Theorem lswex 11378

Description: Existence of the last symbol. The last symbol of a word is a set. See lsw0g 11375 or lswcl 11377 if you want more specific results for empty or nonempty words, respectively. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lswex	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) ∈ V)

Proof of Theorem lswex

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5698	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (lastS‘𝑊) = (lastS‘∅))
2		lsw0g 11375	. . . . 5 ⊢ (lastS‘∅) = ∅
3		0ex 4262	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2311	. . . 4 ⊢ (lastS‘∅) ∈ V
5	1, 4	eqeltrdi 2329	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (lastS‘𝑊) ∈ V)
6	5	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 = ∅) → (lastS‘𝑊) ∈ V)
7		lswcl 11377	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (lastS‘𝑊) ∈ 𝑉)
8	7	elexd 2835	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (lastS‘𝑊) ∈ V)
9		wrdfin 11345	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ Fin)
10		fin0or 7194	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (𝑊 = ∅ ∨ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑊))
11		n0r 3535	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑊 → 𝑊 ≠ ∅)
12	11	orim2i 773	. . 3 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∨ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑊) → (𝑊 = ∅ ∨ 𝑊 ≠ ∅))
13	9, 10, 12	3syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ∅ ∨ 𝑊 ≠ ∅))
14	6, 8, 13	mpjaodan 810	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  Vcvv 2821  ∅c0 3520  ‘cfv 5380  Fincfn 7026  Word cword 11326  lastSclsw 11371

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327  df-lsw 11372

This theorem is used by:  pfxsuff1eqwrdeq  11493