Theorem eucalgf 12248

Description: Domain and codomain of the step function E for Euclid's Algorithm. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eucalgval.1	|- E = ( x e. NN0 , y e. NN0 |-> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) )

Assertion

Ref	Expression
eucalgf	|- E : ( NN0 X. NN0 ) --> ( NN0 X. NN0 )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   E( x, y)

Proof of Theorem eucalgf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 9035	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y =/= 0 )
2	1	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> y =/= 0 )
3	2	neneqd 2388	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> -. y = 0 )
4	3	iffalsed 3572	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) = <. y , ( x mod y ) >. )
5		nnnn0 9273	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> y e. NN0 )
6	5	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> y e. NN0 )
7		nn0z 9363	. . . . . . . 8 |- ( x e. NN0 -> x e. ZZ )
8		zmodcl 10453	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x mod y ) e. NN0 )
9	7, 8	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> ( x mod y ) e. NN0 )
10		opelxpi 4696	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN0 /\ ( x mod y ) e. NN0 ) -> <. y , ( x mod y ) >. e. ( NN0 X. NN0 ) )
11	6, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> <. y , ( x mod y ) >. e. ( NN0 X. NN0 ) )
12	4, 11	eqeltrd 2273	. . . . 5 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 ) )
13	12	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) /\ y e. NN ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 ) )
14		iftrue 3567	. . . . . 6 |- ( y = 0 -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) = <. x , y >. )
15	14	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) /\ y = 0 ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) = <. x , y >. )
16		opelxpi 4696	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> <. x , y >. e. ( NN0 X. NN0 ) )
17	16	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) /\ y = 0 ) -> <. x , y >. e. ( NN0 X. NN0 ) )
18	15, 17	eqeltrd 2273	. . . 4 |- ( ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) /\ y = 0 ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 ) )
19		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> y e. NN0 )
20		elnn0 9268	. . . . 5 |- ( y e. NN0 <-> ( y e. NN \/ y = 0 ) )
21	19, 20	sylib 122	. . . 4 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( y e. NN \/ y = 0 ) )
22	13, 18, 21	mpjaodan 799	. . 3 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 ) )
23	22	rgen2a 2551	. 2 |- A. x e. NN0 A. y e. NN0 if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 )
24		eucalgval.1	. . 3 |- E = ( x e. NN0 , y e. NN0 |-> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) )
25	24	fmpo 6268	. 2 |- ( A. x e. NN0 A. y e. NN0 if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) e. ( NN0 X. NN0 ) <-> E : ( NN0 X. NN0 ) --> ( NN0 X. NN0 ) )
26	23, 25	mpbi 145	1 |- E : ( NN0 X. NN0 ) --> ( NN0 X. NN0 )

Syntax hints:   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   ifcif 3562   <.cop 3626   X. cxp 4662   -->wf 5255  (class class class)co 5925   e. cmpo 5927   0cc0 7896   NNcn 9007   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   mod cmo 10431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-q 9711  df-rp 9746  df-fl 10377  df-mod 10432

This theorem is referenced by:  eucalgcvga  12251  eucalg  12252