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Theorem odd2np1lem 10952
Description: Lemma for odd2np1 10953. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
odd2np1lem  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. n  e.  ZZ  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )
Distinct variable groups:    k, N    n, N

Proof of Theorem odd2np1lem
Dummy variables  j  m  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2097 . . . 4  |-  ( j  =  0  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  j  <->  ( (
2  x.  n )  +  1 )  =  0 ) )
21rexbidv 2381 . . 3  |-  ( j  =  0  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  j  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  0 ) )
3 eqeq2 2097 . . . 4  |-  ( j  =  0  ->  (
( k  x.  2 )  =  j  <->  ( k  x.  2 )  =  0 ) )
43rexbidv 2381 . . 3  |-  ( j  =  0  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  j  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  0 ) )
52, 4orbi12d 742 . 2  |-  ( j  =  0  ->  (
( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  j  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  j )  <->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  0  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  0 ) ) )
6 eqeq2 2097 . . . . 5  |-  ( j  =  m  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  j  <->  ( (
2  x.  n )  +  1 )  =  m ) )
76rexbidv 2381 . . . 4  |-  ( j  =  m  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  j  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  m ) )
8 oveq2 5642 . . . . . . 7  |-  ( n  =  x  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  x ) )
98oveq1d 5649 . . . . . 6  |-  ( n  =  x  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  +  1 ) )
109eqeq1d 2096 . . . . 5  |-  ( n  =  x  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  m  <->  ( (
2  x.  x )  +  1 )  =  m ) )
1110cbvrexv 2591 . . . 4  |-  ( E. n  e.  ZZ  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  m  <->  E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  m )
127, 11syl6bb 194 . . 3  |-  ( j  =  m  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  j  <->  E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  m ) )
13 eqeq2 2097 . . . . 5  |-  ( j  =  m  ->  (
( k  x.  2 )  =  j  <->  ( k  x.  2 )  =  m ) )
1413rexbidv 2381 . . . 4  |-  ( j  =  m  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  j  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  m ) )
15 oveq1 5641 . . . . . 6  |-  ( k  =  y  ->  (
k  x.  2 )  =  ( y  x.  2 ) )
1615eqeq1d 2096 . . . . 5  |-  ( k  =  y  ->  (
( k  x.  2 )  =  m  <->  ( y  x.  2 )  =  m ) )
1716cbvrexv 2591 . . . 4  |-  ( E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  m  <->  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  2 )  =  m )
1814, 17syl6bb 194 . . 3  |-  ( j  =  m  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  j  <->  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  2 )  =  m ) )
1912, 18orbi12d 742 . 2  |-  ( j  =  m  ->  (
( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  j  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  j )  <->  ( E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  m  \/  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  2 )  =  m ) ) )
20 eqeq2 2097 . . . 4  |-  ( j  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  j  <->  ( (
2  x.  n )  +  1 )  =  ( m  +  1 ) ) )
2120rexbidv 2381 . . 3  |-  ( j  =  ( m  + 
1 )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  j  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( m  +  1 ) ) )
22 eqeq2 2097 . . . 4  |-  ( j  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( k  x.  2 )  =  j  <->  ( k  x.  2 )  =  ( m  +  1 ) ) )
2322rexbidv 2381 . . 3  |-  ( j  =  ( m  + 
1 )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  j  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( m  +  1 ) ) )
2421, 23orbi12d 742 . 2  |-  ( j  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  j  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  j )  <->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( m  +  1 )  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( m  +  1 ) ) ) )
25 eqeq2 2097 . . . 4  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  j  <->  ( (
2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
2625rexbidv 2381 . . 3  |-  ( j  =  N  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  j  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
27 eqeq2 2097 . . . 4  |-  ( j  =  N  ->  (
( k  x.  2 )  =  j  <->  ( k  x.  2 )  =  N ) )
2827rexbidv 2381 . . 3  |-  ( j  =  N  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  j  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
2926, 28orbi12d 742 . 2  |-  ( j  =  N  ->  (
( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  j  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  j )  <->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) ) )
30 0z 8731 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
31 2cn 8464 . . . . 5  |-  2  e.  CC
3231mul02i 7847 . . . 4  |-  ( 0  x.  2 )  =  0
33 oveq1 5641 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  (
k  x.  2 )  =  ( 0  x.  2 ) )
3433eqeq1d 2096 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  (
( k  x.  2 )  =  0  <->  (
0  x.  2 )  =  0 ) )
3534rspcev 2722 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 0  x.  2 )  =  0 )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  0 )
3630, 32, 35mp2an 417 . . 3  |-  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  0
3736olci 686 . 2  |-  ( E. n  e.  ZZ  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  0  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  0 )
38 orcom 682 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  m  \/ 
E. y  e.  ZZ  ( y  x.  2 )  =  m )  <-> 
( E. y  e.  ZZ  ( y  x.  2 )  =  m  \/  E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  m ) )
39 zcn 8725 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
40 mulcom 7450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( y  x.  2 )  =  ( 2  x.  y ) )
4139, 31, 40sylancl 404 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y  x.  2 )  =  ( 2  x.  y ) )
4241adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  x.  2 )  =  ( 2  x.  y ) )
4342eqeq1d 2096 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  x.  2 )  =  m  <-> 
( 2  x.  y
)  =  m ) )
44 eqid 2088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  y )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 )
45 oveq2 5642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  y  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  y ) )
4645oveq1d 5649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
4746eqeq1d 2096 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  y  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 )  <->  ( (
2  x.  y )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )
4847rspcev 2722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  y )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
4944, 48mpan2 416 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ZZ  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  y
)  +  1 ) )
50 oveq1 5641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  y )  =  m  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
5150eqeq2d 2099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  y )  =  m  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 )  <->  ( (
2  x.  n )  +  1 )  =  ( m  +  1 ) ) )
5251rexbidv 2381 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  y )  =  m  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 )  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( m  +  1 ) ) )
5349, 52syl5ibcom 153 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  y
)  =  m  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( m  +  1 ) ) )
5453adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  y )  =  m  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( m  +  1 ) ) )
5543, 54sylbid 148 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  x.  2 )  =  m  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( m  +  1 ) ) )
5655rexlimdva 2489 . . . 4  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( E. y  e.  ZZ  (
y  x.  2 )  =  m  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( m  +  1 ) ) )
57 peano2z 8756 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  1 )  e.  ZZ )
5857adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  +  1 )  e.  ZZ )
59 zcn 8725 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
60 mulcom 7450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( x  x.  2 )  =  ( 2  x.  x ) )
6131, 60mpan2 416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  x.  2 )  =  ( 2  x.  x ) )
6231mulid2i 7470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
6362a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  2 )  =  2 )
6461, 63oveq12d 5652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( x  x.  2 )  +  ( 1  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  2 ) )
65 df-2 8452 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
6665oveq2i 5645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  x )  +  2 )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 1  +  1 ) )
6764, 66syl6eq 2136 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( x  x.  2 )  +  ( 1  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 1  +  1 ) ) )
68 ax-1cn 7417 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
69 adddir 7458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( x  +  1 )  x.  2 )  =  ( ( x  x.  2 )  +  ( 1  x.  2 ) ) )
7068, 31, 69mp3an23 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( x  +  1 )  x.  2 )  =  ( ( x  x.  2 )  +  ( 1  x.  2 ) ) )
71 mulcl 7448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  CC )
7231, 71mpan 415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
73 addass 7451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  x
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 1  +  1 ) ) )
7468, 68, 73mp3an23 1265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  x )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 1  +  1 ) ) )
7572, 74syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 1  +  1 ) ) )
7667, 70, 753eqtr4d 2130 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( x  +  1 )  x.  2 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  +  1 ) )
7759, 76syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( x  +  1 )  x.  2 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  +  1 ) )
7877adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  + 
1 )  x.  2 )  =  ( ( ( 2  x.  x
)  +  1 )  +  1 ) )
79 oveq1 5641 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( x  + 
1 )  ->  (
k  x.  2 )  =  ( ( x  +  1 )  x.  2 ) )
8079eqeq1d 2096 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( x  + 
1 )  ->  (
( k  x.  2 )  =  ( ( ( 2  x.  x
)  +  1 )  +  1 )  <->  ( (
x  +  1 )  x.  2 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  +  1 ) ) )
8180rspcev 2722 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( x  + 
1 )  x.  2 )  =  ( ( ( 2  x.  x
)  +  1 )  +  1 ) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( ( ( 2  x.  x
)  +  1 )  +  1 ) )
8258, 78, 81syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  x  e.  ZZ )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( ( ( 2  x.  x
)  +  1 )  +  1 ) )
83 oveq1 5641 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  x
)  +  1 )  =  m  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  1 )  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
8483eqeq2d 2099 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  x
)  +  1 )  =  m  ->  (
( k  x.  2 )  =  ( ( ( 2  x.  x
)  +  1 )  +  1 )  <->  ( k  x.  2 )  =  ( m  +  1 ) ) )
8584rexbidv 2381 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  x
)  +  1 )  =  m  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( ( ( 2  x.  x
)  +  1 )  +  1 )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( m  +  1 ) ) )
8682, 85syl5ibcom 153 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  m  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( m  +  1 ) ) )
8786rexlimdva 2489 . . . 4  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( E. x  e.  ZZ  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  =  m  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( m  +  1 ) ) )
8856, 87orim12d 735 . . 3  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( E. y  e.  ZZ  ( y  x.  2 )  =  m  \/ 
E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  m )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( m  +  1 )  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( m  +  1 ) ) ) )
8938, 88syl5bi 150 . 2  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  m  \/ 
E. y  e.  ZZ  ( y  x.  2 )  =  m )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( m  +  1 )  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( m  +  1 ) ) ) )
905, 19, 24, 29, 37, 89nn0ind 8830 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. n  e.  ZZ  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438   E.wrex 2360  (class class class)co 5634   CCcc 7327   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    x. cmul 7334   2c2 8444   NN0cn0 8643   ZZcz 8720
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721
This theorem is referenced by:  odd2np1  10953
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