ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  coskpi Unicode version
Theorem coskpi 15872
Description: The absolute value of the cosine of an integer multiple of pi is 1. (Contributed by NM, 19-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
coskpi |- ( K e. ZZ -> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = 1 )
Proof of Theorem coskpi
StepHypRef Expression
1 zcn 9628 . . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
2 2cn 9354 . . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
3 picn 15811 . . . . . . . . . . 11 |- pi e. CC
4 mul12 8445 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ 2 e. CC /\ pi e. CC ) -> ( K x. ( 2 x. pi ) ) = ( 2 x. ( K x. pi ) ) )
52, 3, 4mp3an23 1370 . . . . . . . . . 10 |- ( K e. CC -> ( K x. ( 2 x. pi ) ) = ( 2 x. ( K x. pi ) ) )
61, 5syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( K x. ( 2 x. pi ) ) = ( 2 x. ( K x. pi ) ) )
76fveq2d 5694 . . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( K x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( cos ` ( 2 x. ( K x. pi ) ) ) )
8 cos2kpi 15836 . . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( K x. ( 2 x. pi ) ) ) = 1 )
9 zre 9627 . . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
10 pire 15810 . . . . . . . . . . 11 |- pi e. RR
11 remulcl 8297 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. RR /\ pi e. RR ) -> ( K x. pi ) e. RR )
129, 10, 11sylancl 417 . . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> ( K x. pi ) e. RR )
1312recnd 8344 . . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( K x. pi ) e. CC )
14 cos2t 12495 . . . . . . . . 9 |- ( ( K x. pi ) e. CC -> ( cos ` ( 2 x. ( K x. pi ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
1513, 14syl 14 . . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( 2 x. ( K x. pi ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
167, 8, 153eqtr3rd 2280 . . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = 1 )
1712recoscld 12469 . . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( K x. pi ) ) e. RR )
1817recnd 8344 . . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( K x. pi ) ) e. CC )
1918sqcld 11087 . . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) e. CC )
20 mulcl 8296 . . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
212, 19, 20sylancr 418 . . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
22 ax-1cn 8262 . . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
23 subadd 8519 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) ) )
2422, 22, 23mp3an23 1370 . . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) e. CC -> ( ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) ) )
2521, 24syl 14 . . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> ( ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) ) )
2616, 25mpbid 147 . . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) )
27 2t1e2 9437 . . . . . . 7 |- ( 2 x. 1 ) = 2
28 df-2 9342 . . . . . . 7 |- 2 = ( 1 + 1 )
2927, 28eqtr2i 2260 . . . . . 6 |- ( 1 + 1 ) = ( 2 x. 1 )
3026, 29eqtr3di 2286 . . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 1 ) )
31 2ap0 9376 . . . . . . . 8 |- 2 # 0
322, 31pm3.2i 272 . . . . . . 7 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
33 mulcanap 8983 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 1 ) <-> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = 1 ) )
3422, 32, 33mp3an23 1370 . . . . . 6 |- ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) e. CC -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 1 ) <-> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = 1 ) )
3519, 34syl 14 . . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 1 ) <-> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = 1 ) )
3630, 35mpbid 147 . . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = 1 )
37 sq1 11048 . . . 4 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
3836, 37eqtr4di 2289 . . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
39 1re 8315 . . . 4 |- 1 e. RR
40 sqabs 11826 . . . 4 |- ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = ( abs ` 1 ) ) )
4117, 39, 40sylancl 417 . . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = ( abs ` 1 ) ) )
4238, 41mpbid 147 . 2 |- ( K e. ZZ -> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = ( abs ` 1 ) )
43 abs1 11816 . 2 |- ( abs ` 1 ) = 1
4442, 43eqtrdi 2287 1 |- ( K e. ZZ -> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   - cmin 8487   # cap 8899   2c2 9334   ZZcz 9623   ^cexp 10953   abscabs 11741   cosccos 12390   picpi 12392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289  ax-pre-suploc 8290  ax-addf 8291  ax-mulf 8292
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-disj 4102  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-of 6292  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-map 6914  df-pm 6915  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-xneg 10153  df-xadd 10154  df-ioo 10273  df-ioc 10274  df-ico 10275  df-icc 10276  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-fac 11142  df-bc 11164  df-ihash 11193  df-shft 11558  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098  df-ef 12393  df-sin 12395  df-cos 12396  df-pi 12398  df-rest 13572  df-topgen 13591  df-psmet 14852  df-xmet 14853  df-met 14854  df-bl 14855  df-mopn 14856  df-top 15022  df-topon 15035  df-bases 15067  df-ntr 15120  df-cn 15212  df-cnp 15213  df-tx 15277  df-cncf 15595  df-limced 15680  df-dvap 15681
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator