ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzm1ndvds GIF version

Theorem fzm1ndvds 11845
Description: No number between 1 and 𝑀 − 1 divides 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzm1ndvds ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ¬ 𝑀𝑁)

Proof of Theorem fzm1ndvds
StepHypRef Expression
1 elfzle2 10014 . . . . 5 (𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑁 ≤ (𝑀 − 1))
21adantl 277 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 ≤ (𝑀 − 1))
3 elfzelz 10011 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
43adantl 277 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 nnz 9261 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
65adantr 276 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 zltlem1 9299 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀𝑁 ≤ (𝑀 − 1)))
84, 6, 7syl2anc 411 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑁 < 𝑀𝑁 ≤ (𝑀 − 1)))
92, 8mpbird 167 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 < 𝑀)
10 elfznn 10040 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
1110adantl 277 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
1211nnzd 9363 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
13 zltnle 9288 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀𝑁))
1412, 6, 13syl2anc 411 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀𝑁))
159, 14mpbid 147 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ¬ 𝑀𝑁)
16 dvdsle 11833 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁𝑀𝑁))
176, 11, 16syl2anc 411 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑀𝑁𝑀𝑁))
1815, 17mtod 663 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ¬ 𝑀𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  1c1 7803   < clt 7982  cle 7983  cmin 8118  cn 8908  cz 9242  ...cfz 9995  cdvds 11778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-fz 9996  df-dvds 11779
This theorem is referenced by:  pw2dvds  12149  prmdivdiv  12220  reumodprminv  12236
  Copyright terms: Public domain W3C validator