Theorem pw2dvds 12709

Description: A natural number has a highest power of two which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pw2dvds	|- ( N e. NN -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )

Distinct variable group:   m, N

Proof of Theorem pw2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 |- ( N e. NN -> N e. NN )
2		2nn 9288	. . . 4 |- 2 e. NN
3		nnnn0 9392	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
4		nnexpcl 10791	. . . 4 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. NN )
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . 3 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. NN )
6		1zzd 9489	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
7		2z 9490	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
8		zexpcl 10793	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. ZZ )
9	7, 3, 8	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. ZZ )
10	9, 6	zsubcld 9590	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. ZZ )
11		nnz 9481	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
12		nnge1 9149	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
13		uzid 9753	. . . . . . 7 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
14	7, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
15		bernneq3 10901	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N < ( 2 ^ N ) )
16	14, 3, 15	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N < ( 2 ^ N ) )
17		zltlem1 9520	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 2 ^ N ) e. ZZ ) -> ( N < ( 2 ^ N ) <-> N <_ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) )
18	11, 9, 17	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N < ( 2 ^ N ) <-> N <_ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) )
19	16, 18	mpbid 147	. . . 4 |- ( N e. NN -> N <_ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
20		elfz4 10231	. . . 4 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) ) -> N e. ( 1 ... ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) )
21	6, 10, 11, 12, 19, 20	syl32anc 1279	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ( 1 ... ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) )
22		fzm1ndvds 12388	. . 3 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. NN /\ N e. ( 1 ... ( ( 2 ^ N ) - 1 ) ) ) -> -. ( 2 ^ N ) || N )
23	5, 21, 22	syl2anc 411	. 2 |- ( N e. NN -> -. ( 2 ^ N ) || N )
24		pw2dvdslemn 12708	. 2 |- ( ( N e. NN /\ N e. NN /\ -. ( 2 ^ N ) || N ) -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )
25	1, 23, 24	mpd3an23 1373	1 |- ( N e. NN -> E. m e. NN0 ( ( 2 ^ m ) || N /\ -. ( 2 ^ ( m + 1 ) ) || N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   E.wrex 2509   class class class wbr 4083   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   1c1 8016   + caddc 8018   < clt 8197   <_ cle 8198   - cmin 8333   NNcn 9126   2c2 9177   NN0cn0 9385   ZZcz 9462   ZZ>=cuz 9738   ...cfz 10221   ^cexp 10777   || cdvds 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fz 10222  df-fl 10507  df-mod 10562  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-dvds 12320

This theorem is referenced by:  pw2dvdseu  12711  oddpwdclemdvds  12713  oddpwdclemndvds  12714