ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmdivdiv Unicode version

Theorem prmdivdiv 12256
Description: The (modular) inverse of the inverse of a number is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdiv.1  |-  R  =  ( ( A ^
( P  -  2 ) )  mod  P
)
Assertion
Ref Expression
prmdivdiv  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  A  =  ( ( R ^ ( P  - 
2 ) )  mod 
P ) )

Proof of Theorem prmdivdiv
StepHypRef Expression
1 fz1ssfz0 10136 . . 3  |-  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( P  -  1 ) )
2 simpr 110 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  A  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )
31, 2sselid 3168 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  A  e.  ( 0 ... ( P  -  1 ) ) )
4 simpl 109 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  P  e.  Prime )
5 elfznn 10073 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  ->  A  e.  NN )
65adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  A  e.  NN )
76nnzd 9393 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
8 prmnn 12129 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
9 fzm1ndvds 11881 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  NN  /\  A  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  -.  P  ||  A
)
108, 9sylan 283 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  -.  P  ||  A )
11 prmdiv.1 . . . . . 6  |-  R  =  ( ( A ^
( P  -  2 ) )  mod  P
)
1211prmdiv 12254 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  ( R  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  P  ||  ( ( A  x.  R )  - 
1 ) ) )
134, 7, 10, 12syl3anc 1249 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  ( R  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  P  ||  ( ( A  x.  R )  - 
1 ) ) )
1413simprd 114 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  P  ||  ( ( A  x.  R )  -  1 ) )
156nncnd 8952 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
1613simpld 112 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  R  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )
17 elfznn 10073 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  ->  R  e.  NN )
1816, 17syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  R  e.  NN )
1918nncnd 8952 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  R  e.  CC )
2015, 19mulcomd 7998 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  ( A  x.  R )  =  ( R  x.  A ) )
2120oveq1d 5906 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  (
( A  x.  R
)  -  1 )  =  ( ( R  x.  A )  - 
1 ) )
2214, 21breqtrd 4044 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  P  ||  ( ( R  x.  A )  -  1 ) )
23 elfzelz 10044 . . . 4  |-  ( R  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  ->  R  e.  ZZ )
2416, 23syl 14 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  R  e.  ZZ )
25 fzm1ndvds 11881 . . . 4  |-  ( ( P  e.  NN  /\  R  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  -.  P  ||  R
)
268, 16, 25syl2an2r 595 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  -.  P  ||  R )
27 eqid 2189 . . . 4  |-  ( ( R ^ ( P  -  2 ) )  mod  P )  =  ( ( R ^
( P  -  2 ) )  mod  P
)
2827prmdiveq 12255 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  R  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  R )  ->  (
( A  e.  ( 0 ... ( P  -  1 ) )  /\  P  ||  (
( R  x.  A
)  -  1 ) )  <->  A  =  (
( R ^ ( P  -  2 ) )  mod  P ) ) )
294, 24, 26, 28syl3anc 1249 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  (
( A  e.  ( 0 ... ( P  -  1 ) )  /\  P  ||  (
( R  x.  A
)  -  1 ) )  <->  A  =  (
( R ^ ( P  -  2 ) )  mod  P ) ) )
303, 22, 29mpbi2and 945 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )  ->  A  =  ( ( R ^ ( P  - 
2 ) )  mod 
P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   0cc0 7830   1c1 7831    x. cmul 7835    - cmin 8147   NNcn 8938   2c2 8989   ZZcz 9272   ...cfz 10027    mod cmo 10341   ^cexp 10538    || cdvds 11813   Primecprime 12126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949  ax-caucvg 7950
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-2o 6436  df-oadd 6439  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-sup 7002  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-q 9639  df-rp 9673  df-fz 10028  df-fzo 10162  df-fl 10289  df-mod 10342  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-ihash 10775  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027  df-clim 11306  df-proddc 11578  df-dvds 11814  df-gcd 11963  df-prm 12127  df-phi 12230
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator