Theorem iswrdiz 11096

Description: A zero-based sequence is a word. In iswrdinn0 11094 we can specify a length as an nonnegative integer. However, it will occasionally be helpful to allow a negative length, as well as zero, to specify an empty sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
iswrdiz	⊢ ((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

Proof of Theorem iswrdiz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . 3 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆)
2		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
3		0red 8163	. . . . 5 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 0 ∈ ℝ)
4	2	zred 9585	. . . . 5 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
5		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 0 < 𝐿)
6	3, 4, 5	ltled 8281	. . . 4 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 0 ≤ 𝐿)
7		elnn0z 9475	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿))
8	2, 6, 7	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
9		iswrdinn0 11094	. . 3 ⊢ ((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
10	1, 8, 9	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
11		simpll 527	. . 3 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 = 𝐿) → 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆)
12		0nn0 9400	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eleq1 2292	. . . . 5 ⊢ (0 = 𝐿 → (0 ∈ ℕ0 ↔ 𝐿 ∈ ℕ0))
14	12, 13	mpbii 148	. . . 4 ⊢ (0 = 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ0)
15	14	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 = 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
16	11, 15, 9	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 = 𝐿) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
17		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆)
18		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℤ)
19	18	zred 9585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℝ)
20		0red 8163	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 0 ∈ ℝ)
21		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 < 0)
22	19, 20, 21	ltled 8281	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 ≤ 0)
23		0z 9473	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
24		fzon 10380	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 0 ↔ (0..^𝐿) = ∅))
25	23, 18, 24	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → (𝐿 ≤ 0 ↔ (0..^𝐿) = ∅))
26	22, 25	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → (0..^𝐿) = ∅)
27		fzo0 10383	. . . . . 6 ⊢ (0..^0) = ∅
28	26, 27	eqtr4di 2280	. . . . 5 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → (0..^𝐿) = (0..^0))
29	28	feq2d 5464	. . . 4 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^0)⟶𝑆))
30	17, 29	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝑊:(0..^0)⟶𝑆)
31		iswrdinn0 11094	. . 3 ⊢ ((𝑊:(0..^0)⟶𝑆 ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
32	30, 12, 31	sylancl 413	. 2 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
33		ztri3or 9505	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 < 𝐿 ∨ 0 = 𝐿 ∨ 𝐿 < 0))
34	23, 33	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0 < 𝐿 ∨ 0 = 𝐿 ∨ 𝐿 < 0))
35	34	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 < 𝐿 ∨ 0 = 𝐿 ∨ 𝐿 < 0))
36	10, 16, 32, 35	mpjao3dan 1341	1 ⊢ ((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 1001   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∅c0 3491   class class class wbr 4083  ⟶wf 5317  (class class class)co 6010  0cc0 8015   < clt 8197   ≤ cle 8198  ℕ₀cn0 9385  ℤcz 9462  ..^cfzo 10355  Word cword 11089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-1o 6573  df-er 6693  df-en 6901  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-word 11090

This theorem is referenced by:  wrdred1  11132  swrdclg  11203