Theorem eucalgf 12296

Description: Domain and codomain of the step function E for Euclid's Algorithm. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eucalgval.1	|- E = ( x e. NN0 , y e. NN0 |-> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) )

Assertion

Ref	Expression
eucalgf	|- E : ( NN0 X. NN0 ) --> ( NN0 X. NN0 )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   E( x, y)

Proof of Theorem eucalgf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 9046	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y =/= 0 )
2	1	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> y =/= 0 )
3	2	neneqd 2396	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> -. y = 0 )
4	3	iffalsed 3580	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) = <. y , ( x mod y ) >. )
5		nnnn0 9284	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> y e. NN0 )
6	5	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> y e. NN0 )
7		nn0z 9374	. . . . . . . 8 |- ( x e. NN0 -> x e. ZZ )
8		zmodcl 10470	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x mod y ) e. NN0 )
9	7, 8	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> ( x mod y ) e. NN0 )
10		opelxpi 4705	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( x mod y ) e. NN0 ) -> <. y , ( x mod y ) >. e. ( NN0 X. NN0 ) )
11	6, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> <. y , ( x mod y ) >. e. ( NN0 X. NN0 ) )
12	4, 11	eqeltrd 2281	. . . . 5 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 ) )
13	12	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) /\ y e. NN ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 ) )
14		iftrue 3575	. . . . . 6 |- ( y = 0 -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) = <. x , y >. )
15	14	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) /\ y = 0 ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) = <. x , y >. )
16		opelxpi 4705	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> <. x , y >. e. ( NN0 X. NN0 ) )
17	16	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) /\ y = 0 ) -> <. x , y >. e. ( NN0 X. NN0 ) )
18	15, 17	eqeltrd 2281	. . . 4 |- ( ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) /\ y = 0 ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 ) )
19		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> y e. NN0 )
20		elnn0 9279	. . . . 5 |- ( y e. NN0 <-> ( y e. NN \/ y = 0 ) )
21	19, 20	sylib 122	. . . 4 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( y e. NN \/ y = 0 ) )
22	13, 18, 21	mpjaodan 799	. . 3 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 ) )
23	22	rgen2a 2559	. 2 |- A. x e. NN0 A. y e. NN0 if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 )
24		eucalgval.1	. . 3 |- E = ( x e. NN0 , y e. NN0 |-> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) )
25	24	fmpo 6277	. 2 |- ( A. x e. NN0 A. y e. NN0 if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 ) <-> E : ( NN0 X. NN0 ) --> ( NN0 X. NN0 ) )
26	23, 25	mpbi 145	1 |- E : ( NN0 X. NN0 ) --> ( NN0 X. NN0 )

Syntax hints:   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1372   e. wcel 2175   =/= wne 2375   A.wral 2483   ifcif 3570   <.cop 3635   X. cxp 4671   -->wf 5264  (class class class)co 5934   e. cmpo 5936   0cc0 7907   NNcn 9018   NN0cn0 9277   ZZcz 9354   mod cmo 10448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025  ax-arch 8026

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-n0 9278  df-z 9355  df-q 9723  df-rp 9758  df-fl 10394  df-mod 10449

This theorem is referenced by:  eucalgcvga  12299  eucalg  12300