Theorem odd2np1lem 12617

Description: Lemma for odd2np1 12618. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
odd2np1lem	|- ( N e. NN0 -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )

Distinct variable groups:   k, N   n, N

Proof of Theorem odd2np1lem

Dummy variables j m x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2248	. . . 4 |- ( j = 0 -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = 0 ) )
2	1	rexbidv 2551	. . 3 |- ( j = 0 -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = 0 ) )
3		eqeq2 2248	. . . 4 |- ( j = 0 -> ( ( k x. 2 ) = j <-> ( k x. 2 ) = 0 ) )
4	3	rexbidv 2551	. . 3 |- ( j = 0 -> ( E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = 0 ) )
5	2, 4	orbi12d 805	. 2 |- ( j = 0 -> ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j ) <-> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = 0 \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = 0 ) ) )
6		eqeq2 2248	. . . . 5 |- ( j = m -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = m ) )
7	6	rexbidv 2551	. . . 4 |- ( j = m -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = m ) )
8		oveq2 6083	. . . . . . 7 |- ( n = x -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. x ) )
9	8	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( n = x -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. x ) + 1 ) )
10	9	eqeq1d 2247	. . . . 5 |- ( n = x -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = m <-> ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m ) )
11	10	cbvrexv 2787	. . . 4 |- ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = m <-> E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m )
12	7, 11	bitrdi 196	. . 3 |- ( j = m -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m ) )
13		eqeq2 2248	. . . . 5 |- ( j = m -> ( ( k x. 2 ) = j <-> ( k x. 2 ) = m ) )
14	13	rexbidv 2551	. . . 4 |- ( j = m -> ( E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = m ) )
15		oveq1 6082	. . . . . 6 |- ( k = y -> ( k x. 2 ) = ( y x. 2 ) )
16	15	eqeq1d 2247	. . . . 5 |- ( k = y -> ( ( k x. 2 ) = m <-> ( y x. 2 ) = m ) )
17	16	cbvrexv 2787	. . . 4 |- ( E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = m <-> E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m )
18	14, 17	bitrdi 196	. . 3 |- ( j = m -> ( E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j <-> E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m ) )
19	12, 18	orbi12d 805	. 2 |- ( j = m -> ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j ) <-> ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m \/ E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m ) ) )
20		eqeq2 2248	. . . 4 |- ( j = ( m + 1 ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
21	20	rexbidv 2551	. . 3 |- ( j = ( m + 1 ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
22		eqeq2 2248	. . . 4 |- ( j = ( m + 1 ) -> ( ( k x. 2 ) = j <-> ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) )
23	22	rexbidv 2551	. . 3 |- ( j = ( m + 1 ) -> ( E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) )
24	21, 23	orbi12d 805	. 2 |- ( j = ( m + 1 ) -> ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j ) <-> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) ) )
25		eqeq2 2248	. . . 4 |- ( j = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
26	25	rexbidv 2551	. . 3 |- ( j = N -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
27		eqeq2 2248	. . . 4 |- ( j = N -> ( ( k x. 2 ) = j <-> ( k x. 2 ) = N ) )
28	27	rexbidv 2551	. . 3 |- ( j = N -> ( E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
29	26, 28	orbi12d 805	. 2 |- ( j = N -> ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j ) <-> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) ) )
30		0z 9634	. . . 4 |- 0 e. ZZ
31		2cn 9354	. . . . 5 |- 2 e. CC
32	31	mul02i 8707	. . . 4 |- ( 0 x. 2 ) = 0
33		oveq1 6082	. . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( k x. 2 ) = ( 0 x. 2 ) )
34	33	eqeq1d 2247	. . . . 5 |- ( k = 0 -> ( ( k x. 2 ) = 0 <-> ( 0 x. 2 ) = 0 ) )
35	34	rspcev 2929	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( 0 x. 2 ) = 0 ) -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = 0 )
36	30, 32, 35	mp2an 430	. . 3 |- E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = 0
37	36	olci 744	. 2 |- ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = 0 \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = 0 )
38		orcom 740	. . 3 |- ( ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m \/ E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m ) <-> ( E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m \/ E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m ) )
39		zcn 9628	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
40		mulcom 8298	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( y x. 2 ) = ( 2 x. y ) )
41	39, 31, 40	sylancl 417	. . . . . . . 8 |- ( y e. ZZ -> ( y x. 2 ) = ( 2 x. y ) )
42	41	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( m e. NN0 /\ y e. ZZ ) -> ( y x. 2 ) = ( 2 x. y ) )
43	42	eqeq1d 2247	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN0 /\ y e. ZZ ) -> ( ( y x. 2 ) = m <-> ( 2 x. y ) = m ) )
44		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. y ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 )
45		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = y -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. y ) )
46	45	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = y -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) )
47	46	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . 10 |- ( n = y -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) <-> ( ( 2 x. y ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) )
48	47	rspcev 2929	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ZZ /\ ( ( 2 x. y ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) )
49	44, 48	mpan2 429	. . . . . . . 8 |- ( y e. ZZ -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) )
50		oveq1 6082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. y ) = m -> ( ( 2 x. y ) + 1 ) = ( m + 1 ) )
51	50	eqeq2d 2250	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. y ) = m -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
52	51	rexbidv 2551	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. y ) = m -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
53	49, 52	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 |- ( y e. ZZ -> ( ( 2 x. y ) = m -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
54	53	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN0 /\ y e. ZZ ) -> ( ( 2 x. y ) = m -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
55	43, 54	sylbid 150	. . . . 5 |- ( ( m e. NN0 /\ y e. ZZ ) -> ( ( y x. 2 ) = m -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
56	55	rexlimdva 2668	. . . 4 |- ( m e. NN0 -> ( E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
57		peano2z 9659	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ -> ( x + 1 ) e. ZZ )
58	57	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( m e. NN0 /\ x e. ZZ ) -> ( x + 1 ) e. ZZ )
59		zcn 9628	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
60		mulcom 8298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( x x. 2 ) = ( 2 x. x ) )
61	31, 60	mpan2 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( x x. 2 ) = ( 2 x. x ) )
62	31	mullidi 8319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 x. 2 ) = 2
63	62	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( 1 x. 2 ) = 2 )
64	61, 63	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( ( x x. 2 ) + ( 1 x. 2 ) ) = ( ( 2 x. x ) + 2 ) )
65		df-2 9342	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 = ( 1 + 1 )
66	65	oveq2i 6086	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. x ) + 2 ) = ( ( 2 x. x ) + ( 1 + 1 ) )
67	64, 66	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( ( x x. 2 ) + ( 1 x. 2 ) ) = ( ( 2 x. x ) + ( 1 + 1 ) ) )
68		ax-1cn 8262	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
69		adddir 8307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ 1 e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( x + 1 ) x. 2 ) = ( ( x x. 2 ) + ( 1 x. 2 ) ) )
70	68, 31, 69	mp3an23 1370	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( ( x + 1 ) x. 2 ) = ( ( x x. 2 ) + ( 1 x. 2 ) ) )
71		mulcl 8296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. CC /\ x e. CC ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
72	31, 71	mpan 428	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( 2 x. x ) e. CC )
73		addass 8299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. x ) e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. x ) + ( 1 + 1 ) ) )
74	68, 68, 73	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. x ) e. CC -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. x ) + ( 1 + 1 ) ) )
75	72, 74	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. x ) + ( 1 + 1 ) ) )
76	67, 70, 75	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( ( x + 1 ) x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) )
77	59, 76	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ -> ( ( x + 1 ) x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) )
78	77	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( m e. NN0 /\ x e. ZZ ) -> ( ( x + 1 ) x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) )
79		oveq1 6082	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( x + 1 ) -> ( k x. 2 ) = ( ( x + 1 ) x. 2 ) )
80	79	eqeq1d 2247	. . . . . . . 8 |- ( k = ( x + 1 ) -> ( ( k x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) <-> ( ( x + 1 ) x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) ) )
81	80	rspcev 2929	. . . . . . 7 |- ( ( ( x + 1 ) e. ZZ /\ ( ( x + 1 ) x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) ) -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) )
82	58, 78, 81	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN0 /\ x e. ZZ ) -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) )
83		oveq1 6082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) = ( m + 1 ) )
84	83	eqeq2d 2250	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m -> ( ( k x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) <-> ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) )
85	84	rexbidv 2551	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m -> ( E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) )
86	82, 85	syl5ibcom 155	. . . . 5 |- ( ( m e. NN0 /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) )
87	86	rexlimdva 2668	. . . 4 |- ( m e. NN0 -> ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) )
88	56, 87	orim12d 798	. . 3 |- ( m e. NN0 -> ( ( E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m \/ E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) ) )
89	38, 88	biimtrid 152	. 2 |- ( m e. NN0 -> ( ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m \/ E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) ) )
90	5, 19, 24, 29, 37, 89	nn0ind 9739	1 |- ( N e. NN0 -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   2c2 9334   NN0cn0 9542   ZZcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624

This theorem is referenced by:  odd2np1  12618