Theorem coskpi 15562

Description: The absolute value of the cosine of an integer multiple of pi is 1. (Contributed by NM, 19-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
coskpi	|- ( K e. ZZ -> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = 1 )

Proof of Theorem coskpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9474	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
2		2cn 9204	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
3		picn 15501	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. CC
4		mul12 8298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ 2 e. CC /\ pi e. CC ) -> ( K x. ( 2 x. pi ) ) = ( 2 x. ( K x. pi ) ) )
5	2, 3, 4	mp3an23 1363	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. CC -> ( K x. ( 2 x. pi ) ) = ( 2 x. ( K x. pi ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( K x. ( 2 x. pi ) ) = ( 2 x. ( K x. pi ) ) )
7	6	fveq2d 5639	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( K x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( cos ` ( 2 x. ( K x. pi ) ) ) )
8		cos2kpi 15526	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( K x. ( 2 x. pi ) ) ) = 1 )
9		zre 9473	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
10		pire 15500	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. RR
11		remulcl 8150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. RR /\ pi e. RR ) -> ( K x. pi ) e. RR )
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> ( K x. pi ) e. RR )
13	12	recnd 8198	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( K x. pi ) e. CC )
14		cos2t 12301	. . . . . . . . 9 |- ( ( K x. pi ) e. CC -> ( cos ` ( 2 x. ( K x. pi ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( 2 x. ( K x. pi ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
16	7, 8, 15	3eqtr3rd 2271	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = 1 )
17	12	recoscld 12275	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( K x. pi ) ) e. RR )
18	17	recnd 8198	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( K x. pi ) ) e. CC )
19	18	sqcld 10923	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) e. CC )
20		mulcl 8149	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
21	2, 19, 20	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
22		ax-1cn 8115	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
23		subadd 8372	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) ) )
24	22, 22, 23	mp3an23 1363	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) e. CC -> ( ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) ) )
25	21, 24	syl 14	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> ( ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) ) )
26	16, 25	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) )
27		2t1e2 9287	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 1 ) = 2
28		df-2 9192	. . . . . . 7 |- 2 = ( 1 + 1 )
29	27, 28	eqtr2i 2251	. . . . . 6 |- ( 1 + 1 ) = ( 2 x. 1 )
30	26, 29	eqtr3di 2277	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 1 ) )
31		2ap0 9226	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
32	2, 31	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
33		mulcanap 8835	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 1 ) <-> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = 1 ) )
34	22, 32, 33	mp3an23 1363	. . . . . 6 |- ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) e. CC -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 1 ) <-> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = 1 ) )
35	19, 34	syl 14	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 1 ) <-> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = 1 ) )
36	30, 35	mpbid 147	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = 1 )
37		sq1 10885	. . . 4 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
38	36, 37	eqtr4di 2280	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
39		1re 8168	. . . 4 |- 1 e. RR
40		sqabs 11633	. . . 4 |- ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = ( abs ` 1 ) ) )
41	17, 39, 40	sylancl 413	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = ( abs ` 1 ) ) )
42	38, 41	mpbid 147	. 2 |- ( K e. ZZ -> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = ( abs ` 1 ) )
43		abs1 11623	. 2 |- ( abs ` 1 ) = 1
44	42, 43	eqtrdi 2278	1 |- ( K e. ZZ -> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   CCcc 8020   RRcr 8021   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   x. cmul 8027   - cmin 8340   # cap 8751   2c2 9184   ZZcz 9469   ^cexp 10790   abscabs 11548   cosccos 12196   picpi 12198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142  ax-pre-suploc 8143  ax-addf 8144  ax-mulf 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-disj 4063  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-of 6230  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-map 6814  df-pm 6815  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-xneg 9997  df-xadd 9998  df-ioo 10117  df-ioc 10118  df-ico 10119  df-icc 10120  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-fac 10978  df-bc 11000  df-ihash 11028  df-shft 11366  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-sumdc 11905  df-ef 12199  df-sin 12201  df-cos 12202  df-pi 12204  df-rest 13314  df-topgen 13333  df-psmet 14547  df-xmet 14548  df-met 14549  df-bl 14550  df-mopn 14551  df-top 14712  df-topon 14725  df-bases 14757  df-ntr 14810  df-cn 14902  df-cnp 14903  df-tx 14967  df-cncf 15285  df-limced 15370  df-dvap 15371

This theorem is referenced by: (None)