Theorem pw2dvds 12893

Description: A natural number has a highest power of two which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pw2dvds	|- ( N e. NN -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )

Distinct variable group:   m, N

Proof of Theorem pw2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 |- ( N e. NN -> N e. NN )
2		2nn 9420	. . . 4 |- 2 e. NN
3		nnnn0 9524	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
4		nnexpcl 10942	. . . 4 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. NN )
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . 3 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. NN )
6		1zzd 9625	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
7		2z 9626	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
8		zexpcl 10944	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. ZZ )
9	7, 3, 8	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. ZZ )
10	9, 6	zsubcld 9727	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. ZZ )
11		nnz 9617	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
12		nnge1 9281	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
13		uzid 9890	. . . . . . 7 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
14	7, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
15		bernneq3 11053	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N < ( 2 ^ N ) )
16	14, 3, 15	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N < ( 2 ^ N ) )
17		zltlem1 9656	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 2 ^ N ) e. ZZ ) -> ( N < ( 2 ^ N ) <-> N <_ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) )
18	11, 9, 17	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N < ( 2 ^ N ) <-> N <_ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) )
19	16, 18	mpbid 147	. . . 4 |- ( N e. NN -> N <_ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
20		elfz4 10375	. . . 4 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) ) -> N e. ( 1 ... ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) )
21	6, 10, 11, 12, 19, 20	syl32anc 1282	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ( 1 ... ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) )
22		fzm1ndvds 12572	. . 3 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. NN /\ N e. ( 1 ... ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) ) -> -. ( 2 ^ N ) || N )
23	5, 21, 22	syl2anc 411	. 2 |- ( N e. NN -> -. ( 2 ^ N ) || N )
24		pw2dvdslemn 12892	. 2 |- ( ( N e. NN /\ N e. NN /\ -. ( 2 ^ N ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )
25	1, 23, 24	mpd3an23 1376	1 |- ( N e. NN -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2205   E.wrex 2523   class class class wbr 4115   ` cfv 5358  (class class class)co 6059   1c1 8145   + caddc 8147   < clt 8325   <_ cle 8326   - cmin 8462   NNcn 9258   2c2 9309   NN0cn0 9517   ZZcz 9598   ZZ>=cuz 9875   ...cfz 10365   ^cexp 10928   || cdvds 12503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261  ax-pre-mulext 8262  ax-arch 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-frec 6636  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-ap 8875  df-div 8968  df-inn 9259  df-2 9317  df-n0 9518  df-z 9599  df-uz 9876  df-q 9974  df-rp 10009  df-fz 10366  df-fl 10658  df-mod 10713  df-seqfrec 10838  df-exp 10929  df-dvds 12504

This theorem is referenced by:  pw2dvdseu  12895  oddpwdclemdvds  12897  oddpwdclemndvds  12898