Theorem iswrdiz 10911

Description: A zero-based sequence is a word. In iswrdinn0 10909 we can specify a length as an nonnegative integer. However, it will occasionally be helpful to allow a negative length, as well as zero, to specify an empty sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
iswrdiz	⊢ ((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

Proof of Theorem iswrdiz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . 3 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆)
2		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
3		0red 8010	. . . . 5 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 0 ∈ ℝ)
4	2	zred 9429	. . . . 5 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
5		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 0 < 𝐿)
6	3, 4, 5	ltled 8128	. . . 4 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 0 ≤ 𝐿)
7		elnn0z 9320	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿))
8	2, 6, 7	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
9		iswrdinn0 10909	. . 3 ⊢ ((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
10	1, 8, 9	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
11		simpll 527	. . 3 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 = 𝐿) → 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆)
12		0nn0 9245	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eleq1 2256	. . . . 5 ⊢ (0 = 𝐿 → (0 ∈ ℕ0 ↔ 𝐿 ∈ ℕ0))
14	12, 13	mpbii 148	. . . 4 ⊢ (0 = 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ0)
15	14	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 = 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
16	11, 15, 9	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 = 𝐿) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
17		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆)
18		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℤ)
19	18	zred 9429	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℝ)
20		0red 8010	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 0 ∈ ℝ)
21		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 < 0)
22	19, 20, 21	ltled 8128	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 ≤ 0)
23		0z 9318	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
24		fzon 10223	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 0 ↔ (0..^𝐿) = ∅))
25	23, 18, 24	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → (𝐿 ≤ 0 ↔ (0..^𝐿) = ∅))
26	22, 25	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → (0..^𝐿) = ∅)
27		fzo0 10225	. . . . . 6 ⊢ (0..^0) = ∅
28	26, 27	eqtr4di 2244	. . . . 5 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → (0..^𝐿) = (0..^0))
29	28	feq2d 5383	. . . 4 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^0)⟶𝑆))
30	17, 29	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝑊:(0..^0)⟶𝑆)
31		iswrdinn0 10909	. . 3 ⊢ ((𝑊:(0..^0)⟶𝑆 ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
32	30, 12, 31	sylancl 413	. 2 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
33		ztri3or 9350	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 < 𝐿 ∨ 0 = 𝐿 ∨ 𝐿 < 0))
34	23, 33	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0 < 𝐿 ∨ 0 = 𝐿 ∨ 𝐿 < 0))
35	34	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 < 𝐿 ∨ 0 = 𝐿 ∨ 𝐿 < 0))
36	10, 16, 32, 35	mpjao3dan 1318	1 ⊢ ((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∅c0 3446   class class class wbr 4029  ⟶wf 5242  (class class class)co 5910  0cc0 7862   < clt 8044   ≤ cle 8045  ℕ₀cn0 9230  ℤcz 9307  ..^cfzo 10198  Word cword 10904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-frec 6435  df-1o 6460  df-er 6578  df-en 6786  df-fin 6788  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-inn 8973  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-fz 10065  df-fzo 10199  df-word 10905

This theorem is referenced by:  wrdred1  10946