Theorem coskpi 13563

Description: The absolute value of the cosine of an integer multiple of pi is 1. (Contributed by NM, 19-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
coskpi	|- ( K e. ZZ -> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = 1 )

Proof of Theorem coskpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9217	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
2		2cn 8949	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
3		picn 13502	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. CC
4		mul12 8048	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ 2 e. CC /\ pi e. CC ) -> ( K x. ( 2 x. pi ) ) = ( 2 x. ( K x. pi ) ) )
5	2, 3, 4	mp3an23 1324	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. CC -> ( K x. ( 2 x. pi ) ) = ( 2 x. ( K x. pi ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( K x. ( 2 x. pi ) ) = ( 2 x. ( K x. pi ) ) )
7	6	fveq2d 5500	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( K x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( cos ` ( 2 x. ( K x. pi ) ) ) )
8		cos2kpi 13527	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( K x. ( 2 x. pi ) ) ) = 1 )
9		zre 9216	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
10		pire 13501	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. RR
11		remulcl 7902	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. RR /\ pi e. RR ) -> ( K x. pi ) e. RR )
12	9, 10, 11	sylancl 411	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> ( K x. pi ) e. RR )
13	12	recnd 7948	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( K x. pi ) e. CC )
14		cos2t 11713	. . . . . . . . 9 |- ( ( K x. pi ) e. CC -> ( cos ` ( 2 x. ( K x. pi ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( 2 x. ( K x. pi ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
16	7, 8, 15	3eqtr3rd 2212	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = 1 )
17	12	recoscld 11687	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( K x. pi ) ) e. RR )
18	17	recnd 7948	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( K x. pi ) ) e. CC )
19	18	sqcld 10607	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) e. CC )
20		mulcl 7901	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
21	2, 19, 20	sylancr 412	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
22		ax-1cn 7867	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
23		subadd 8122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) ) )
24	22, 22, 23	mp3an23 1324	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) e. CC -> ( ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) ) )
25	21, 24	syl 14	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> ( ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) ) )
26	16, 25	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) )
27		2t1e2 9031	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 1 ) = 2
28		df-2 8937	. . . . . . 7 |- 2 = ( 1 + 1 )
29	27, 28	eqtr2i 2192	. . . . . 6 |- ( 1 + 1 ) = ( 2 x. 1 )
30	26, 29	eqtr3di 2218	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 1 ) )
31		2ap0 8971	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
32	2, 31	pm3.2i 270	. . . . . . 7 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
33		mulcanap 8583	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 1 ) <-> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = 1 ) )
34	22, 32, 33	mp3an23 1324	. . . . . 6 |- ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) e. CC -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 1 ) <-> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = 1 ) )
35	19, 34	syl 14	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( ( 2 x. ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 1 ) <-> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = 1 ) )
36	30, 35	mpbid 146	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = 1 )
37		sq1 10569	. . . 4 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
38	36, 37	eqtr4di 2221	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
39		1re 7919	. . . 4 |- 1 e. RR
40		sqabs 11046	. . . 4 |- ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = ( abs ` 1 ) ) )
41	17, 39, 40	sylancl 411	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( ( cos ` ( K x. pi ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = ( abs ` 1 ) ) )
42	38, 41	mpbid 146	. 2 |- ( K e. ZZ -> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = ( abs ` 1 ) )
43		abs1 11036	. 2 |- ( abs ` 1 ) = 1
44	42, 43	eqtrdi 2219	1 |- ( K e. ZZ -> ( abs ` ( cos ` ( K x. pi ) ) ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   - cmin 8090   # cap 8500   2c2 8929   ZZcz 9212   ^cexp 10475   abscabs 10961   cosccos 11608   picpi 11610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894  ax-pre-suploc 7895  ax-addf 7896  ax-mulf 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-of 6061  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-map 6628  df-pm 6629  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-ioo 9849  df-ioc 9850  df-ico 9851  df-icc 9852  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-bc 10682  df-ihash 10710  df-shft 10779  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317  df-ef 11611  df-sin 11613  df-cos 11614  df-pi 11616  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-ntr 12890  df-cn 12982  df-cnp 12983  df-tx 13047  df-cncf 13352  df-limced 13419  df-dvap 13420

This theorem is referenced by: (None)