Theorem dvdsext 12622

Description: Poset extensionality for division. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsext	|- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( A = B <-> A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem dvdsext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4133	. . 3 |- ( A = B -> ( A || x <-> B || x ) )
2	1	ralrimivw 2624	. 2 |- ( A = B -> A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) )
3		simpll 531	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) -> A e. NN0 )
4		simplr 533	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) -> B e. NN0 )
5		nn0z 9664	. . . . . . 7 |- ( B e. NN0 -> B e. ZZ )
6		iddvds 12571	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> B || B )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( B e. NN0 -> B || B )
8	7	ad2antlr 493	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) -> B || B )
9		breq2 4134	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( A || x <-> A || B ) )
10		breq2 4134	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( B || x <-> B || B ) )
11	9, 10	bibi12d 235	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( ( A || x <-> B || x ) <-> ( A || B <-> B || B ) ) )
12	11	rspcva 2927	. . . . . 6 |- ( ( B e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) -> ( A || B <-> B || B ) )
13	12	adantll 480	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) -> ( A || B <-> B || B ) )
14	8, 13	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) -> A || B )
15		nn0z 9664	. . . . . . 7 |- ( A e. NN0 -> A e. ZZ )
16		iddvds 12571	. . . . . . 7 |- ( A e. ZZ -> A || A )
17	15, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. NN0 -> A || A )
18	17	ad2antrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) -> A || A )
19		breq2 4134	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( A || x <-> A || A ) )
20		breq2 4134	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( B || x <-> B || A ) )
21	19, 20	bibi12d 235	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( A || x <-> B || x ) <-> ( A || A <-> B || A ) ) )
22	21	rspcva 2927	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) -> ( A || A <-> B || A ) )
23	22	adantlr 481	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) -> ( A || A <-> B || A ) )
24	18, 23	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) -> B || A )
25		dvdseq 12615	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ ( A || B /\ B || A ) ) -> A = B )
26	3, 4, 14, 24, 25	syl22anc 1279	. . 3 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) -> A = B )
27	26	ex 115	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) -> A = B ) )
28	2, 27	impbid2 143	1 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( A = B <-> A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   class class class wbr 4130   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   || cdvds 12554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-dvds 12555

This theorem is used by: (None)