Theorem iswrdiz 11167

Description: A zero-based sequence is a word. In iswrdinn0 11165 we can specify a length as an nonnegative integer. However, it will occasionally be helpful to allow a negative length, as well as zero, to specify an empty sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
iswrdiz	|- ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) -> W e. Word S )

Proof of Theorem iswrdiz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . 3 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> W : ( 0..^ L ) --> S )
2		simplr 529	. . . 4 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> L e. ZZ )
3		0red 8223	. . . . 5 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> 0 e. RR )
4	2	zred 9645	. . . . 5 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> L e. RR )
5		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> 0 < L )
6	3, 4, 5	ltled 8341	. . . 4 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> 0 <_ L )
7		elnn0z 9535	. . . 4 |- ( L e. NN0 <-> ( L e. ZZ /\ 0 <_ L ) )
8	2, 6, 7	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> L e. NN0 )
9		iswrdinn0 11165	. . 3 |- ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. NN0 ) -> W e. Word S )
10	1, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 < L ) -> W e. Word S )
11		simpll 527	. . 3 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 = L ) -> W : ( 0..^ L ) --> S )
12		0nn0 9460	. . . . 5 |- 0 e. NN0
13		eleq1 2294	. . . . 5 |- ( 0 = L -> ( 0 e. NN0 <-> L e. NN0 ) )
14	12, 13	mpbii 148	. . . 4 |- ( 0 = L -> L e. NN0 )
15	14	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 = L ) -> L e. NN0 )
16	11, 15, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ 0 = L ) -> W e. Word S )
17		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> W : ( 0..^ L ) --> S )
18		simplr 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> L e. ZZ )
19	18	zred 9645	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> L e. RR )
20		0red 8223	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> 0 e. RR )
21		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> L < 0 )
22	19, 20, 21	ltled 8341	. . . . . . 7 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> L <_ 0 )
23		0z 9533	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
24		fzon 10445	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ 0 <-> ( 0..^ L ) = (/) ) )
25	23, 18, 24	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> ( L <_ 0 <-> ( 0..^ L ) = (/) ) )
26	22, 25	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> ( 0..^ L ) = (/) )
27		fzo0 10448	. . . . . 6 |- ( 0..^ 0 ) = (/)
28	26, 27	eqtr4di 2282	. . . . 5 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> ( 0..^ L ) = ( 0..^ 0 ) )
29	28	feq2d 5477	. . . 4 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> ( W : ( 0..^ L ) --> S <-> W : ( 0..^ 0 ) --> S ) )
30	17, 29	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> W : ( 0..^ 0 ) --> S )
31		iswrdinn0 11165	. . 3 |- ( ( W : ( 0..^ 0 ) --> S /\ 0 e. NN0 ) -> W e. Word S )
32	30, 12, 31	sylancl 413	. 2 |- ( ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) /\ L < 0 ) -> W e. Word S )
33		ztri3or 9565	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 < L \/ 0 = L \/ L < 0 ) )
34	23, 33	mpan 424	. . 3 |- ( L e. ZZ -> ( 0 < L \/ 0 = L \/ L < 0 ) )
35	34	adantl 277	. 2 |- ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) -> ( 0 < L \/ 0 = L \/ L < 0 ) )
36	10, 16, 32, 35	mpjao3dan 1344	1 |- ( ( W : ( 0..^ L ) --> S /\ L e. ZZ ) -> W e. Word S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 1004   = wceq 1398   e. wcel 2202   (/)c0 3496   class class class wbr 4093   -->wf 5329  (class class class)co 6028   0cc0 8075   < clt 8257   <_ cle 8258   NN0cn0 9445   ZZcz 9522  ..^cfzo 10420  Word cword 11160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-word 11161

This theorem is referenced by:  wrdred1  11203  swrdclg  11278