Theorem lsw0 11063

Description: The last symbol of an empty word does not exist. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lsw0	|- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = 0 ) -> (lastS ` W ) = (/) )

Proof of Theorem lsw0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lswwrd 11062	. . 3 |- ( W e. Word V -> (lastS ` W ) = ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = 0 ) -> (lastS ` W ) = ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) )
3		fvoveq1 5980	. . 3 |- ( (♯ ` W ) = 0 -> ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) = ( W ` ( 0 - 1 ) ) )
4		wrddm 11024	. . . 4 |- ( W e. Word V -> dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
5		1nn 9067	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
6		nnnle0 9441	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. NN -> -. 1 <_ 0 )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- -. 1 <_ 0
8		0re 8092	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
9		1re 8091	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
10	8, 9	subge0i 8594	. . . . . . 7 |- ( 0 <_ ( 0 - 1 ) <-> 1 <_ 0 )
11	7, 10	mtbir 673	. . . . . 6 |- -. 0 <_ ( 0 - 1 )
12		elfzole1 10298	. . . . . 6 |- ( ( 0 - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> 0 <_ ( 0 - 1 ) )
13	11, 12	mto 664	. . . . 5 |- -. ( 0 - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) )
14		eleq2 2270	. . . . 5 |- ( dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( ( 0 - 1 ) e. dom W <-> ( 0 - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
15	13, 14	mtbiri 677	. . . 4 |- ( dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> -. ( 0 - 1 ) e. dom W )
16		0z 9403	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
17		peano2zm 9430	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 - 1 ) e. ZZ )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 0 - 1 ) e. ZZ
19	18	elexi 2786	. . . . 5 |- ( 0 - 1 ) e. _V
20		ndmfvg 5620	. . . . 5 |- ( ( ( 0 - 1 ) e. _V /\ -. ( 0 - 1 ) e. dom W ) -> ( W ` ( 0 - 1 ) ) = (/) )
21	19, 20	mpan 424	. . . 4 |- ( -. ( 0 - 1 ) e. dom W -> ( W ` ( 0 - 1 ) ) = (/) )
22	4, 15, 21	3syl 17	. . 3 |- ( W e. Word V -> ( W ` ( 0 - 1 ) ) = (/) )
23	3, 22	sylan9eqr 2261	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = 0 ) -> ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) = (/) )
24	2, 23	eqtrd 2239	1 |- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = 0 ) -> (lastS ` W ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   (/)c0 3464   class class class wbr 4051   dom cdm 4683   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   0cc0 7945   1c1 7946   <_ cle 8128   - cmin 8263   NNcn 9056   ZZcz 9392  ..^cfzo 10284  ♯chash 10942  Word cword 11016  lastSclsw 11060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-1o 6515  df-er 6633  df-en 6841  df-dom 6842  df-fin 6843  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-fz 10151  df-fzo 10285  df-ihash 10943  df-word 11017  df-lsw 11061

This theorem is referenced by:  lsw0g  11064