Theorem lswex 11231

Description: Existence of the last symbol. The last symbol of a word is a set. See lsw0g 11228 or lswcl 11230 if you want more specific results for empty or nonempty words, respectively. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lswex	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) ∈ V)

Proof of Theorem lswex

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5648	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (lastS‘𝑊) = (lastS‘∅))
2		lsw0g 11228	. . . . 5 ⊢ (lastS‘∅) = ∅
3		0ex 4221	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2304	. . . 4 ⊢ (lastS‘∅) ∈ V
5	1, 4	eqeltrdi 2322	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (lastS‘𝑊) ∈ V)
6	5	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 = ∅) → (lastS‘𝑊) ∈ V)
7		lswcl 11230	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (lastS‘𝑊) ∈ 𝑉)
8	7	elexd 2817	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (lastS‘𝑊) ∈ V)
9		wrdfin 11198	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ Fin)
10		fin0or 7118	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (𝑊 = ∅ ∨ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑊))
11		n0r 3510	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑊 → 𝑊 ≠ ∅)
12	11	orim2i 769	. . 3 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∨ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑊) → (𝑊 = ∅ ∨ 𝑊 ≠ ∅))
13	9, 10, 12	3syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ∅ ∨ 𝑊 ≠ ∅))
14	6, 8, 13	mpjaodan 806	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  Vcvv 2803  ∅c0 3496  ‘cfv 5333  Fincfn 6952  Word cword 11179  lastSclsw 11224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-ihash 11101  df-word 11180  df-lsw 11225

This theorem is referenced by:  pfxsuff1eqwrdeq  11346