ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flqge GIF version

Theorem flqge 10313
Description: The floor function value is the greatest integer less than or equal to its argument. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqge ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴𝐵 ≤ (⌊‘𝐴)))

Proof of Theorem flqge
StepHypRef Expression
1 flqltp1 10310 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
21adantr 276 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
3 simpr 110 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
43zred 9405 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 qre 9655 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
65adantr 276 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
7 simpl 109 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℚ)
87flqcld 10308 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
98peano2zd 9408 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ)
109zred 9405 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
11 lelttr 8076 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
124, 6, 10, 11syl3anc 1249 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
132, 12mpan2d 428 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
14 zleltp1 9338 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) ↔ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
153, 8, 14syl2anc 411 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) ↔ 𝐵 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
1613, 15sylibrd 169 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴𝐵 ≤ (⌊‘𝐴)))
17 flqle 10309 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
1817adantr 276 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
198zred 9405 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
20 letr 8070 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴) → 𝐵𝐴))
214, 19, 6, 20syl3anc 1249 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴) → 𝐵𝐴))
2218, 21mpan2d 428 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ (⌊‘𝐴) → 𝐵𝐴))
2316, 22impbid 129 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴𝐵 ≤ (⌊‘𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wcel 2160   class class class wbr 4018  cfv 5235  (class class class)co 5896  cr 7840  1c1 7842   + caddc 7844   < clt 8022  cle 8023  cz 9283  cq 9649  cfl 10299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-n0 9207  df-z 9284  df-q 9650  df-rp 9684  df-fl 10301
This theorem is referenced by:  flqlt  10314  flid  10315  flqwordi  10319  flqge0nn0  10324  flqge1nn  10325  flqmulnn0  10330  modqmuladdnn0  10399  hashdvds  12253
  Copyright terms: Public domain W3C validator