Theorem lsw0 11114

Description: The last symbol of an empty word does not exist. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lsw0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (lastS‘𝑊) = ∅)

Proof of Theorem lsw0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lswwrd 11113	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
3		fvoveq1 6023	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(0 − 1)))
4		wrddm 11074	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
5		1nn 9117	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		nnnle0 9491	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ → ¬ 1 ≤ 0)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
8		0re 8142	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		1re 8141	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	8, 9	subge0i 8644	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (0 − 1) ↔ 1 ≤ 0)
11	7, 10	mtbir 675	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 ≤ (0 − 1)
12		elfzole1 10348	. . . . . 6 ⊢ ((0 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 0 ≤ (0 − 1))
13	11, 12	mto 666	. . . . 5 ⊢ ¬ (0 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))
14		eleq2 2293	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((0 − 1) ∈ dom 𝑊 ↔ (0 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
15	13, 14	mtbiri 679	. . . 4 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ¬ (0 − 1) ∈ dom 𝑊)
16		0z 9453	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
17		peano2zm 9480	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 − 1) ∈ ℤ
19	18	elexi 2812	. . . . 5 ⊢ (0 − 1) ∈ V
20		ndmfvg 5657	. . . . 5 ⊢ (((0 − 1) ∈ V ∧ ¬ (0 − 1) ∈ dom 𝑊) → (𝑊‘(0 − 1)) = ∅)
21	19, 20	mpan 424	. . . 4 ⊢ (¬ (0 − 1) ∈ dom 𝑊 → (𝑊‘(0 − 1)) = ∅)
22	4, 15, 21	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊‘(0 − 1)) = ∅)
23	3, 22	sylan9eqr 2284	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = ∅)
24	2, 23	eqtrd 2262	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (lastS‘𝑊) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ∅c0 3491   class class class wbr 4082  dom cdm 4718  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  0cc0 7995  1c1 7996   ≤ cle 8178   − cmin 8313  ℕcn 9106  ℤcz 9442  ..^cfzo 10334  ♯chash 10992  Word cword 11066  lastSclsw 11111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-ihash 10993  df-word 11067  df-lsw 11112

This theorem is referenced by:  lsw0g  11115