Theorem iswrdiz 10927

Description: A zero-based sequence is a word. In iswrdinn0 10925 we can specify a length as an nonnegative integer. However, it will occasionally be helpful to allow a negative length, as well as zero, to specify an empty sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
iswrdiz	|- ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) -> W e. Word S )

Proof of Theorem iswrdiz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . 3 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> W : ( 0..^ L ) --> S )
2		simplr 528	. . . 4 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> L e. ZZ )
3		0red 8025	. . . . 5 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> 0 e. RR )
4	2	zred 9445	. . . . 5 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> L e. RR )
5		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> 0 < L )
6	3, 4, 5	ltled 8143	. . . 4 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> 0 <_ L )
7		elnn0z 9336	. . . 4 |- ( L e. NN0 <-> ( L e. ZZ /\ 0 <_ L ) )
8	2, 6, 7	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> L e. NN0 )
9		iswrdinn0 10925	. . 3 |- ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. NN0 ) -> W e. Word S )
10	1, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> W e. Word S )
11		simpll 527	. . 3 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 = L ) -> W : ( 0..^ L ) --> S )
12		0nn0 9261	. . . . 5 |- 0 e. NN0
13		eleq1 2259	. . . . 5 |- ( 0 = L -> ( 0 e. NN0 <-> L e. NN0 ) )
14	12, 13	mpbii 148	. . . 4 |- ( 0 = L -> L e. NN0 )
15	14	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 = L ) -> L e. NN0 )
16	11, 15, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 = L ) -> W e. Word S )
17		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> W : ( 0..^ L ) --> S )
18		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> L e. ZZ )
19	18	zred 9445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> L e. RR )
20		0red 8025	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> 0 e. RR )
21		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> L < 0 )
22	19, 20, 21	ltled 8143	. . . . . . 7 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> L <_ 0 )
23		0z 9334	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
24		fzon 10239	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ 0 <-> ( 0..^ L ) = (/) ) )
25	23, 18, 24	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> ( L <_ 0 <-> ( 0..^ L ) = (/) ) )
26	22, 25	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> ( 0..^ L ) = (/) )
27		fzo0 10241	. . . . . 6 |- ( 0..^ 0 ) = (/)
28	26, 27	eqtr4di 2247	. . . . 5 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> ( 0..^ L ) = ( 0..^ 0 ) )
29	28	feq2d 5395	. . . 4 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> ( W : ( 0..^ L ) --> S <-> W : ( 0..^ 0 ) --> S ) )
30	17, 29	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> W : ( 0..^ 0 ) --> S )
31		iswrdinn0 10925	. . 3 |- ( ( W : ( 0..^ 0 ) --> S /\ 0 e. NN0 ) -> W e. Word S )
32	30, 12, 31	sylancl 413	. 2 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> W e. Word S )
33		ztri3or 9366	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 < L \/ 0 = L \/ L < 0 ) )
34	23, 33	mpan 424	. . 3 |- ( L e. ZZ -> ( 0 < L \/ 0 = L \/ L < 0 ) )
35	34	adantl 277	. 2 |- ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) -> ( 0 < L \/ 0 = L \/ L < 0 ) )
36	10, 16, 32, 35	mpjao3dan 1318	1 |- ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) -> W e. Word S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2167   (/)c0 3450   class class class wbr 4033   -->wf 5254  (class class class)co 5922   0cc0 7877   < clt 8059   <_ cle 8060   NN0cn0 9246   ZZcz 9323  ..^cfzo 10214  Word cword 10920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-addcom 7977  ax-addass 7979  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-inn 8988  df-n0 9247  df-z 9324  df-uz 9599  df-fz 10081  df-fzo 10215  df-word 10921

This theorem is referenced by:  wrdred1  10962