Theorem iswrdiz 11124

Description: A zero-based sequence is a word. In iswrdinn0 11122 we can specify a length as an nonnegative integer. However, it will occasionally be helpful to allow a negative length, as well as zero, to specify an empty sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
iswrdiz	⊢ ((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

Proof of Theorem iswrdiz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . 3 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆)
2		simplr 529	. . . 4 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
3		0red 8180	. . . . 5 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 0 ∈ ℝ)
4	2	zred 9602	. . . . 5 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
5		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 0 < 𝐿)
6	3, 4, 5	ltled 8298	. . . 4 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 0 ≤ 𝐿)
7		elnn0z 9492	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿))
8	2, 6, 7	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
9		iswrdinn0 11122	. . 3 ⊢ ((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
10	1, 8, 9	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
11		simpll 527	. . 3 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 = 𝐿) → 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆)
12		0nn0 9417	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eleq1 2294	. . . . 5 ⊢ (0 = 𝐿 → (0 ∈ ℕ0 ↔ 𝐿 ∈ ℕ0))
14	12, 13	mpbii 148	. . . 4 ⊢ (0 = 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ0)
15	14	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 = 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
16	11, 15, 9	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 = 𝐿) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
17		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆)
18		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℤ)
19	18	zred 9602	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℝ)
20		0red 8180	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 0 ∈ ℝ)
21		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 < 0)
22	19, 20, 21	ltled 8298	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 ≤ 0)
23		0z 9490	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
24		fzon 10402	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 0 ↔ (0..^𝐿) = ∅))
25	23, 18, 24	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → (𝐿 ≤ 0 ↔ (0..^𝐿) = ∅))
26	22, 25	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → (0..^𝐿) = ∅)
27		fzo0 10405	. . . . . 6 ⊢ (0..^0) = ∅
28	26, 27	eqtr4di 2282	. . . . 5 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → (0..^𝐿) = (0..^0))
29	28	feq2d 5470	. . . 4 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^0)⟶𝑆))
30	17, 29	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝑊:(0..^0)⟶𝑆)
31		iswrdinn0 11122	. . 3 ⊢ ((𝑊:(0..^0)⟶𝑆 ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
32	30, 12, 31	sylancl 413	. 2 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
33		ztri3or 9522	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 < 𝐿 ∨ 0 = 𝐿 ∨ 𝐿 < 0))
34	23, 33	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0 < 𝐿 ∨ 0 = 𝐿 ∨ 𝐿 < 0))
35	34	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 < 𝐿 ∨ 0 = 𝐿 ∨ 𝐿 < 0))
36	10, 16, 32, 35	mpjao3dan 1343	1 ⊢ ((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 1003   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∅c0 3494   class class class wbr 4088  ⟶wf 5322  (class class class)co 6018  0cc0 8032   < clt 8214   ≤ cle 8215  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479  ..^cfzo 10377  Word cword 11117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-word 11118

This theorem is referenced by:  wrdred1  11160  swrdclg  11235