Theorem fzm1ndvds 12416

Description: No number between 1 and 𝑀 − 1 divides 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzm1ndvds	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ¬ 𝑀 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem fzm1ndvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 10262	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑁 ≤ (𝑀 − 1))
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 ≤ (𝑀 − 1))
3		elfzelz 10259	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		nnz 9497	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
6	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		zltlem1 9536	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ (𝑀 − 1)))
8	4, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑁 < 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ (𝑀 − 1)))
9	2, 8	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 < 𝑀)
10		elfznn 10288	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
12	11	nnzd 9600	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
13		zltnle 9524	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
14	12, 6, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
15	9, 14	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ¬ 𝑀 ≤ 𝑁)
16		dvdsle 12404	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
17	6, 11, 16	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
18	15, 17	mtod 669	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ¬ 𝑀 ∥ 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  1c1 8032   < clt 8213   ≤ cle 8214   − cmin 8349  ℕcn 9142  ℤcz 9478  ...cfz 10242   ∥ cdvds 12347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-fz 10243  df-dvds 12348

This theorem is referenced by:  pw2dvds  12737  prmdivdiv  12808  reumodprminv  12825  wilthlem1  15703  lgseisenlem1  15798  lgseisenlem2  15799  lgseisenlem3  15800  lgsquadlem3  15807