ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flqmulnn0 GIF version

Theorem flqmulnn0 10040
Description: Move a nonnegative integer in and out of a floor. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqmulnn0 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem flqmulnn0
StepHypRef Expression
1 flqcl 10014 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
21adantl 275 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
32zred 9141 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
4 qre 9385 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
54adantl 275 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 simpl 108 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
76nn0red 8999 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℝ)
86nn0ge0d 9001 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → 0 ≤ 𝑁)
9 flqle 10019 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
109adantl 275 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
113, 5, 7, 8, 10lemul2ad 8666 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (𝑁 · 𝐴))
12 nn0z 9042 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
13 zq 9386 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
1412, 13syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℚ)
15 qmulcl 9397 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ)
1614, 15sylan 281 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ)
17 zmulcl 9075 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℤ)
1812, 1, 17syl2an 287 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℤ)
19 flqge 10023 . . 3 (((𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ ∧ (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℤ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (𝑁 · 𝐴) ↔ (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴))))
2016, 18, 19syl2anc 408 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (𝑁 · 𝐴) ↔ (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴))))
2111, 20mpbid 146 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1465   class class class wbr 3899  cfv 5093  (class class class)co 5742  cr 7587   · cmul 7593  cle 7769  0cn0 8945  cz 9022  cq 9379  cfl 10009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-q 9380  df-rp 9410  df-fl 10011
This theorem is referenced by:  modqmulnn  10083
  Copyright terms: Public domain W3C validator