Theorem coskpi 15516

Description: The absolute value of the cosine of an integer multiple of pi is 1. (Contributed by NM, 19-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
coskpi	|- ( K e. ZZ -> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = 1 )

Proof of Theorem coskpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9447	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
2		2cn 9177	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
3		picn 15455	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. CC
4		mul12 8271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ 2 e. CC /\ pi e. CC ) -> ( K x. ( 2 x. pi ) ) = ( 2 x. ( K x. pi ) ) )
5	2, 3, 4	mp3an23 1363	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. CC -> ( K x. ( 2 x. pi ) ) = ( 2 x. ( K x. pi ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( K x. ( 2 x. pi ) ) = ( 2 x. ( K x. pi ) ) )
7	6	fveq2d 5630	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( K x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( cos ` ( 2 x. ( K x. pi ) ) ) )
8		cos2kpi 15480	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( K x. ( 2 x. pi ) ) ) = 1 )
9		zre 9446	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
10		pire 15454	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. RR
11		remulcl 8123	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. RR /\ pi e. RR ) -> ( K x. pi ) e. RR )
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> ( K x. pi ) e. RR )
13	12	recnd 8171	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( K x. pi ) e. CC )
14		cos2t 12256	. . . . . . . . 9 |- ( ( K x. pi ) e. CC -> ( cos ` ( 2 x. ( K x. pi ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( 2 x. ( K x. pi ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
16	7, 8, 15	3eqtr3rd 2271	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = 1 )
17	12	recoscld 12230	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( K x. pi ) ) e. RR )
18	17	recnd 8171	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( K x. pi ) ) e. CC )
19	18	sqcld 10888	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) e. CC )
20		mulcl 8122	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
21	2, 19, 20	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
22		ax-1cn 8088	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
23		subadd 8345	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) ) )
24	22, 22, 23	mp3an23 1363	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) e. CC -> ( ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) ) )
25	21, 24	syl 14	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> ( ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) ) )
26	16, 25	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) )
27		2t1e2 9260	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 1 ) = 2
28		df-2 9165	. . . . . . 7 |- 2 = ( 1 + 1 )
29	27, 28	eqtr2i 2251	. . . . . 6 |- ( 1 + 1 ) = ( 2 x. 1 )
30	26, 29	eqtr3di 2277	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 1 ) )
31		2ap0 9199	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
32	2, 31	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
33		mulcanap 8808	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 1 ) <-> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = 1 ) )
34	22, 32, 33	mp3an23 1363	. . . . . 6 |- ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) e. CC -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 1 ) <-> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = 1 ) )
35	19, 34	syl 14	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 1 ) <-> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = 1 ) )
36	30, 35	mpbid 147	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = 1 )
37		sq1 10850	. . . 4 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
38	36, 37	eqtr4di 2280	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
39		1re 8141	. . . 4 |- 1 e. RR
40		sqabs 11588	. . . 4 |- ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = ( abs ` 1 ) ) )
41	17, 39, 40	sylancl 413	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = ( abs ` 1 ) ) )
42	38, 41	mpbid 147	. 2 |- ( K e. ZZ -> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = ( abs ` 1 ) )
43		abs1 11578	. 2 |- ( abs ` 1 ) = 1
44	42, 43	eqtrdi 2278	1 |- ( K e. ZZ -> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4082   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   CCcc 7993   RRcr 7994   0cc0 7995   1c1 7996   + caddc 7998   x. cmul 8000   - cmin 8313   # cap 8724   2c2 9157   ZZcz 9442   ^cexp 10755   abscabs 11503   cosccos 12151   picpi 12153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115  ax-pre-suploc 8116  ax-addf 8117  ax-mulf 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-disj 4059  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-of 6216  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-frec 6535  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-er 6678  df-map 6795  df-pm 6796  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-sup 7147  df-inf 7148  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-xneg 9964  df-xadd 9965  df-ioo 10084  df-ioc 10085  df-ico 10086  df-icc 10087  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-fac 10943  df-bc 10965  df-ihash 10993  df-shft 11321  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-clim 11785  df-sumdc 11860  df-ef 12154  df-sin 12156  df-cos 12157  df-pi 12159  df-rest 13269  df-topgen 13288  df-psmet 14501  df-xmet 14502  df-met 14503  df-bl 14504  df-mopn 14505  df-top 14666  df-topon 14679  df-bases 14711  df-ntr 14764  df-cn 14856  df-cnp 14857  df-tx 14921  df-cncf 15239  df-limced 15324  df-dvap 15325

This theorem is referenced by: (None)