ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  evennn2n GIF version

Theorem evennn2n 10965
Description: A positive integer is even iff it is twice another positive integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
evennn2n (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (2 · 𝑛) = 𝑁))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem evennn2n
StepHypRef Expression
1 eleq1 2150 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑛) = 𝑁 → ((2 · 𝑛) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
2 simpr 108 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
3 2re 8463 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
43a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ)
5 zre 8724 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
65adantl 271 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
7 0le2 8483 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 2
87a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 0 ≤ 2)
9 nngt0 8419 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑛))
109adantr 270 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 0 < (2 · 𝑛))
11 prodgt0 8285 . . . . . . . . . . 11 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 0 < (2 · 𝑛))) → 0 < 𝑛)
124, 6, 8, 10, 11syl22anc 1175 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 0 < 𝑛)
13 elnnz 8730 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑛))
142, 12, 13sylanbrc 408 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℕ)
1514ex 113 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ))
161, 15syl6bir 162 . . . . . . 7 ((2 · 𝑛) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ)))
1716com13 79 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) = 𝑁𝑛 ∈ ℕ)))
1817impcom 123 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) = 𝑁𝑛 ∈ ℕ))
1918pm4.71rd 386 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
2019bicomd 139 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) ↔ (2 · 𝑛) = 𝑁))
2120rexbidva 2377 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
22 nnssz 8737 . . 3 ℕ ⊆ ℤ
23 rexss 3086 . . 3 (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℕ (2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
2422, 23mp1i 10 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑛 ∈ ℕ (2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
25 even2n 10956 . . 3 (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)
2625a1i 9 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
2721, 24, 263bitr4rd 219 1 (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (2 · 𝑛) = 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438  wrex 2360  wss 2997   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634  cr 7328  0cc0 7329   · cmul 7334   < clt 7501  cle 7502  cn 8394  2c2 8444  cz 8720  cdvds 10878
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-dvds 10879
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator