Theorem islss4 13571

Description: A linear subspace is a subgroup which respects scalar multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
islss4.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
islss4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
islss4.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islss4.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
islss4.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islss4	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   · ,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝑈,𝑎,𝑏

Proof of Theorem islss4

Dummy variables 𝑐 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islss4.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 13566	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3		islss4.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		islss4.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		islss4.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
6	3, 4, 5, 1	lssvscl 13564	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)
7	6	ralrimivva 2569	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)
8	2, 7	jca 306	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈))
9		islss4.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10	9	subgss 13066	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
11	10	ad2antrl 490	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
12		eqid 2187	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
13	12	subg0cl 13074	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)
14		elex2 2765	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ 𝑈 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈)
15	13, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈)
16	15	ad2antrl 490	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈)
17		eqid 2187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
18	17	subgcl 13076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)
19	18	3exp 1203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → (𝑐 ∈ 𝑈 → ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)))
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → (𝑐 ∈ 𝑈 → ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)))
21	20	ralrimdv 2566	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → ∀𝑐 ∈ 𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
22	21	ralimdv 2555	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → ∀𝑏 ∈ 𝑈 ∀𝑐 ∈ 𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
23	22	ralimdv 2555	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ∀𝑐 ∈ 𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
24	23	impr 379	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ∀𝑐 ∈ 𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)
25	3, 5, 9, 17, 4, 1	islssmg 13547	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ∀𝑐 ∈ 𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)))
26	25	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ∀𝑐 ∈ 𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)))
27	11, 16, 24, 26	mpbir3and 1181	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
28	8, 27	impbida 596	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   = wceq 1363  ∃wex 1502   ∈ wcel 2158  ∀wral 2465   ⊆ wss 3141  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12476  +_gcplusg 12551  Scalarcsca 12554   ·_𝑠 cvsca 12555  0_gc0g 12723  SubGrpcsubg 13059  LModclmod 13476  LSubSpclss 13541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-sets 12483  df-iress 12484  df-plusg 12564  df-mulr 12565  df-sca 12567  df-vsca 12568  df-0g 12725  df-mgm 12794  df-sgrp 12827  df-mnd 12840  df-grp 12902  df-minusg 12903  df-sbg 12904  df-subg 13062  df-mgp 13173  df-ur 13212  df-ring 13250  df-lmod 13478  df-lssm 13542

This theorem is referenced by: (None)