ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iswrdiz Unicode version

Theorem iswrdiz 10927
Description: A zero-based sequence is a word. In iswrdinn0 10925 we can specify a length as an nonnegative integer. However, it will occasionally be helpful to allow a negative length, as well as zero, to specify an empty sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2025.)
Assertion
Ref Expression
iswrdiz  |-  ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  ->  W  e. Word  S )

Proof of Theorem iswrdiz
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . 3  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  0  <  L
)  ->  W :
( 0..^ L ) --> S )
2 simplr 528 . . . 4  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  0  <  L
)  ->  L  e.  ZZ )
3 0red 8025 . . . . 5  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  0  <  L
)  ->  0  e.  RR )
42zred 9445 . . . . 5  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  0  <  L
)  ->  L  e.  RR )
5 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  0  <  L
)  ->  0  <  L )
63, 4, 5ltled 8143 . . . 4  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  0  <  L
)  ->  0  <_  L )
7 elnn0z 9336 . . . 4  |-  ( L  e.  NN0  <->  ( L  e.  ZZ  /\  0  <_  L ) )
82, 6, 7sylanbrc 417 . . 3  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  0  <  L
)  ->  L  e.  NN0 )
9 iswrdinn0 10925 . . 3  |-  ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  NN0 )  ->  W  e. Word  S )
101, 8, 9syl2anc 411 . 2  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  0  <  L
)  ->  W  e. Word  S )
11 simpll 527 . . 3  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  0  =  L )  ->  W :
( 0..^ L ) --> S )
12 0nn0 9261 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
13 eleq1 2259 . . . . 5  |-  ( 0  =  L  ->  (
0  e.  NN0  <->  L  e.  NN0 ) )
1412, 13mpbii 148 . . . 4  |-  ( 0  =  L  ->  L  e.  NN0 )
1514adantl 277 . . 3  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  0  =  L )  ->  L  e.  NN0 )
1611, 15, 9syl2anc 411 . 2  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  0  =  L )  ->  W  e. Word  S )
17 simpll 527 . . . 4  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <  0
)  ->  W :
( 0..^ L ) --> S )
18 simplr 528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <  0
)  ->  L  e.  ZZ )
1918zred 9445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <  0
)  ->  L  e.  RR )
20 0red 8025 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <  0
)  ->  0  e.  RR )
21 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <  0
)  ->  L  <  0 )
2219, 20, 21ltled 8143 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <  0
)  ->  L  <_  0 )
23 0z 9334 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
24 fzon 10239 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  0  <->  ( 0..^ L )  =  (/) ) )
2523, 18, 24sylancr 414 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <  0
)  ->  ( L  <_  0  <->  ( 0..^ L )  =  (/) ) )
2622, 25mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <  0
)  ->  ( 0..^ L )  =  (/) )
27 fzo0 10241 . . . . . 6  |-  ( 0..^ 0 )  =  (/)
2826, 27eqtr4di 2247 . . . . 5  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <  0
)  ->  ( 0..^ L )  =  ( 0..^ 0 ) )
2928feq2d 5395 . . . 4  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <  0
)  ->  ( W : ( 0..^ L ) --> S  <->  W :
( 0..^ 0 ) --> S ) )
3017, 29mpbid 147 . . 3  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <  0
)  ->  W :
( 0..^ 0 ) --> S )
31 iswrdinn0 10925 . . 3  |-  ( ( W : ( 0..^ 0 ) --> S  /\  0  e.  NN0 )  ->  W  e. Word  S )
3230, 12, 31sylancl 413 . 2  |-  ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <  0
)  ->  W  e. Word  S )
33 ztri3or 9366 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  L  \/  0  =  L  \/  L  <  0
) )
3423, 33mpan 424 . . 3  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
0  <  L  \/  0  =  L  \/  L  <  0 ) )
3534adantl 277 . 2  |-  ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  L  \/  0  =  L  \/  L  <  0
) )
3610, 16, 32, 35mpjao3dan 1318 1  |-  ( ( W : ( 0..^ L ) --> S  /\  L  e.  ZZ )  ->  W  e. Word  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ w3o 979    = wceq 1364    e. wcel 2167   (/)c0 3450   class class class wbr 4033   -->wf 5254  (class class class)co 5922   0cc0 7877    < clt 8059    <_ cle 8060   NN0cn0 9246   ZZcz 9323  ..^cfzo 10214  Word cword 10920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-addcom 7977  ax-addass 7979  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-inn 8988  df-n0 9247  df-z 9324  df-uz 9599  df-fz 10081  df-fzo 10215  df-word 10921
This theorem is referenced by:  wrdred1  10962
  Copyright terms: Public domain W3C validator