ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flqge GIF version

Theorem flqge 10231
Description: The floor function value is the greatest integer less than or equal to its argument. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqge ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴𝐵 ≤ (⌊‘𝐴)))

Proof of Theorem flqge
StepHypRef Expression
1 flqltp1 10228 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
21adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
3 simpr 109 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
43zred 9327 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 qre 9577 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
65adantr 274 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
7 simpl 108 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℚ)
87flqcld 10226 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
98peano2zd 9330 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ)
109zred 9327 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
11 lelttr 8001 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
124, 6, 10, 11syl3anc 1233 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
132, 12mpan2d 426 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
14 zleltp1 9260 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) ↔ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
153, 8, 14syl2anc 409 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) ↔ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
1613, 15sylibrd 168 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴𝐵 ≤ (⌊‘𝐴)))
17 flqle 10227 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
1817adantr 274 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
198zred 9327 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
20 letr 7995 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴) → 𝐵𝐴))
214, 19, 6, 20syl3anc 1233 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴) → 𝐵𝐴))
2218, 21mpan2d 426 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) → 𝐵𝐴))
2316, 22impbid 128 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴𝐵 ≤ (⌊‘𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 2141   class class class wbr 3987  cfv 5196  (class class class)co 5851  cr 7766  1c1 7768   + caddc 7770   < clt 7947  cle 7948  cz 9205  cq 9571  cfl 10217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-q 9572  df-rp 9604  df-fl 10219
This theorem is referenced by:  flqlt  10232  flid  10233  flqwordi  10237  flqge0nn0  10242  flqge1nn  10243  flqmulnn0  10248  modqmuladdnn0  10317  hashdvds  12168
  Copyright terms: Public domain W3C validator