ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  islss4 GIF version

Theorem islss4 13881
Description: A linear subspace is a subgroup which respects scalar multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
islss4.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
islss4.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
islss4.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islss4.t · = ( ·𝑠𝑊)
islss4.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islss4 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝑆 ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   · ,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝑈,𝑎,𝑏

Proof of Theorem islss4
Dummy variables 𝑐 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islss4.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
21lsssubg 13876 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3 islss4.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 islss4.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
5 islss4.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐹)
63, 4, 5, 1lssvscl 13874 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝑈)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)
76ralrimivva 2576 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)
82, 7jca 306 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈))
9 islss4.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
109subgss 13247 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈𝑉)
1110ad2antrl 490 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → 𝑈𝑉)
12 eqid 2193 . . . . . 6 (0g𝑊) = (0g𝑊)
1312subg0cl 13255 . . . . 5 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (0g𝑊) ∈ 𝑈)
14 elex2 2776 . . . . 5 ((0g𝑊) ∈ 𝑈 → ∃𝑗 𝑗𝑈)
1513, 14syl 14 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → ∃𝑗 𝑗𝑈)
1615ad2antrl 490 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → ∃𝑗 𝑗𝑈)
17 eqid 2193 . . . . . . . . . 10 (+g𝑊) = (+g𝑊)
1817subgcl 13257 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈𝑐𝑈) → ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)
19183exp 1204 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → (𝑐𝑈 → ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)))
2019adantl 277 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → (𝑐𝑈 → ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)))
2120ralrimdv 2573 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → ∀𝑐𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
2221ralimdv 2562 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (∀𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → ∀𝑏𝑈𝑐𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
2322ralimdv 2562 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → ∀𝑎𝐵𝑏𝑈𝑐𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
2423impr 379 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → ∀𝑎𝐵𝑏𝑈𝑐𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)
253, 5, 9, 17, 4, 1islssmg 13857 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉 ∧ ∃𝑗 𝑗𝑈 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈𝑐𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)))
2625adantr 276 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉 ∧ ∃𝑗 𝑗𝑈 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈𝑐𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)))
2711, 16, 24, 26mpbir3and 1182 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → 𝑈𝑆)
288, 27impbida 596 1 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝑆 ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wex 1503  wcel 2164  wral 2472  wss 3154  cfv 5255  (class class class)co 5919  Basecbs 12621  +gcplusg 12698  Scalarcsca 12701   ·𝑠 cvsca 12702  0gc0g 12870  SubGrpcsubg 13240  LModclmod 13786  LSubSpclss 13851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-sbg 13080  df-subg 13243  df-mgp 13420  df-ur 13459  df-ring 13497  df-lmod 13788  df-lssm 13852
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator