Theorem eucalgf 12013

Description: Domain and codomain of the step function E for Euclid's Algorithm. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eucalgval.1	|- E = ( x e. NN0 , y e. NN0 |-> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) )

Assertion

Ref	Expression
eucalgf	|- E : ( NN0 X. NN0 ) --> ( NN0 X. NN0 )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   E( x, y)

Proof of Theorem eucalgf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 8910	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y =/= 0 )
2	1	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> y =/= 0 )
3	2	neneqd 2362	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> -. y = 0 )
4	3	iffalsed 3537	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) = <. y , ( x mod y ) >. )
5		nnnn0 9146	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> y e. NN0 )
6	5	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> y e. NN0 )
7		nn0z 9236	. . . . . . . 8 |- ( x e. NN0 -> x e. ZZ )
8		zmodcl 10304	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x mod y ) e. NN0 )
9	7, 8	sylan 281	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> ( x mod y ) e. NN0 )
10		opelxpi 4644	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( x mod y ) e. NN0 ) -> <. y , ( x mod y ) >. e. ( NN0 X. NN0 ) )
11	6, 9, 10	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> <. y , ( x mod y ) >. e. ( NN0 X. NN0 ) )
12	4, 11	eqeltrd 2248	. . . . 5 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 ) )
13	12	adantlr 475	. . . 4 |- ( ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) /\ y e. NN ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 ) )
14		iftrue 3532	. . . . . 6 |- ( y = 0 -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) = <. x , y >. )
15	14	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) /\ y = 0 ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) = <. x , y >. )
16		opelxpi 4644	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> <. x , y >. e. ( NN0 X. NN0 ) )
17	16	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) /\ y = 0 ) -> <. x , y >. e. ( NN0 X. NN0 ) )
18	15, 17	eqeltrd 2248	. . . 4 |- ( ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) /\ y = 0 ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 ) )
19		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> y e. NN0 )
20		elnn0 9141	. . . . 5 |- ( y e. NN0 <-> ( y e. NN \/ y = 0 ) )
21	19, 20	sylib 121	. . . 4 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( y e. NN \/ y = 0 ) )
22	13, 18, 21	mpjaodan 794	. . 3 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 ) )
23	22	rgen2a 2525	. 2 |- A. x e. NN0 A. y e. NN0 if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 )
24		eucalgval.1	. . 3 |- E = ( x e. NN0 , y e. NN0 |-> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) )
25	24	fmpo 6184	. 2 |- ( A. x e. NN0 A. y e. NN0 if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 ) <-> E : ( NN0 X. NN0 ) --> ( NN0 X. NN0 ) )
26	23, 25	mpbi 144	1 |- E : ( NN0 X. NN0 ) --> ( NN0 X. NN0 )

Syntax hints:   /\ wa 103   \/ wo 704   = wceq 1349   e. wcel 2142   =/= wne 2341   A.wral 2449   ifcif 3527   <.cop 3587   X. cxp 4610   -->wf 5196  (class class class)co 5857   e. cmpo 5859   0cc0 7778   NNcn 8882   NN0cn0 9139   ZZcz 9216   mod cmo 10282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-mulrcl 7877  ax-addcom 7878  ax-mulcom 7879  ax-addass 7880  ax-mulass 7881  ax-distr 7882  ax-i2m1 7883  ax-0lt1 7884  ax-1rid 7885  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-precex 7888  ax-cnre 7889  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-lttrn 7892  ax-pre-apti 7893  ax-pre-ltadd 7894  ax-pre-mulgt0 7895  ax-pre-mulext 7896  ax-arch 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rmo 2457  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-if 3528  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4279  df-po 4282  df-iso 4283  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-fv 5208  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-sub 8096  df-neg 8097  df-reap 8498  df-ap 8505  df-div 8594  df-inn 8883  df-n0 9140  df-z 9217  df-q 9583  df-rp 9615  df-fl 10230  df-mod 10283

This theorem is referenced by:  eucalgcvga  12016  eucalg  12017