ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqabs GIF version

Theorem sqabs 10794
Description: The squares of two reals are equal iff their absolute values are equal. (Contributed by NM, 6-Mar-2009.)
Assertion
Ref Expression
sqabs ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem sqabs
StepHypRef Expression
1 resqcl 10300 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
2 sqge0 10309 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴↑2))
3 absid 10783 . . . . 5 (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑2)) → (abs‘(𝐴↑2)) = (𝐴↑2))
41, 2, 3syl2anc 406 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴↑2)) = (𝐴↑2))
5 recn 7717 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6 2nn0 8945 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
7 absexp 10791 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑2)) = ((abs‘𝐴)↑2))
85, 6, 7sylancl 407 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴↑2)) = ((abs‘𝐴)↑2))
94, 8eqtr3d 2150 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) = ((abs‘𝐴)↑2))
10 resqcl 10300 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
11 sqge0 10309 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐵↑2))
12 absid 10783 . . . . 5 (((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)) → (abs‘(𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
1310, 11, 12syl2anc 406 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → (abs‘(𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
14 recn 7717 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
15 absexp 10791 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵↑2)) = ((abs‘𝐵)↑2))
1614, 6, 15sylancl 407 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → (abs‘(𝐵↑2)) = ((abs‘𝐵)↑2))
1713, 16eqtr3d 2150 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑2) = ((abs‘𝐵)↑2))
189, 17eqeqan12d 2131 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐵)↑2)))
19 abscl 10763 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
20 absge0 10772 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
2119, 20jca 302 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
22 abscl 10763 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
23 absge0 10772 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐵))
2422, 23jca 302 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
25 sq11 10305 . . . 4 ((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) ∧ ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵))) → (((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐵)↑2) ↔ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)))
2621, 24, 25syl2an 285 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐵)↑2) ↔ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)))
275, 14, 26syl2an 285 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐵)↑2) ↔ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)))
2818, 27bitrd 187 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1314  wcel 1463   class class class wbr 3897  cfv 5091  (class class class)co 5740  cc 7582  cr 7583  0cc0 7584  cle 7765  2c2 8728  0cn0 8928  cexp 10232  abscabs 10709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-rp 9391  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator