Theorem fsumcllem 11200

Description: - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcllem.1	|- ( ph -> S C_ CC )
fsumcllem.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
fsumcllem.3	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcllem.4	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
fsumcllem.5	|- ( ph -> 0 e. S )

Assertion

Ref	Expression
fsumcllem	|- ( ph -> sum_ k e. A B e. S )

Distinct variable groups:   A, k, x, y   x, B, y   S, k, x, y   ph, k, x, y

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumcllem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> A = (/) )
2	1	sumeq1d 11167	. . . 4 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. (/) B )
3		sum0 11189	. . . 4 |- sum_ k e. (/) B = 0
4	2, 3	eqtrdi 2189	. . 3 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> sum_ k e. A B = 0 )
5		fsumcllem.5	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. S )
6	5	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> 0 e. S )
7	4, 6	eqeltrd 2217	. 2 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> sum_ k e. A B e. S )
8		fsumcllem.1	. . . 4 |- ( ph -> S C_ CC )
9	8	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ E. z z e. A ) -> S C_ CC )
10		fsumcllem.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
11	10	adantlr 469	. . 3 |- ( ( ( ph /\ E. z z e. A ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
12		fsumcllem.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
13	12	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ E. z z e. A ) -> A e. Fin )
14		fsumcllem.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
15	14	adantlr 469	. . 3 |- ( ( ( ph /\ E. z z e. A ) /\ k e. A ) -> B e. S )
16		n0r 3381	. . . 4 |- ( E. z z e. A -> A =/= (/) )
17	16	adantl 275	. . 3 |- ( ( ph /\ E. z z e. A ) -> A =/= (/) )
18	9, 11, 13, 15, 17	fsumcl2lem 11199	. 2 |- ( ( ph /\ E. z z e. A ) -> sum_ k e. A B e. S )
19		fin0or 6788	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ E. z z e. A ) )
20	12, 19	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ E. z z e. A ) )
21	7, 18, 20	mpjaodan 788	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   =/= wne 2309   C_ wss 3076   (/)c0 3368  (class class class)co 5782   Fincfn 6642   CCcc 7642   0cc0 7644   + caddc 7647   sum_csu 11154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-ihash 10554  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155

This theorem is referenced by:  fsumcl  11201  fsumrecl  11202  fsumzcl  11203  fsumnn0cl  11204  fsumge0  11260