Theorem sqabs 11437

Description: The squares of two reals are equal iff their absolute values are equal. (Contributed by NM, 6-Mar-2009.)

Assertion

Ref	Expression
sqabs	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem sqabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcl 10759	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
2		sqge0 10768	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴↑2))
3		absid 11426	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑2)) → (abs‘(𝐴↑2)) = (𝐴↑2))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴↑2)) = (𝐴↑2))
5		recn 8065	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		2nn0 9319	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		absexp 11434	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑2)) = ((abs‘𝐴)↑2))
8	5, 6, 7	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴↑2)) = ((abs‘𝐴)↑2))
9	4, 8	eqtr3d 2241	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) = ((abs‘𝐴)↑2))
10		resqcl 10759	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
11		sqge0 10768	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐵↑2))
12		absid 11426	. . . . 5 ⊢ (((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)) → (abs‘(𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
13	10, 11, 12	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (abs‘(𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
14		recn 8065	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
15		absexp 11434	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵↑2)) = ((abs‘𝐵)↑2))
16	14, 6, 15	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (abs‘(𝐵↑2)) = ((abs‘𝐵)↑2))
17	13, 16	eqtr3d 2241	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑2) = ((abs‘𝐵)↑2))
18	9, 17	eqeqan12d 2222	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐵)↑2)))
19		abscl 11406	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
20		absge0 11415	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
21	19, 20	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
22		abscl 11406	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
23		absge0 11415	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐵))
24	22, 23	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
25		sq11 10764	. . . 4 ⊢ ((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) ∧ ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵))) → (((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐵)↑2) ↔ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)))
26	21, 24, 25	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐵)↑2) ↔ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)))
27	5, 14, 26	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐵)↑2) ↔ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)))
28	18, 27	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4047  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  ℂcc 7930  ℝcr 7931  0cc0 7932   ≤ cle 8115  2c2 9094  ℕ₀cn0 9302  ↑cexp 10690  abscabs 11352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-rp 9783  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354

This theorem is referenced by:  coskpi  15364