Theorem dvdsext 12436

Description: Poset extensionality for division. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsext	|- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( A = B <-> A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem dvdsext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4090	. . 3 |- ( A = B -> ( A || x <-> B || x ) )
2	1	ralrimivw 2605	. 2 |- ( A = B -> A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) )
3		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) -> A e. NN0 )
4		simplr 529	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) -> B e. NN0 )
5		nn0z 9501	. . . . . . 7 |- ( B e. NN0 -> B e. ZZ )
6		iddvds 12385	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> B || B )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( B e. NN0 -> B || B )
8	7	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) -> B || B )
9		breq2 4091	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( A || x <-> A || B ) )
10		breq2 4091	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( B || x <-> B || B ) )
11	9, 10	bibi12d 235	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( ( A || x <-> B || x ) <-> ( A || B <-> B || B ) ) )
12	11	rspcva 2907	. . . . . 6 |- ( ( B e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) -> ( A || B <-> B || B ) )
13	12	adantll 476	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) -> ( A || B <-> B || B ) )
14	8, 13	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) -> A || B )
15		nn0z 9501	. . . . . . 7 |- ( A e. NN0 -> A e. ZZ )
16		iddvds 12385	. . . . . . 7 |- ( A e. ZZ -> A || A )
17	15, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. NN0 -> A || A )
18	17	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) -> A || A )
19		breq2 4091	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( A || x <-> A || A ) )
20		breq2 4091	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( B || x <-> B || A ) )
21	19, 20	bibi12d 235	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( A || x <-> B || x ) <-> ( A || A <-> B || A ) ) )
22	21	rspcva 2907	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) -> ( A || A <-> B || A ) )
23	22	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) -> ( A || A <-> B || A ) )
24	18, 23	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) -> B || A )
25		dvdseq 12429	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ ( A || B /\ B || A ) ) -> A = B )
26	3, 4, 14, 24, 25	syl22anc 1274	. . 3 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) -> A = B )
27	26	ex 115	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) -> A = B ) )
28	2, 27	impbid2 143	1 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( A = B <-> A. x e. NN0 ( A || x <-> B || x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2201   A.wral 2509   class class class wbr 4087   NN0cn0 9404   ZZcz 9481   || cdvds 12368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4203  ax-sep 4206  ax-nul 4214  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-iinf 4685  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-mulrcl 8133  ax-addcom 8134  ax-mulcom 8135  ax-addass 8136  ax-mulass 8137  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-0lt1 8140  ax-1rid 8141  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-precex 8144  ax-cnre 8145  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-ltwlin 8147  ax-pre-lttrn 8148  ax-pre-apti 8149  ax-pre-ltadd 8150  ax-pre-mulgt0 8151  ax-pre-mulext 8152  ax-arch 8153  ax-caucvg 8154

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3971  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-tr 4187  df-id 4389  df-po 4392  df-iso 4393  df-iord 4462  df-on 4464  df-ilim 4465  df-suc 4467  df-iom 4688  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-1st 6305  df-2nd 6306  df-recs 6473  df-frec 6559  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-xr 8220  df-ltxr 8221  df-le 8222  df-sub 8354  df-neg 8355  df-reap 8757  df-ap 8764  df-div 8855  df-inn 9146  df-2 9204  df-3 9205  df-4 9206  df-n0 9405  df-z 9482  df-uz 9758  df-q 9856  df-rp 9891  df-seqfrec 10713  df-exp 10804  df-cj 11422  df-re 11423  df-im 11424  df-rsqrt 11578  df-abs 11579  df-dvds 12369

This theorem is referenced by: (None)