Theorem iswrdiz 10944

Description: A zero-based sequence is a word. In iswrdinn0 10942 we can specify a length as an nonnegative integer. However, it will occasionally be helpful to allow a negative length, as well as zero, to specify an empty sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
iswrdiz	⊢ ((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

Proof of Theorem iswrdiz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . 3 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆)
2		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
3		0red 8029	. . . . 5 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 0 ∈ ℝ)
4	2	zred 9450	. . . . 5 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
5		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 0 < 𝐿)
6	3, 4, 5	ltled 8147	. . . 4 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 0 ≤ 𝐿)
7		elnn0z 9341	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿))
8	2, 6, 7	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
9		iswrdinn0 10942	. . 3 ⊢ ((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
10	1, 8, 9	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 < 𝐿) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
11		simpll 527	. . 3 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 = 𝐿) → 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆)
12		0nn0 9266	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		eleq1 2259	. . . . 5 ⊢ (0 = 𝐿 → (0 ∈ ℕ0 ↔ 𝐿 ∈ ℕ0))
14	12, 13	mpbii 148	. . . 4 ⊢ (0 = 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ0)
15	14	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 = 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
16	11, 15, 9	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 0 = 𝐿) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
17		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆)
18		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℤ)
19	18	zred 9450	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℝ)
20		0red 8029	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 0 ∈ ℝ)
21		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 < 0)
22	19, 20, 21	ltled 8147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝐿 ≤ 0)
23		0z 9339	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
24		fzon 10244	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 0 ↔ (0..^𝐿) = ∅))
25	23, 18, 24	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → (𝐿 ≤ 0 ↔ (0..^𝐿) = ∅))
26	22, 25	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → (0..^𝐿) = ∅)
27		fzo0 10246	. . . . . 6 ⊢ (0..^0) = ∅
28	26, 27	eqtr4di 2247	. . . . 5 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → (0..^𝐿) = (0..^0))
29	28	feq2d 5396	. . . 4 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^0)⟶𝑆))
30	17, 29	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝑊:(0..^0)⟶𝑆)
31		iswrdinn0 10942	. . 3 ⊢ ((𝑊:(0..^0)⟶𝑆 ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
32	30, 12, 31	sylancl 413	. 2 ⊢ (((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 < 0) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
33		ztri3or 9371	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 < 𝐿 ∨ 0 = 𝐿 ∨ 𝐿 < 0))
34	23, 33	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0 < 𝐿 ∨ 0 = 𝐿 ∨ 𝐿 < 0))
35	34	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 < 𝐿 ∨ 0 = 𝐿 ∨ 𝐿 < 0))
36	10, 16, 32, 35	mpjao3dan 1318	1 ⊢ ((𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∅c0 3451   class class class wbr 4034  ⟶wf 5255  (class class class)co 5923  0cc0 7881   < clt 8063   ≤ cle 8064  ℕ₀cn0 9251  ℤcz 9328  ..^cfzo 10219  Word cword 10937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-1o 6475  df-er 6593  df-en 6801  df-fin 6803  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-inn 8993  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-word 10938

This theorem is referenced by:  wrdred1  10979