Theorem prod0 12145

Description: A product over the empty set is one. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prod0	|- prod_ k e. (/) A = 1

Proof of Theorem prod0

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9504	. 2 |- 1 e. ZZ
2		nnuz 9791	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3		id 19	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. ZZ )
4		1ap0 8769	. . . 4 |- 1 # 0
5	4	a1i 9	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> 1 # 0 )
6	2	prodfclim1 12104	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) ~~> 1 )
7		noel 3498	. . . . . . 7 |- -. j e. (/)
8	7	olci 739	. . . . . 6 |- ( j e. (/) \/ -. j e. (/) )
9		df-dc 842	. . . . . 6 |- (DECID j e. (/) <-> ( j e. (/) \/ -. j e. (/) ) )
10	8, 9	mpbir 146	. . . . 5 |- DECID j e. (/)
11	10	rgenw 2587	. . . 4 |- A. j e. NN DECID j e. (/)
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> A. j e. NN DECID j e. (/) )
13		0ss 3533	. . . 4 |- (/) C_ NN
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> (/) C_ NN )
15		fvconst2g 5867	. . . 4 |- ( ( 1 e. ZZ /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
16		noel 3498	. . . . 5 |- -. k e. (/)
17	16	iffalsei 3614	. . . 4 |- if ( k e. (/) , A , 1 ) = 1
18	15, 17	eqtr4di 2282	. . 3 |- ( ( 1 e. ZZ /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { 1 } ) ` k ) = if ( k e. (/) , A , 1 ) )
19	16	pm2.21i 651	. . . 4 |- ( k e. (/) -> A e. CC )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( 1 e. ZZ /\ k e. (/) ) -> A e. CC )
21	2, 3, 5, 6, 12, 14, 18, 20	zprodap0 12141	. 2 |- ( 1 e. ZZ -> prod_ k e. (/) A = 1 )
22	1, 21	ax-mp 5	1 |- prod_ k e. (/) A = 1

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   \/ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   C_ wss 3200   (/)c0 3494   ifcif 3605   {csn 3669   class class class wbr 4088   X. cxp 4723   ` cfv 5326   CCcc 8029   0cc0 8031   1c1 8032   # cap 8760   NNcn 9142   ZZcz 9478   prod_cprod 12110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-frec 6556  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-ihash 11037  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839  df-proddc 12111

This theorem is referenced by:  prod1dc  12146  fprodf1o  12148  fprodmul  12151  fprodcl2lem  12165  fprodcllem  12166  fprodfac  12175  fprodconst  12180  fprodap0  12181  fprod2d  12183  fprodrec  12189  fprodap0f  12196  fprodle  12200  fprodmodd  12201  gausslemma2dlem4  15792