ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  coskpi Unicode version

Theorem coskpi 12939
Description: The absolute value of the cosine of an integer multiple of  pi is 1. (Contributed by NM, 19-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
coskpi  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( cos `  ( K  x.  pi )
) )  =  1 )

Proof of Theorem coskpi
StepHypRef Expression
1 2t1e2 8880 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
2 df-2 8786 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 1  +  1 )
31, 2eqtr2i 2161 . . . . . 6  |-  ( 1  +  1 )  =  ( 2  x.  1 )
4 zcn 9066 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
5 2cn 8798 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
6 picn 12878 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
7 mul12 7898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  ->  ( K  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  ( K  x.  pi ) ) )
85, 6, 7mp3an23 1307 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  CC  ->  ( K  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  ( K  x.  pi ) ) )
94, 8syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  ( K  x.  pi ) ) )
109fveq2d 5425 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( cos `  ( K  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( cos `  (
2  x.  ( K  x.  pi ) ) ) )
11 cos2kpi 12903 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( cos `  ( K  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  1 )
12 zre 9065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
13 pire 12877 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
14 remulcl 7755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( K  x.  pi )  e.  RR )
1512, 13, 14sylancl 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  x.  pi )  e.  RR )
1615recnd 7801 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  x.  pi )  e.  CC )
17 cos2t 11464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  x.  pi )  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( K  x.  pi ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( K  x.  pi )
) ^ 2 ) )  -  1 ) )
1816, 17syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( K  x.  pi ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( K  x.  pi )
) ^ 2 ) )  -  1 ) )
1910, 11, 183eqtr3rd 2181 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  (
( cos `  ( K  x.  pi )
) ^ 2 ) )  -  1 )  =  1 )
2015recoscld 11438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( cos `  ( K  x.  pi ) )  e.  RR )
2120recnd 7801 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( cos `  ( K  x.  pi ) )  e.  CC )
2221sqcld 10429 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( cos `  ( K  x.  pi )
) ^ 2 )  e.  CC )
23 mulcl 7754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( cos `  ( K  x.  pi )
) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
( cos `  ( K  x.  pi )
) ^ 2 ) )  e.  CC )
245, 22, 23sylancr 410 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( K  x.  pi ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
25 ax-1cn 7720 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
26 subadd 7972 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  (
( cos `  ( K  x.  pi )
) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( 2  x.  ( ( cos `  ( K  x.  pi )
) ^ 2 ) )  -  1 )  =  1  <->  ( 1  +  1 )  =  ( 2  x.  (
( cos `  ( K  x.  pi )
) ^ 2 ) ) ) )
2725, 25, 26mp3an23 1307 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( K  x.  pi ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  ( ( cos `  ( K  x.  pi )
) ^ 2 ) )  -  1 )  =  1  <->  ( 1  +  1 )  =  ( 2  x.  (
( cos `  ( K  x.  pi )
) ^ 2 ) ) ) )
2824, 27syl 14 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  ( ( cos `  ( K  x.  pi )
) ^ 2 ) )  -  1 )  =  1  <->  ( 1  +  1 )  =  ( 2  x.  (
( cos `  ( K  x.  pi )
) ^ 2 ) ) ) )
2919, 28mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
1  +  1 )  =  ( 2  x.  ( ( cos `  ( K  x.  pi )
) ^ 2 ) ) )
303, 29syl5reqr 2187 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( K  x.  pi ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  1 ) )
31 2ap0 8820 . . . . . . . 8  |-  2 #  0
325, 31pm3.2i 270 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 )
33 mulcanap 8433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( cos `  ( K  x.  pi )
) ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  ( ( cos `  ( K  x.  pi )
) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  1 )  <->  ( ( cos `  ( K  x.  pi ) ) ^ 2 )  =  1 ) )
3425, 32, 33mp3an23 1307 . . . . . 6  |-  ( ( ( cos `  ( K  x.  pi )
) ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
( cos `  ( K  x.  pi )
) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  1 )  <->  ( ( cos `  ( K  x.  pi ) ) ^ 2 )  =  1 ) )
3522, 34syl 14 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  (
( cos `  ( K  x.  pi )
) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  1 )  <->  ( ( cos `  ( K  x.  pi ) ) ^ 2 )  =  1 ) )
3630, 35mpbid 146 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( cos `  ( K  x.  pi )
) ^ 2 )  =  1 )
37 sq1 10393 . . . 4  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
3836, 37syl6eqr 2190 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( cos `  ( K  x.  pi )
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
39 1re 7772 . . . 4  |-  1  e.  RR
40 sqabs 10861 . . . 4  |-  ( ( ( cos `  ( K  x.  pi )
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( cos `  ( K  x.  pi ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( abs `  ( cos `  ( K  x.  pi )
) )  =  ( abs `  1 ) ) )
4120, 39, 40sylancl 409 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( ( cos `  ( K  x.  pi )
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( abs `  ( cos `  ( K  x.  pi )
) )  =  ( abs `  1 ) ) )
4238, 41mpbid 146 . 2  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( cos `  ( K  x.  pi )
) )  =  ( abs `  1 ) )
43 abs1 10851 . 2  |-  ( abs `  1 )  =  1
4442, 43syl6eq 2188 1  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( cos `  ( K  x.  pi )
) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7625   RRcr 7626   0cc0 7627   1c1 7628    + caddc 7630    x. cmul 7632    - cmin 7940   # cap 8350   2c2 8778   ZZcz 9061   ^cexp 10299   abscabs 10776   cosccos 11358   picpi 11360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747  ax-pre-suploc 7748  ax-addf 7749  ax-mulf 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-5 8789  df-6 8790  df-7 8791  df-8 8792  df-9 8793  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-xneg 9566  df-xadd 9567  df-ioo 9682  df-ioc 9683  df-ico 9684  df-icc 9685  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-bc 10501  df-ihash 10529  df-shft 10594  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361  df-sin 11363  df-cos 11364  df-pi 11366  df-rest 12132  df-topgen 12151  df-psmet 12166  df-xmet 12167  df-met 12168  df-bl 12169  df-mopn 12170  df-top 12175  df-topon 12188  df-bases 12220  df-ntr 12275  df-cn 12367  df-cnp 12368  df-tx 12432  df-cncf 12737  df-limced 12804  df-dvap 12805
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator