Theorem pw2dvds 12799

Description: A natural number has a highest power of two which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pw2dvds	|- ( N e. NN -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )

Distinct variable group:   m, N

Proof of Theorem pw2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 |- ( N e. NN -> N e. NN )
2		2nn 9348	. . . 4 |- 2 e. NN
3		nnnn0 9452	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
4		nnexpcl 10858	. . . 4 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. NN )
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . 3 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. NN )
6		1zzd 9549	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
7		2z 9550	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
8		zexpcl 10860	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. ZZ )
9	7, 3, 8	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. ZZ )
10	9, 6	zsubcld 9650	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. ZZ )
11		nnz 9541	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
12		nnge1 9209	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
13		uzid 9813	. . . . . . 7 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
14	7, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
15		bernneq3 10968	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N < ( 2 ^ N ) )
16	14, 3, 15	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N < ( 2 ^ N ) )
17		zltlem1 9580	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 2 ^ N ) e. ZZ ) -> ( N < ( 2 ^ N ) <-> N <_ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) )
18	11, 9, 17	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N < ( 2 ^ N ) <-> N <_ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) )
19	16, 18	mpbid 147	. . . 4 |- ( N e. NN -> N <_ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
20		elfz4 10296	. . . 4 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) ) -> N e. ( 1 ... ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) )
21	6, 10, 11, 12, 19, 20	syl32anc 1282	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ( 1 ... ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) )
22		fzm1ndvds 12478	. . 3 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. NN /\ N e. ( 1 ... ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) ) -> -. ( 2 ^ N ) || N )
23	5, 21, 22	syl2anc 411	. 2 |- ( N e. NN -> -. ( 2 ^ N ) || N )
24		pw2dvdslemn 12798	. 2 |- ( ( N e. NN /\ N e. NN /\ -. ( 2 ^ N ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )
25	1, 23, 24	mpd3an23 1376	1 |- ( N e. NN -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   E.wrex 2512   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1c1 8076   + caddc 8078   < clt 8257   <_ cle 8258   - cmin 8393   NNcn 9186   2c2 9237   NN0cn0 9445   ZZcz 9522   ZZ>=cuz 9798   ...cfz 10286   ^cexp 10844   || cdvds 12409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fz 10287  df-fl 10574  df-mod 10629  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-dvds 12410

This theorem is referenced by:  pw2dvdseu  12801  oddpwdclemdvds  12803  oddpwdclemndvds  12804