Theorem lswex 11047

Description: Existence of the last symbol. The last symbol of a word is a set. See lsw0g 11044 or lswcl 11046 if you want more specific results for empty or nonempty words, respectively. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lswex	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) ∈ V)

Proof of Theorem lswex

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5578	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (lastS‘𝑊) = (lastS‘∅))
2		lsw0g 11044	. . . . 5 ⊢ (lastS‘∅) = ∅
3		0ex 4172	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2278	. . . 4 ⊢ (lastS‘∅) ∈ V
5	1, 4	eqeltrdi 2296	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (lastS‘𝑊) ∈ V)
6	5	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 = ∅) → (lastS‘𝑊) ∈ V)
7		lswcl 11046	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (lastS‘𝑊) ∈ 𝑉)
8	7	elexd 2785	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (lastS‘𝑊) ∈ V)
9		wrdfin 11015	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ Fin)
10		fin0or 6985	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (𝑊 = ∅ ∨ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑊))
11		n0r 3474	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑊 → 𝑊 ≠ ∅)
12	11	orim2i 763	. . 3 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∨ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑊) → (𝑊 = ∅ ∨ 𝑊 ≠ ∅))
13	9, 10, 12	3syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ∅ ∨ 𝑊 ≠ ∅))
14	6, 8, 13	mpjaodan 800	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710   = wceq 1373  ∃wex 1515   ∈ wcel 2176   ≠ wne 2376  Vcvv 2772  ∅c0 3460  ‘cfv 5272  Fincfn 6829  Word cword 10996  lastSclsw 11040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-1o 6504  df-er 6622  df-en 6830  df-dom 6831  df-fin 6832  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-fz 10133  df-fzo 10267  df-ihash 10923  df-word 10997  df-lsw 11041

This theorem is referenced by:  pfxsuff1eqwrdeq  11153