Theorem flqmulnn0 10368

Description: Move a nonnegative integer in and out of a floor. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqmulnn0	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem flqmulnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqcl 10342	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	2	zred 9439	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
4		qre 9690	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 9294	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℝ)
8	6	nn0ge0d 9296	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → 0 ≤ 𝑁)
9		flqle 10347	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
10	9	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
11	3, 5, 7, 8, 10	lemul2ad 8959	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (𝑁 · 𝐴))
12		nn0z 9337	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
13		zq 9691	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
14	12, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℚ)
15		qmulcl 9702	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ)
16	14, 15	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ)
17		zmulcl 9370	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℤ)
18	12, 1, 17	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℤ)
19		flqge 10351	. . 3 ⊢ (((𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ ∧ (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℤ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (𝑁 · 𝐴) ↔ (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴))))
20	16, 18, 19	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (𝑁 · 𝐴) ↔ (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴))))
21	11, 20	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℝcr 7871   · cmul 7877   ≤ cle 8055  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  ℚcq 9684  ⌊cfl 10337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-q 9685  df-rp 9720  df-fl 10339

This theorem is referenced by:  modqmulnn  10413