Theorem eucalgf 11725

Description: Domain and codomain of the step function E for Euclid's Algorithm. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eucalgval.1	|- E = ( x e. NN0 , y e. NN0 |-> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) )

Assertion

Ref	Expression
eucalgf	|- E : ( NN0 X. NN0 ) --> ( NN0 X. NN0 )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   E( x, y)

Proof of Theorem eucalgf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 8741	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y =/= 0 )
2	1	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> y =/= 0 )
3	2	neneqd 2327	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> -. y = 0 )
4	3	iffalsed 3479	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) = <. y , ( x mod y ) >. )
5		nnnn0 8977	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> y e. NN0 )
6	5	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> y e. NN0 )
7		nn0z 9067	. . . . . . . 8 |- ( x e. NN0 -> x e. ZZ )
8		zmodcl 10110	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x mod y ) e. NN0 )
9	7, 8	sylan 281	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> ( x mod y ) e. NN0 )
10		opelxpi 4566	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( x mod y ) e. NN0 ) -> <. y , ( x mod y ) >. e. ( NN0 X. NN0 ) )
11	6, 9, 10	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> <. y , ( x mod y ) >. e. ( NN0 X. NN0 ) )
12	4, 11	eqeltrd 2214	. . . . 5 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 ) )
13	12	adantlr 468	. . . 4 |- ( ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) /\ y e. NN ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 ) )
14		iftrue 3474	. . . . . 6 |- ( y = 0 -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) = <. x , y >. )
15	14	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) /\ y = 0 ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) = <. x , y >. )
16		opelxpi 4566	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> <. x , y >. e. ( NN0 X. NN0 ) )
17	16	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) /\ y = 0 ) -> <. x , y >. e. ( NN0 X. NN0 ) )
18	15, 17	eqeltrd 2214	. . . 4 |- ( ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) /\ y = 0 ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 ) )
19		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> y e. NN0 )
20		elnn0 8972	. . . . 5 |- ( y e. NN0 <-> ( y e. NN \/ y = 0 ) )
21	19, 20	sylib 121	. . . 4 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( y e. NN \/ y = 0 ) )
22	13, 18, 21	mpjaodan 787	. . 3 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 ) )
23	22	rgen2a 2484	. 2 |- A. x e. NN0 A. y e. NN0 if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 )
24		eucalgval.1	. . 3 |- E = ( x e. NN0 , y e. NN0 |-> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) )
25	24	fmpo 6092	. 2 |- ( A. x e. NN0 A. y e. NN0 if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 ) <-> E : ( NN0 X. NN0 ) --> ( NN0 X. NN0 ) )
26	23, 25	mpbi 144	1 |- E : ( NN0 X. NN0 ) --> ( NN0 X. NN0 )

Syntax hints:   /\ wa 103   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2306   A.wral 2414   ifcif 3469   <.cop 3525   X. cxp 4532   -->wf 5114  (class class class)co 5767   e. cmpo 5769   0cc0 7613   NNcn 8713   NN0cn0 8970   ZZcz 9047   mod cmo 10088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-q 9405  df-rp 9435  df-fl 10036  df-mod 10089

This theorem is referenced by:  eucalgcvga  11728  eucalg  11729