Theorem sqabs 11647

Description: The squares of two reals are equal iff their absolute values are equal. (Contributed by NM, 6-Mar-2009.)

Assertion

Ref	Expression
sqabs	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( abs ` A ) = ( abs ` B ) ) )

Proof of Theorem sqabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcl 10870	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A ^ 2 ) e. RR )
2		sqge0 10879	. . . . 5 |- ( A e. RR -> 0 <_ ( A ^ 2 ) )
3		absid 11636	. . . . 5 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ 2 ) ) -> ( abs ` ( A ^ 2 ) ) = ( A ^ 2 ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( abs ` ( A ^ 2 ) ) = ( A ^ 2 ) )
5		recn 8165	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
6		2nn0 9419	. . . . 5 |- 2 e. NN0
7		absexp 11644	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( abs ` ( A ^ 2 ) ) = ( ( abs ` A ) ^ 2 ) )
8	5, 6, 7	sylancl 413	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( abs ` ( A ^ 2 ) ) = ( ( abs ` A ) ^ 2 ) )
9	4, 8	eqtr3d 2266	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A ^ 2 ) = ( ( abs ` A ) ^ 2 ) )
10		resqcl 10870	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B ^ 2 ) e. RR )
11		sqge0 10879	. . . . 5 |- ( B e. RR -> 0 <_ ( B ^ 2 ) )
12		absid 11636	. . . . 5 |- ( ( ( B ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( B ^ 2 ) ) -> ( abs ` ( B ^ 2 ) ) = ( B ^ 2 ) )
13	10, 11, 12	syl2anc 411	. . . 4 |- ( B e. RR -> ( abs ` ( B ^ 2 ) ) = ( B ^ 2 ) )
14		recn 8165	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B e. CC )
15		absexp 11644	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( abs ` ( B ^ 2 ) ) = ( ( abs ` B ) ^ 2 ) )
16	14, 6, 15	sylancl 413	. . . 4 |- ( B e. RR -> ( abs ` ( B ^ 2 ) ) = ( ( abs ` B ) ^ 2 ) )
17	13, 16	eqtr3d 2266	. . 3 |- ( B e. RR -> ( B ^ 2 ) = ( ( abs ` B ) ^ 2 ) )
18	9, 17	eqeqan12d 2247	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) )
19		abscl 11616	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
20		absge0 11625	. . . . 5 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
21	19, 20	jca 306	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
22		abscl 11616	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( abs ` B ) e. RR )
23		absge0 11625	. . . . 5 |- ( B e. CC -> 0 <_ ( abs ` B ) )
24	22, 23	jca 306	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
25		sq11 10875	. . . 4 |- ( ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) /\ ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( ( abs ` B ) ^ 2 ) <-> ( abs ` A ) = ( abs ` B ) ) )
26	21, 24, 25	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( ( abs ` B ) ^ 2 ) <-> ( abs ` A ) = ( abs ` B ) ) )
27	5, 14, 26	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( ( abs ` B ) ^ 2 ) <-> ( abs ` A ) = ( abs ` B ) ) )
28	18, 27	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( abs ` A ) = ( abs ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   CCcc 8030   RRcr 8031   0cc0 8032   <_ cle 8215   2c2 9194   NN0cn0 9402   ^cexp 10801   abscabs 11562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-rp 9889  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564

This theorem is referenced by:  coskpi  15578  qdiff  16679