Theorem flqmulnn0 10717

Description: Move a nonnegative integer in and out of a floor. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqmulnn0	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem flqmulnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqcl 10691	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	2	zred 9751	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
4		qre 10008	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 9604	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℝ)
8	6	nn0ge0d 9606	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → 0 ≤ 𝑁)
9		flqle 10696	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
10	9	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
11	3, 5, 7, 8, 10	lemul2ad 9264	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (𝑁 · 𝐴))
12		nn0z 9647	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
13		zq 10009	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
14	12, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℚ)
15		qmulcl 10020	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ)
16	14, 15	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ)
17		zmulcl 9681	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℤ)
18	12, 1, 17	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℤ)
19		flqge 10700	. . 3 ⊢ (((𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ ∧ (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℤ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (𝑁 · 𝐴) ↔ (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴))))
20	16, 18, 19	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (𝑁 · 𝐴) ↔ (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴))))
21	11, 20	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℝcr 8172   · cmul 8178   ≤ cle 8355  ℕ₀cn0 9546  ℤcz 9627  ℚcq 10002  ⌊cfl 10686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-q 10003  df-rp 10038  df-fl 10688

This theorem is referenced by:  modqmulnn  10762