Theorem lsw0 11272

Description: The last symbol of an empty word does not exist. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lsw0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (lastS‘𝑊) = ∅)

Proof of Theorem lsw0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lswwrd 11271	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
3		fvoveq1 6073	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(0 − 1)))
4		wrddm 11232	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
5		1nn 9248	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		nnnle0 9626	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ → ¬ 1 ≤ 0)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
8		0re 8274	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		1re 8273	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	8, 9	subge0i 8775	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (0 − 1) ↔ 1 ≤ 0)
11	7, 10	mtbir 678	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 ≤ (0 − 1)
12		elfzole1 10490	. . . . . 6 ⊢ ((0 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 0 ≤ (0 − 1))
13	11, 12	mto 668	. . . . 5 ⊢ ¬ (0 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))
14		eleq2 2296	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((0 − 1) ∈ dom 𝑊 ↔ (0 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
15	13, 14	mtbiri 682	. . . 4 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ¬ (0 − 1) ∈ dom 𝑊)
16		0z 9588	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
17		peano2zm 9615	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 − 1) ∈ ℤ
19	18	elexi 2826	. . . . 5 ⊢ (0 − 1) ∈ V
20		ndmfvg 5701	. . . . 5 ⊢ (((0 − 1) ∈ V ∧ ¬ (0 − 1) ∈ dom 𝑊) → (𝑊‘(0 − 1)) = ∅)
21	19, 20	mpan 424	. . . 4 ⊢ (¬ (0 − 1) ∈ dom 𝑊 → (𝑊‘(0 − 1)) = ∅)
22	4, 15, 21	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊‘(0 − 1)) = ∅)
23	3, 22	sylan9eqr 2287	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = ∅)
24	2, 23	eqtrd 2265	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (lastS‘𝑊) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813  ∅c0 3508   class class class wbr 4109  dom cdm 4749  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  0cc0 8127  1c1 8128   ≤ cle 8309   − cmin 8444  ℕcn 9237  ℤcz 9577  ..^cfzo 10476  ♯chash 11138  Word cword 11224  lastSclsw 11269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-ihash 11139  df-word 11225  df-lsw 11270

This theorem is referenced by:  lsw0g  11273