Theorem flqmulnn0 10514

Description: Move a nonnegative integer in and out of a floor. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqmulnn0	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem flqmulnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqcl 10488	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	2	zred 9565	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
4		qre 9816	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 9419	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℝ)
8	6	nn0ge0d 9421	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → 0 ≤ 𝑁)
9		flqle 10493	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
10	9	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
11	3, 5, 7, 8, 10	lemul2ad 9083	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (𝑁 · 𝐴))
12		nn0z 9462	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
13		zq 9817	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
14	12, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℚ)
15		qmulcl 9828	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ)
16	14, 15	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ)
17		zmulcl 9496	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℤ)
18	12, 1, 17	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℤ)
19		flqge 10497	. . 3 ⊢ (((𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ ∧ (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℤ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (𝑁 · 𝐴) ↔ (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴))))
20	16, 18, 19	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (𝑁 · 𝐴) ↔ (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴))))
21	11, 20	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℝcr 7994   · cmul 8000   ≤ cle 8178  ℕ₀cn0 9365  ℤcz 9442  ℚcq 9810  ⌊cfl 10483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-q 9811  df-rp 9846  df-fl 10485

This theorem is referenced by:  modqmulnn  10559