Theorem prmdivdiv 12256

Description: The (modular) inverse of the inverse of a number is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmdiv.1	|- R = ( ( A ^ ( P - 2 ) ) mod P )

Assertion

Ref	Expression
prmdivdiv	|- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> A = ( ( R ^ ( P - 2 ) ) mod P ) )

Proof of Theorem prmdivdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz1ssfz0 10136	. . 3 |- ( 1 ... ( P - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( P - 1 ) )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
3	1, 2	sselid 3168	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> A e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) )
4		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> P e. Prime )
5		elfznn 10073	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) -> A e. NN )
6	5	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> A e. NN )
7	6	nnzd 9393	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> A e. ZZ )
8		prmnn 12129	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
9		fzm1ndvds 11881	. . . . . 6 |- ( ( P e. NN /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. P || A )
10	8, 9	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. P || A )
11		prmdiv.1	. . . . . 6 |- R = ( ( A ^ ( P - 2 ) ) mod P )
12	11	prmdiv 12254	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) /\ P || ( ( A x. R ) - 1 ) ) )
13	4, 7, 10, 12	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) /\ P || ( ( A x. R ) - 1 ) ) )
14	13	simprd 114	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> P || ( ( A x. R ) - 1 ) )
15	6	nncnd 8952	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> A e. CC )
16	13	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
17		elfznn 10073	. . . . . . 7 |- ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) -> R e. NN )
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> R e. NN )
19	18	nncnd 8952	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> R e. CC )
20	15, 19	mulcomd 7998	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> ( A x. R ) = ( R x. A ) )
21	20	oveq1d 5906	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> ( ( A x. R ) - 1 ) = ( ( R x. A ) - 1 ) )
22	14, 21	breqtrd 4044	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> P || ( ( R x. A ) - 1 ) )
23		elfzelz 10044	. . . 4 |- ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) -> R e. ZZ )
24	16, 23	syl 14	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> R e. ZZ )
25		fzm1ndvds 11881	. . . 4 |- ( ( P e. NN /\ R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. P || R )
26	8, 16, 25	syl2an2r 595	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. P || R )
27		eqid 2189	. . . 4 |- ( ( R ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = ( ( R ^ ( P - 2 ) ) mod P )
28	27	prmdiveq 12255	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ R e. ZZ /\ -. P || R ) -> ( ( A e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) /\ P || ( ( R x. A ) - 1 ) ) <-> A = ( ( R ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) )
29	4, 24, 26, 28	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> ( ( A e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) /\ P || ( ( R x. A ) - 1 ) ) <-> A = ( ( R ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) )
30	3, 22, 29	mpbi2and 945	1 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> A = ( ( R ^ ( P - 2 ) ) mod P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   0cc0 7830   1c1 7831   x. cmul 7835   - cmin 8147   NNcn 8938   2c2 8989   ZZcz 9272   ...cfz 10027   mod cmo 10341   ^cexp 10538   || cdvds 11813   Primecprime 12126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949  ax-caucvg 7950

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-2o 6436  df-oadd 6439  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-sup 7002  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-q 9639  df-rp 9673  df-fz 10028  df-fzo 10162  df-fl 10289  df-mod 10342  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-ihash 10775  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027  df-clim 11306  df-proddc 11578  df-dvds 11814  df-gcd 11963  df-prm 12127  df-phi 12230

This theorem is referenced by: (None)