Theorem lswex 11082

Description: Existence of the last symbol. The last symbol of a word is a set. See lsw0g 11079 or lswcl 11081 if you want more specific results for empty or nonempty words, respectively. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lswex	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) ∈ V)

Proof of Theorem lswex

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5599	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (lastS‘𝑊) = (lastS‘∅))
2		lsw0g 11079	. . . . 5 ⊢ (lastS‘∅) = ∅
3		0ex 4187	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2280	. . . 4 ⊢ (lastS‘∅) ∈ V
5	1, 4	eqeltrdi 2298	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (lastS‘𝑊) ∈ V)
6	5	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 = ∅) → (lastS‘𝑊) ∈ V)
7		lswcl 11081	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (lastS‘𝑊) ∈ 𝑉)
8	7	elexd 2790	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (lastS‘𝑊) ∈ V)
9		wrdfin 11050	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ Fin)
10		fin0or 7009	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (𝑊 = ∅ ∨ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑊))
11		n0r 3482	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑊 → 𝑊 ≠ ∅)
12	11	orim2i 763	. . 3 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∨ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑊) → (𝑊 = ∅ ∨ 𝑊 ≠ ∅))
13	9, 10, 12	3syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ∅ ∨ 𝑊 ≠ ∅))
14	6, 8, 13	mpjaodan 800	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2178   ≠ wne 2378  Vcvv 2776  ∅c0 3468  ‘cfv 5290  Fincfn 6850  Word cword 11031  lastSclsw 11075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-1o 6525  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-ihash 10958  df-word 11032  df-lsw 11076

This theorem is referenced by:  pfxsuff1eqwrdeq  11190