ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  islss4 GIF version
Theorem islss4 13474
Description: A linear subspace is a subgroup which respects scalar multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
islss4.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
islss4.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
islss4.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
islss4.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
islss4.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islss4 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ)))
Distinct variable groups:   𝐹,π‘Ž,𝑏   π‘Š,π‘Ž,𝑏   𝐡,π‘Ž,𝑏   𝑉,π‘Ž,𝑏   Β· ,π‘Ž,𝑏   𝑆,π‘Ž,𝑏   π‘ˆ,π‘Ž,𝑏
Proof of Theorem islss4
Dummy variables 𝑐 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islss4.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
21lsssubg 13469 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
3 islss4.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 islss4.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
5 islss4.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
63, 4, 5, 1lssvscl 13467 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ)
76ralrimivva 2559 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ)
82, 7jca 306 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ))
9 islss4.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
109subgss 13039 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
1110ad2antrl 490 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
12 eqid 2177 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
1312subg0cl 13047 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ π‘ˆ)
14 elex2 2755 . . . . 5 ((0gβ€˜π‘Š) ∈ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘— 𝑗 ∈ π‘ˆ)
1513, 14syl 14 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘— 𝑗 ∈ π‘ˆ)
1615ad2antrl 490 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘— 𝑗 ∈ π‘ˆ)
17 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
1817subgcl 13049 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏)(+gβ€˜π‘Š)𝑐) ∈ π‘ˆ)
19183exp 1202 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ β†’ (𝑐 ∈ π‘ˆ β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏)(+gβ€˜π‘Š)𝑐) ∈ π‘ˆ)))
2019adantl 277 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ β†’ (𝑐 ∈ π‘ˆ β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏)(+gβ€˜π‘Š)𝑐) ∈ π‘ˆ)))
2120ralrimdv 2556 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘Ž Β· 𝑏)(+gβ€˜π‘Š)𝑐) ∈ π‘ˆ))
2221ralimdv 2545 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘Ž Β· 𝑏)(+gβ€˜π‘Š)𝑐) ∈ π‘ˆ))
2322ralimdv 2545 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘Ž Β· 𝑏)(+gβ€˜π‘Š)𝑐) ∈ π‘ˆ))
2423impr 379 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘Ž Β· 𝑏)(+gβ€˜π‘Š)𝑐) ∈ π‘ˆ)
253, 5, 9, 17, 4, 1islssm 13450 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ βˆƒπ‘— 𝑗 ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘Ž Β· 𝑏)(+gβ€˜π‘Š)𝑐) ∈ π‘ˆ)))
2625adantr 276 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ βˆƒπ‘— 𝑗 ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘Ž Β· 𝑏)(+gβ€˜π‘Š)𝑐) ∈ π‘ˆ)))
2711, 16, 24, 26mpbir3and 1180 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
288, 27impbida 596 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ π‘ˆ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353  βˆƒwex 1492   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455   βŠ† wss 3131  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  +gcplusg 12538  Scalarcsca 12541   ·𝑠 cvsca 12542  0gc0g 12710  SubGrpcsubg 13032  LModclmod 13382  LSubSpclss 13447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-iress 12472  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-sca 12554  df-vsca 12555  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-sbg 12887  df-subg 13035  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-ring 13186  df-lmod 13384  df-lssm 13448
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator