Theorem prdsplusgfval 13325

Description: Value of a structure product sum at a single coordinate. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsplusgval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsplusgval.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
prdsplusgfval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdsplusgfval	⊢ (𝜑 → ((𝐹 + 𝐺)‘𝐽) = ((𝐹‘𝐽)(+g‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))

Proof of Theorem prdsplusgfval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsbasmpt.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsbasmpt.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsbasmpt.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsbasmpt.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
6		prdsplusgval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		prdsplusgval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
8		prdsplusgval.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑌)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	prdsplusgval 13324	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
10	9	fveq1d 5631	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 + 𝐺)‘𝐽) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))‘𝐽))
11		eqid 2229	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
12		2fveq3 5634	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (+g‘(𝑅‘𝑥)) = (+g‘(𝑅‘𝐽)))
13		fveq2 5629	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐽))
14		fveq2 5629	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝐽))
15	12, 13, 14	oveq123d 6028	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝐽)(+g‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))
16		prdsplusgfval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
17		fvexg 5648	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝐽) ∈ V)
18	6, 16, 17	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐽) ∈ V)
19		fnex 5865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
20	5, 4, 19	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
21		fvexg 5648	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝐽) ∈ V)
22	20, 16, 21	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐽) ∈ V)
23		plusgslid 13153	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
24	23	slotex 13067	. . . . 5 ⊢ ((𝑅‘𝐽) ∈ V → (+g‘(𝑅‘𝐽)) ∈ V)
25	22, 24	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘(𝑅‘𝐽)) ∈ V)
26		fvexg 5648	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝐽) ∈ V)
27	7, 16, 26	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐽) ∈ V)
28		ovexg 6041	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐽) ∈ V ∧ (+g‘(𝑅‘𝐽)) ∈ V ∧ (𝐺‘𝐽) ∈ V) → ((𝐹‘𝐽)(+g‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)) ∈ V)
29	18, 25, 27, 28	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐽)(+g‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)) ∈ V)
30	11, 15, 16, 29	fvmptd3 5730	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))‘𝐽) = ((𝐹‘𝐽)(+g‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))
31	10, 30	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 + 𝐺)‘𝐽) = ((𝐹‘𝐽)(+g‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ↦ cmpt 4145   Fn wfn 5313  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13040  +_gcplusg 13118  X_scprds 13306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-map 6805  df-ixp 6854  df-sup 7159  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-dec 9587  df-uz 9731  df-fz 10213  df-struct 13042  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-ip 13136  df-tset 13137  df-ple 13138  df-ds 13140  df-hom 13142  df-cco 13143  df-rest 13282  df-topn 13283  df-topgen 13301  df-pt 13302  df-prds 13308

This theorem is referenced by:  prdssgrpd  13456  prdsmndd  13489