = (/) ) )
109biimpa 296 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ M ) -> ( M..^ N ) = (/) )
1110raleqdv 2736 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ M ) -> ( A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) <-> A. i e. (/) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
125, 11mpbiri 168 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ M ) -> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) )
1312ex 115 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N <_ M -> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
14133ad2ant2 1045 . . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( N <_ M -> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
1514impcom 125 . . . 4 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) )
164, 152thd 175 . . 3 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
1716ancoms 268 . 2 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ N <_ M ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
18 simp1l 1047 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> W e. Word V )
19 simp2l 1049 . . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> M e. NN0 )
2019nn0zd 9599 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> M e. ZZ )
21 simp2r 1050 . . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> N e. NN0 )
2221nn0zd 9599 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> N e. ZZ )
23 swrdclg 11230 . . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( W substr <. M , N >. ) e. Word V )
2418, 20, 22, 23syl3anc 1273 . . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( W substr <. M , N >. ) e. Word V )
25 simp1r 1048 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> U e. Word V )
26 swrdclg 11230 . . . . . . 7 |- ( ( U e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( U substr <. M , N >. ) e. Word V )
2725, 20, 22, 26syl3anc 1273 . . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( U substr <. M , N >. ) e. Word V )
28 eqwrd 11153 . . . . . 6 |- ( ( ( W substr <. M , N >. ) e. Word V /\ ( U substr <. M , N >. ) e. Word V ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> ( (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) /\ A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) ) )
2924, 27, 28syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> ( (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) /\ A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) ) )
3029adantl 277 . . . 4 |- ( ( -. N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> ( (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) /\ A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) ) )
31 swrdsbslen 11246 . . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) )
3231adantl 277 . . . . 5 |- ( ( -. N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) )
3332biantrurd 305 . . . 4 |- ( ( -. N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> ( A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> ( (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) /\ A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) ) )
34 zltnle 9524 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> -. N <_ M ) )
3520, 22, 34syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( M < N <-> -. N <_ M ) )
3619nn0red 9455 . . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> M e. RR )
3721nn0red 9455 . . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> N e. RR )
38 ltle 8266 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M < N -> M <_ N ) )
3936, 37, 38syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( M < N -> M <_ N ) )
4035, 39sylbird 170 . . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( -. N <_ M -> M <_ N ) )
41 simpl1l 1074 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> W e. Word V )
42 simpl2l 1076 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> M e. NN0 )
436, 7anim12i 338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
44433ad2ant2 1045 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
4544anim1i 340 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) )
46 df-3an 1006 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) )
4745, 46sylibr 134 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
48 eluz2 9760 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
4947, 48sylibr 134 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5042, 49jca 306 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
51 simpl3l 1078 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> N <_ (♯ ` W ) )
52 swrdlen2 11242 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( N - M ) )
5341, 50, 51, 52syl3anc 1273 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( N - M ) )
5453oveq2d 6033 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) = ( 0..^ ( N - M ) ) )
5554raleqdv 2736 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. j e. ( 0..^ ( N - M ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
56 0zd 9490 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> 0 e. ZZ )
57 zsubcl 9519 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N - M ) e. ZZ )
587, 6, 57syl2anr 290 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N - M ) e. ZZ )
59583ad2ant2 1045 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( N - M ) e. ZZ )
606adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. ZZ )
61603ad2ant2 1045 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> M e. ZZ )
62 fzoshftral 10483 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( N - M ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( A. j e. ( 0..^ ( N - M ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
6356, 59, 61, 62syl3anc 1273 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( A. j e. ( 0..^ ( N - M ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
6463adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. j e. ( 0..^ ( N - M ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
65 nn0cn 9411 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
66 nn0cn 9411 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
67 addlid 8317 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. CC -> ( 0 + M ) = M )
6867adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( 0 + M ) = M )
69 npcan 8387 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( ( N - M ) + M ) = N )
7068, 69oveq12d 6035 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( M..^ N ) )
7165, 66, 70syl2anr 290 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( M..^ N ) )
72713ad2ant2 1045 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( M..^ N ) )
7372adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( M..^ N ) )
7473raleqdv 2736 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. i e. ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
75 elfzoelz 10381 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( M..^ N ) -> i e. ZZ )
7675adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> i e. ZZ )
7720ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> M e. ZZ )
7876, 77zsubcld 9606 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( i - M ) e. ZZ )
7978elexd 2816 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( i - M ) e. _V )
80 sbceqg 3143 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i - M ) e. _V -> ( [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
81 csbfvg 5681 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i - M ) e. _V -> [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) )
82 csbfvg 5681 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i - M ) e. _V -> [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) )
8381, 82eqeq12d 2246 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i - M ) e. _V -> ( [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) ) )
8480, 83bitrd 188 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i - M ) e. _V -> ( [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) ) )
8579, 84syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) ) )
8641, 50, 513jca 1203 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( W e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ (♯ ` W ) ) )
87 swrdfv2 11243 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ (♯ ` W ) ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( W ` i ) )
8886, 87sylan 283 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( W ` i ) )
89 simpl1r 1075 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> U e. Word V )
90 simpl3r 1079 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> N <_ (♯ ` U ) )
9189, 50, 903jca 1203 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( U e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) )
92 swrdfv2 11243 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( U e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( U ` i ) )
9391, 92sylan 283 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( U ` i ) )
9488, 93eqeq12d 2246 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) <-> ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
9585, 94bitrd 188 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
9695ralbidva 2528 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. i e. ( M..^ N ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
9774, 96bitrd 188 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. i e. ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
9855, 64, 973bitrd 214 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
9998ex 115 . . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( M <_ N -> ( A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) ) )
10040, 99syld 45 . . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( -. N <_ M -> ( A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) ) )
101100impcom 125 . . . 4 |- ( ( -. N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> ( A. j e. ( 0..^ (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
10230, 33, 1013bitr2d 216 . . 3 |- ( ( -. N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
103102ancoms 268 . 2 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ -. N <_ M ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
10444simprd 114 . . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> N e. ZZ )
105 zdcle 9555 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID N <_ M )
106104, 61, 105syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> DECID N <_ M )
107 exmiddc 843 . . 3 |- (DECID N <_ M -> ( N <_ M \/ -. N <_ M ) )
108106, 107syl 14 . 2 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( N <_ M \/ -. N <_ M ) )
10917, 103, 108mpjaodan 805 1 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   [.wsbc 3031   [_csb 3127   (/)c0 3494   <.cop 3672   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   RRcr 8030   0cc0 8031   + caddc 8034   < clt 8213   <_ cle 8214   - cmin 8349   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754  ..^cfzo 10376  ♯chash 11036  Word cword 11112   substr csubstr 11225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-ihash 11037  df-word 11113  df-substr 11226
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