ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqabs Unicode version

Theorem sqabs 10515
Description: The squares of two reals are equal iff their absolute values are equal. (Contributed by NM, 6-Mar-2009.)
Assertion
Ref Expression
sqabs  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A ^
2 )  =  ( B ^ 2 )  <-> 
( abs `  A
)  =  ( abs `  B ) ) )

Proof of Theorem sqabs
StepHypRef Expression
1 resqcl 10022 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
2 sqge0 10031 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( A ^ 2 ) )
3 absid 10504 . . . . 5  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( A ^
2 ) )  -> 
( abs `  ( A ^ 2 ) )  =  ( A ^
2 ) )
41, 2, 3syl2anc 403 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  ( A ^
2 ) )  =  ( A ^ 2 ) )
5 recn 7475 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
6 2nn0 8690 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
7 absexp 10512 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( abs `  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )
85, 6, 7sylancl 404 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  ( A ^
2 ) )  =  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )
94, 8eqtr3d 2122 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A ^ 2 )  =  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) )
10 resqcl 10022 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
11 sqge0 10031 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  0  <_  ( B ^ 2 ) )
12 absid 10504 . . . . 5  |-  ( ( ( B ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( B ^
2 ) )  -> 
( abs `  ( B ^ 2 ) )  =  ( B ^
2 ) )
1310, 11, 12syl2anc 403 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  ( abs `  ( B ^
2 ) )  =  ( B ^ 2 ) )
14 recn 7475 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
15 absexp 10512 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( abs `  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )
1614, 6, 15sylancl 404 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  ( abs `  ( B ^
2 ) )  =  ( ( abs `  B
) ^ 2 ) )
1713, 16eqtr3d 2122 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B ^ 2 )  =  ( ( abs `  B
) ^ 2 ) )
189, 17eqeqan12d 2103 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A ^
2 )  =  ( B ^ 2 )  <-> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) ) )
19 abscl 10484 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
20 absge0 10493 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
2119, 20jca 300 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) ) )
22 abscl 10484 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
23 absge0 10493 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
2422, 23jca 300 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( abs `  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  B
) ) )
25 sq11 10027 . . . 4  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  /\  (
( abs `  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  B
) ) )  -> 
( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  =  ( ( abs `  B ) ^ 2 )  <->  ( abs `  A )  =  ( abs `  B ) ) )
2621, 24, 25syl2an 283 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  =  ( ( abs `  B ) ^ 2 )  <->  ( abs `  A )  =  ( abs `  B ) ) )
275, 14, 26syl2an 283 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  =  ( ( abs `  B ) ^ 2 )  <->  ( abs `  A )  =  ( abs `  B ) ) )
2818, 27bitrd 186 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A ^
2 )  =  ( B ^ 2 )  <-> 
( abs `  A
)  =  ( abs `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3845   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   CCcc 7348   RRcr 7349   0cc0 7350    <_ cle 7523   2c2 8473   NN0cn0 8673   ^cexp 9954   abscabs 10430
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464  ax-caucvg 7465
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-rp 9135  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator