Theorem iswrdiz 11256

Description: A zero-based sequence is a word. In iswrdinn0 11254 we can specify a length as an nonnegative integer. However, it will occasionally be helpful to allow a negative length, as well as zero, to specify an empty sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
iswrdiz	|- ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) -> W e. Word S )

Proof of Theorem iswrdiz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . 3 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> W : ( 0..^ L ) --> S )
2		simplr 529	. . . 4 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> L e. ZZ )
3		0red 8291	. . . . 5 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> 0 e. RR )
4	2	zred 9718	. . . . 5 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> L e. RR )
5		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> 0 < L )
6	3, 4, 5	ltled 8408	. . . 4 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> 0 <_ L )
7		elnn0z 9607	. . . 4 |- ( L e. NN0 <-> ( L e. ZZ /\ 0 <_ L ) )
8	2, 6, 7	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> L e. NN0 )
9		iswrdinn0 11254	. . 3 |- ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. NN0 ) -> W e. Word S )
10	1, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> W e. Word S )
11		simpll 527	. . 3 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 = L ) -> W : ( 0..^ L ) --> S )
12		0nn0 9528	. . . . 5 |- 0 e. NN0
13		eleq1 2297	. . . . 5 |- ( 0 = L -> ( 0 e. NN0 <-> L e. NN0 ) )
14	12, 13	mpbii 148	. . . 4 |- ( 0 = L -> L e. NN0 )
15	14	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 = L ) -> L e. NN0 )
16	11, 15, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 = L ) -> W e. Word S )
17		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> W : ( 0..^ L ) --> S )
18		simplr 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> L e. ZZ )
19	18	zred 9718	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> L e. RR )
20		0red 8291	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> 0 e. RR )
21		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> L < 0 )
22	19, 20, 21	ltled 8408	. . . . . . 7 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> L <_ 0 )
23		0z 9605	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
24		fzon 10523	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ 0 <-> ( 0..^ L ) = (/) ) )
25	23, 18, 24	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> ( L <_ 0 <-> ( 0..^ L ) = (/) ) )
26	22, 25	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> ( 0..^ L ) = (/) )
27		fzo0 10526	. . . . . 6 |- ( 0..^ 0 ) = (/)
28	26, 27	eqtr4di 2285	. . . . 5 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> ( 0..^ L ) = ( 0..^ 0 ) )
29	28	feq2d 5501	. . . 4 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> ( W : ( 0..^ L ) --> S <-> W : ( 0..^ 0 ) --> S ) )
30	17, 29	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> W : ( 0..^ 0 ) --> S )
31		iswrdinn0 11254	. . 3 |- ( ( W : ( 0..^ 0 ) --> S /\ 0 e. NN0 ) -> W e. Word S )
32	30, 12, 31	sylancl 413	. 2 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> W e. Word S )
33		ztri3or 9637	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 < L \/ 0 = L \/ L < 0 ) )
34	23, 33	mpan 424	. . 3 |- ( L e. ZZ -> ( 0 < L \/ 0 = L \/ L < 0 ) )
35	34	adantl 277	. 2 |- ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) -> ( 0 < L \/ 0 = L \/ L < 0 ) )
36	10, 16, 32, 35	mpjao3dan 1344	1 |- ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) -> W e. Word S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 1004   = wceq 1398   e. wcel 2205   (/)c0 3512   class class class wbr 4114   -->wf 5353  (class class class)co 6058   0cc0 8143   < clt 8324   <_ cle 8325   NN0cn0 9513   ZZcz 9594  ..^cfzo 10498  Word cword 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-word 11250

This theorem is referenced by:  wrdred1  11292  swrdclg  11367