Theorem lsw0 11352

Description: The last symbol of an empty word does not exist. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lsw0	|- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = 0 ) -> (lastS ` W ) = (/) )

Proof of Theorem lsw0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lswwrd 11351	. . 3 |- ( W e. Word V -> (lastS ` W ) = ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = 0 ) -> (lastS ` W ) = ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) )
3		fvoveq1 6108	. . 3 |- ( (♯ ` W ) = 0 -> ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) = ( W ` ( 0 - 1 ) ) )
4		wrddm 11312	. . . 4 |- ( W e. Word V -> dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
5		1nn 9315	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
6		nnnle0 9693	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. NN -> -. 1 <_ 0 )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- -. 1 <_ 0
8		0re 8326	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
9		1re 8325	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
10	8, 9	subge0i 8829	. . . . . . 7 |- ( 0 <_ ( 0 - 1 ) <-> 1 <_ 0 )
11	7, 10	mtbir 682	. . . . . 6 |- -. 0 <_ ( 0 - 1 )
12		elfzole1 10563	. . . . . 6 |- ( ( 0 - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> 0 <_ ( 0 - 1 ) )
13	11, 12	mto 672	. . . . 5 |- -. ( 0 - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) )
14		eleq2 2302	. . . . 5 |- ( dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( ( 0 - 1 ) e. dom W <-> ( 0 - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
15	13, 14	mtbiri 686	. . . 4 |- ( dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> -. ( 0 - 1 ) e. dom W )
16		0z 9655	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
17		peano2zm 9682	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 - 1 ) e. ZZ )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 0 - 1 ) e. ZZ
19	18	elexi 2834	. . . . 5 |- ( 0 - 1 ) e. _V
20		ndmfvg 5726	. . . . 5 |- ( ( ( 0 - 1 ) e. _V /\ -. ( 0 - 1 ) e. dom W ) -> ( W ` ( 0 - 1 ) ) = (/) )
21	19, 20	mpan 428	. . . 4 |- ( -. ( 0 - 1 ) e. dom W -> ( W ` ( 0 - 1 ) ) = (/) )
22	4, 15, 21	3syl 17	. . 3 |- ( W e. Word V -> ( W ` ( 0 - 1 ) ) = (/) )
23	3, 22	sylan9eqr 2293	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = 0 ) -> ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) = (/) )
24	2, 23	eqtrd 2271	1 |- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = 0 ) -> (lastS ` W ) = (/) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   class class class wbr 4130   dom cdm 4774   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   0cc0 8179   1c1 8180   <_ cle 8361   - cmin 8497   NNcn 9304   ZZcz 9644  ..^cfzo 10549  ♯chash 11214  Word cword 11304  lastSclsw 11349

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-ihash 11215  df-word 11305  df-lsw 11350

This theorem is used by:  lsw0g  11353