Theorem odd2np1lem 11869

Description: Lemma for odd2np1 11870. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
odd2np1lem	|- ( N e. NN0 -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )

Distinct variable groups:   k, N   n, N

Proof of Theorem odd2np1lem

Dummy variables j m x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2187	. . . 4 |- ( j = 0 -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = 0 ) )
2	1	rexbidv 2478	. . 3 |- ( j = 0 -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = 0 ) )
3		eqeq2 2187	. . . 4 |- ( j = 0 -> ( ( k x. 2 ) = j <-> ( k x. 2 ) = 0 ) )
4	3	rexbidv 2478	. . 3 |- ( j = 0 -> ( E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = 0 ) )
5	2, 4	orbi12d 793	. 2 |- ( j = 0 -> ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j ) <-> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = 0 \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = 0 ) ) )
6		eqeq2 2187	. . . . 5 |- ( j = m -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = m ) )
7	6	rexbidv 2478	. . . 4 |- ( j = m -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = m ) )
8		oveq2 5880	. . . . . . 7 |- ( n = x -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. x ) )
9	8	oveq1d 5887	. . . . . 6 |- ( n = x -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. x ) + 1 ) )
10	9	eqeq1d 2186	. . . . 5 |- ( n = x -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = m <-> ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m ) )
11	10	cbvrexv 2704	. . . 4 |- ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = m <-> E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m )
12	7, 11	bitrdi 196	. . 3 |- ( j = m -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m ) )
13		eqeq2 2187	. . . . 5 |- ( j = m -> ( ( k x. 2 ) = j <-> ( k x. 2 ) = m ) )
14	13	rexbidv 2478	. . . 4 |- ( j = m -> ( E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = m ) )
15		oveq1 5879	. . . . . 6 |- ( k = y -> ( k x. 2 ) = ( y x. 2 ) )
16	15	eqeq1d 2186	. . . . 5 |- ( k = y -> ( ( k x. 2 ) = m <-> ( y x. 2 ) = m ) )
17	16	cbvrexv 2704	. . . 4 |- ( E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = m <-> E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m )
18	14, 17	bitrdi 196	. . 3 |- ( j = m -> ( E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j <-> E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m ) )
19	12, 18	orbi12d 793	. 2 |- ( j = m -> ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j ) <-> ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m \/ E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m ) ) )
20		eqeq2 2187	. . . 4 |- ( j = ( m + 1 ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
21	20	rexbidv 2478	. . 3 |- ( j = ( m + 1 ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
22		eqeq2 2187	. . . 4 |- ( j = ( m + 1 ) -> ( ( k x. 2 ) = j <-> ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) )
23	22	rexbidv 2478	. . 3 |- ( j = ( m + 1 ) -> ( E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) )
24	21, 23	orbi12d 793	. 2 |- ( j = ( m + 1 ) -> ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j ) <-> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) ) )
25		eqeq2 2187	. . . 4 |- ( j = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
26	25	rexbidv 2478	. . 3 |- ( j = N -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
27		eqeq2 2187	. . . 4 |- ( j = N -> ( ( k x. 2 ) = j <-> ( k x. 2 ) = N ) )
28	27	rexbidv 2478	. . 3 |- ( j = N -> ( E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
29	26, 28	orbi12d 793	. 2 |- ( j = N -> ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = j \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = j ) <-> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) ) )
30		0z 9260	. . . 4 |- 0 e. ZZ
31		2cn 8986	. . . . 5 |- 2 e. CC
32	31	mul02i 8343	. . . 4 |- ( 0 x. 2 ) = 0
33		oveq1 5879	. . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( k x. 2 ) = ( 0 x. 2 ) )
34	33	eqeq1d 2186	. . . . 5 |- ( k = 0 -> ( ( k x. 2 ) = 0 <-> ( 0 x. 2 ) = 0 ) )
35	34	rspcev 2841	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( 0 x. 2 ) = 0 ) -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = 0 )
36	30, 32, 35	mp2an 426	. . 3 |- E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = 0
37	36	olci 732	. 2 |- ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = 0 \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = 0 )
38		orcom 728	. . 3 |- ( ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m \/ E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m ) <-> ( E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m \/ E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m ) )
39		zcn 9254	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
40		mulcom 7937	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( y x. 2 ) = ( 2 x. y ) )
41	39, 31, 40	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( y e. ZZ -> ( y x. 2 ) = ( 2 x. y ) )
42	41	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( m e. NN0 /\ y e. ZZ ) -> ( y x. 2 ) = ( 2 x. y ) )
43	42	eqeq1d 2186	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN0 /\ y e. ZZ ) -> ( ( y x. 2 ) = m <-> ( 2 x. y ) = m ) )
44		eqid 2177	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. y ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 )
45		oveq2 5880	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = y -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. y ) )
46	45	oveq1d 5887	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = y -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) )
47	46	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . 10 |- ( n = y -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) <-> ( ( 2 x. y ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) )
48	47	rspcev 2841	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ZZ /\ ( ( 2 x. y ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) )
49	44, 48	mpan2 425	. . . . . . . 8 |- ( y e. ZZ -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) )
50		oveq1 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. y ) = m -> ( ( 2 x. y ) + 1 ) = ( m + 1 ) )
51	50	eqeq2d 2189	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. y ) = m -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
52	51	rexbidv 2478	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. y ) = m -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + 1 ) <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
53	49, 52	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 |- ( y e. ZZ -> ( ( 2 x. y ) = m -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
54	53	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN0 /\ y e. ZZ ) -> ( ( 2 x. y ) = m -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
55	43, 54	sylbid 150	. . . . 5 |- ( ( m e. NN0 /\ y e. ZZ ) -> ( ( y x. 2 ) = m -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
56	55	rexlimdva 2594	. . . 4 |- ( m e. NN0 -> ( E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) ) )
57		peano2z 9285	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ -> ( x + 1 ) e. ZZ )
58	57	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( m e. NN0 /\ x e. ZZ ) -> ( x + 1 ) e. ZZ )
59		zcn 9254	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
60		mulcom 7937	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( x x. 2 ) = ( 2 x. x ) )
61	31, 60	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( x x. 2 ) = ( 2 x. x ) )
62	31	mulid2i 7957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 x. 2 ) = 2
63	62	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( 1 x. 2 ) = 2 )
64	61, 63	oveq12d 5890	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( ( x x. 2 ) + ( 1 x. 2 ) ) = ( ( 2 x. x ) + 2 ) )
65		df-2 8974	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 = ( 1 + 1 )
66	65	oveq2i 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. x ) + 2 ) = ( ( 2 x. x ) + ( 1 + 1 ) )
67	64, 66	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( ( x x. 2 ) + ( 1 x. 2 ) ) = ( ( 2 x. x ) + ( 1 + 1 ) ) )
68		ax-1cn 7901	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
69		adddir 7945	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ 1 e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( x + 1 ) x. 2 ) = ( ( x x. 2 ) + ( 1 x. 2 ) ) )
70	68, 31, 69	mp3an23 1329	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( ( x + 1 ) x. 2 ) = ( ( x x. 2 ) + ( 1 x. 2 ) ) )
71		mulcl 7935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. CC /\ x e. CC ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
72	31, 71	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( 2 x. x ) e. CC )
73		addass 7938	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. x ) e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. x ) + ( 1 + 1 ) ) )
74	68, 68, 73	mp3an23 1329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. x ) e. CC -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. x ) + ( 1 + 1 ) ) )
75	72, 74	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. x ) + ( 1 + 1 ) ) )
76	67, 70, 75	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( ( x + 1 ) x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) )
77	59, 76	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ -> ( ( x + 1 ) x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) )
78	77	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( m e. NN0 /\ x e. ZZ ) -> ( ( x + 1 ) x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) )
79		oveq1 5879	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( x + 1 ) -> ( k x. 2 ) = ( ( x + 1 ) x. 2 ) )
80	79	eqeq1d 2186	. . . . . . . 8 |- ( k = ( x + 1 ) -> ( ( k x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) <-> ( ( x + 1 ) x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) ) )
81	80	rspcev 2841	. . . . . . 7 |- ( ( ( x + 1 ) e. ZZ /\ ( ( x + 1 ) x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) ) -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) )
82	58, 78, 81	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN0 /\ x e. ZZ ) -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) )
83		oveq1 5879	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) = ( m + 1 ) )
84	83	eqeq2d 2189	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m -> ( ( k x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) <-> ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) )
85	84	rexbidv 2478	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m -> ( E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) + 1 ) <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) )
86	82, 85	syl5ibcom 155	. . . . 5 |- ( ( m e. NN0 /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) )
87	86	rexlimdva 2594	. . . 4 |- ( m e. NN0 -> ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) )
88	56, 87	orim12d 786	. . 3 |- ( m e. NN0 -> ( ( E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m \/ E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) ) )
89	38, 88	biimtrid 152	. 2 |- ( m e. NN0 -> ( ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = m \/ E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = m ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( m + 1 ) \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( m + 1 ) ) ) )
90	5, 19, 24, 29, 37, 89	nn0ind 9363	1 |- ( N e. NN0 -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456  (class class class)co 5872   CCcc 7806   0cc0 7808   1c1 7809   + caddc 7811   x. cmul 7813   2c2 8966   NN0cn0 9172   ZZcz 9249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-inn 8916  df-2 8974  df-n0 9173  df-z 9250

This theorem is referenced by:  odd2np1  11870