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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > lttrsr | Unicode version |
Description: Signed real 'less than' is a transitive relation. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.) |
Ref | Expression |
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lttrsr |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | df-nr 7725 |
. 2
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2 | breq1 4006 |
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3 | 2 | anbi1d 465 |
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4 | breq1 4006 |
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5 | 3, 4 | imbi12d 234 |
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7 | breq1 4006 |
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8 | 6, 7 | anbi12d 473 |
. . 3
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9 | 8 | imbi1d 231 |
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13 | 11, 12 | imbi12d 234 |
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14 | ltsrprg 7745 |
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15 | 14 | 3adant3 1017 |
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16 | ltaprg 7617 |
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17 | 16 | adantl 277 |
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20 | addclpr 7535 |
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21 | 18, 19, 20 | syl2anc 411 |
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23 | simp2l 1023 |
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24 | addclpr 7535 |
. . . . . . . 8
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25 | 22, 23, 24 | syl2anc 411 |
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26 | simp3r 1026 |
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27 | addcomprg 7576 |
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28 | 27 | adantl 277 |
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29 | 17, 21, 25, 26, 28 | caovord2d 6043 |
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30 | addassprg 7577 |
. . . . . . . 8
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31 | 18, 19, 26, 30 | syl3anc 1238 |
. . . . . . 7
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32 | addassprg 7577 |
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33 | 22, 23, 26, 32 | syl3anc 1238 |
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34 | 31, 33 | breq12d 4016 |
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35 | 29, 34 | bitrd 188 |
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36 | 15, 35 | bitrd 188 |
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37 | ltsrprg 7745 |
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38 | 37 | 3adant1 1015 |
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39 | addclpr 7535 |
. . . . . . 7
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40 | 23, 26, 39 | syl2anc 411 |
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41 | simp3l 1025 |
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42 | addclpr 7535 |
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43 | 19, 41, 42 | syl2anc 411 |
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44 | ltaprg 7617 |
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45 | 40, 43, 22, 44 | syl3anc 1238 |
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46 | 38, 45 | bitrd 188 |
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47 | 36, 46 | anbi12d 473 |
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48 | ltsopr 7594 |
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49 | ltrelpr 7503 |
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50 | 48, 49 | sotri 5024 |
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51 | addclpr 7535 |
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52 | 18, 26, 51 | syl2anc 411 |
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53 | addclpr 7535 |
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54 | 22, 41, 53 | syl2anc 411 |
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55 | ltaprg 7617 |
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56 | 52, 54, 19, 55 | syl3anc 1238 |
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57 | 56 | biimprd 158 |
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58 | addassprg 7577 |
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59 | 58 | adantl 277 |
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60 | 18, 19, 26, 28, 59 | caov12d 6055 |
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61 | 22, 19, 41, 28, 59 | caov12d 6055 |
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62 | 60, 61 | breq12d 4016 |
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63 | ltsrprg 7745 |
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64 | 63 | 3adant2 1016 |
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65 | 57, 62, 64 | 3imtr4d 203 |
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66 | 50, 65 | syl5 32 |
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67 | 47, 66 | sylbid 150 |
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68 | 1, 5, 9, 13, 67 | 3ecoptocl 6623 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-nul 4129 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-iinf 4587 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-tr 4102 df-eprel 4289 df-id 4293 df-po 4296 df-iso 4297 df-iord 4366 df-on 4368 df-suc 4371 df-iom 4590 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-recs 6305 df-irdg 6370 df-1o 6416 df-2o 6417 df-oadd 6420 df-omul 6421 df-er 6534 df-ec 6536 df-qs 6540 df-ni 7302 df-pli 7303 df-mi 7304 df-lti 7305 df-plpq 7342 df-mpq 7343 df-enq 7345 df-nqqs 7346 df-plqqs 7347 df-mqqs 7348 df-1nqqs 7349 df-rq 7350 df-ltnqqs 7351 df-enq0 7422 df-nq0 7423 df-0nq0 7424 df-plq0 7425 df-mq0 7426 df-inp 7464 df-iplp 7466 df-iltp 7468 df-enr 7724 df-nr 7725 df-ltr 7728 |
This theorem is referenced by: ltposr 7761 |
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