Theorem coskpi 13936

Description: The absolute value of the cosine of an integer multiple of pi is 1. (Contributed by NM, 19-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
coskpi	|- ( K e. ZZ -> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = 1 )

Proof of Theorem coskpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9247	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
2		2cn 8979	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
3		picn 13875	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. CC
4		mul12 8076	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ 2 e. CC /\ pi e. CC ) -> ( K x. ( 2 x. pi ) ) = ( 2 x. ( K x. pi ) ) )
5	2, 3, 4	mp3an23 1329	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. CC -> ( K x. ( 2 x. pi ) ) = ( 2 x. ( K x. pi ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( K x. ( 2 x. pi ) ) = ( 2 x. ( K x. pi ) ) )
7	6	fveq2d 5515	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( K x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( cos ` ( 2 x. ( K x. pi ) ) ) )
8		cos2kpi 13900	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( K x. ( 2 x. pi ) ) ) = 1 )
9		zre 9246	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
10		pire 13874	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. RR
11		remulcl 7930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. RR /\ pi e. RR ) -> ( K x. pi ) e. RR )
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> ( K x. pi ) e. RR )
13	12	recnd 7976	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( K x. pi ) e. CC )
14		cos2t 11742	. . . . . . . . 9 |- ( ( K x. pi ) e. CC -> ( cos ` ( 2 x. ( K x. pi ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( 2 x. ( K x. pi ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
16	7, 8, 15	3eqtr3rd 2219	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = 1 )
17	12	recoscld 11716	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( K x. pi ) ) e. RR )
18	17	recnd 7976	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( K x. pi ) ) e. CC )
19	18	sqcld 10637	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) e. CC )
20		mulcl 7929	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
21	2, 19, 20	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
22		ax-1cn 7895	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
23		subadd 8150	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) ) )
24	22, 22, 23	mp3an23 1329	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) e. CC -> ( ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) ) )
25	21, 24	syl 14	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> ( ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) ) )
26	16, 25	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) )
27		2t1e2 9061	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 1 ) = 2
28		df-2 8967	. . . . . . 7 |- 2 = ( 1 + 1 )
29	27, 28	eqtr2i 2199	. . . . . 6 |- ( 1 + 1 ) = ( 2 x. 1 )
30	26, 29	eqtr3di 2225	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 1 ) )
31		2ap0 9001	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
32	2, 31	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
33		mulcanap 8611	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 1 ) <-> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = 1 ) )
34	22, 32, 33	mp3an23 1329	. . . . . 6 |- ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) e. CC -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 1 ) <-> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = 1 ) )
35	19, 34	syl 14	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 1 ) <-> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = 1 ) )
36	30, 35	mpbid 147	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = 1 )
37		sq1 10599	. . . 4 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
38	36, 37	eqtr4di 2228	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
39		1re 7947	. . . 4 |- 1 e. RR
40		sqabs 11075	. . . 4 |- ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = ( abs ` 1 ) ) )
41	17, 39, 40	sylancl 413	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = ( abs ` 1 ) ) )
42	38, 41	mpbid 147	. 2 |- ( K e. ZZ -> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = ( abs ` 1 ) )
43		abs1 11065	. 2 |- ( abs ` 1 ) = 1
44	42, 43	eqtrdi 2226	1 |- ( K e. ZZ -> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4000   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   RRcr 7801   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   x. cmul 7807   - cmin 8118   # cap 8528   2c2 8959   ZZcz 9242   ^cexp 10505   abscabs 10990   cosccos 11637   picpi 11639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922  ax-pre-suploc 7923  ax-addf 7924  ax-mulf 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-of 6077  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-map 6644  df-pm 6645  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-5 8970  df-6 8971  df-7 8972  df-8 8973  df-9 8974  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-ioo 9879  df-ioc 9880  df-ico 9881  df-icc 9882  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-fac 10690  df-bc 10712  df-ihash 10740  df-shft 10808  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346  df-ef 11640  df-sin 11642  df-cos 11643  df-pi 11645  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-ntr 13263  df-cn 13355  df-cnp 13356  df-tx 13420  df-cncf 13725  df-limced 13792  df-dvap 13793

This theorem is referenced by: (None)