Theorem prmdivdiv 12250

Description: The (modular) inverse of the inverse of a number is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmdiv.1	|- R = ( ( A ^ ( P - 2 ) ) mod P )

Assertion

Ref	Expression
prmdivdiv	|- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> A = ( ( R ^ ( P - 2 ) ) mod P ) )

Proof of Theorem prmdivdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz1ssfz0 10130	. . 3 |- ( 1 ... ( P - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( P - 1 ) )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
3	1, 2	sselid 3165	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> A e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) )
4		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> P e. Prime )
5		elfznn 10067	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) -> A e. NN )
6	5	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> A e. NN )
7	6	nnzd 9387	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> A e. ZZ )
8		prmnn 12123	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
9		fzm1ndvds 11875	. . . . . 6 |- ( ( P e. NN /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. P || A )
10	8, 9	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. P || A )
11		prmdiv.1	. . . . . 6 |- R = ( ( A ^ ( P - 2 ) ) mod P )
12	11	prmdiv 12248	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) /\ P || ( ( A x. R ) - 1 ) ) )
13	4, 7, 10, 12	syl3anc 1248	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) /\ P || ( ( A x. R ) - 1 ) ) )
14	13	simprd 114	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> P || ( ( A x. R ) - 1 ) )
15	6	nncnd 8946	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> A e. CC )
16	13	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
17		elfznn 10067	. . . . . . 7 |- ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) -> R e. NN )
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> R e. NN )
19	18	nncnd 8946	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> R e. CC )
20	15, 19	mulcomd 7992	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> ( A x. R ) = ( R x. A ) )
21	20	oveq1d 5903	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> ( ( A x. R ) - 1 ) = ( ( R x. A ) - 1 ) )
22	14, 21	breqtrd 4041	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> P || ( ( R x. A ) - 1 ) )
23		elfzelz 10038	. . . 4 |- ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) -> R e. ZZ )
24	16, 23	syl 14	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> R e. ZZ )
25		fzm1ndvds 11875	. . . 4 |- ( ( P e. NN /\ R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. P || R )
26	8, 16, 25	syl2an2r 595	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. P || R )
27		eqid 2187	. . . 4 |- ( ( R ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = ( ( R ^ ( P - 2 ) ) mod P )
28	27	prmdiveq 12249	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ R e. ZZ /\ -. P || R ) -> ( ( A e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) /\ P || ( ( R x. A ) - 1 ) ) <-> A = ( ( R ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) )
29	4, 24, 26, 28	syl3anc 1248	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> ( ( A e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) /\ P || ( ( R x. A ) - 1 ) ) <-> A = ( ( R ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) )
30	3, 22, 29	mpbi2and 944	1 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> A = ( ( R ^ ( P - 2 ) ) mod P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   0cc0 7824   1c1 7825   x. cmul 7829   - cmin 8141   NNcn 8932   2c2 8983   ZZcz 9266   ...cfz 10021   mod cmo 10335   ^cexp 10532   || cdvds 11807   Primecprime 12120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-2o 6431  df-oadd 6434  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-sup 6996  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-fl 10283  df-mod 10336  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-ihash 10769  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300  df-proddc 11572  df-dvds 11808  df-gcd 11957  df-prm 12121  df-phi 12224

This theorem is referenced by: (None)