Theorem fsumcllem 12089

Description: - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcllem.1	|- ( ph -> S C_ CC )
fsumcllem.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
fsumcllem.3	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcllem.4	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
fsumcllem.5	|- ( ph -> 0 e. S )

Assertion

Ref	Expression
fsumcllem	|- ( ph -> sum_ k e. A B e. S )

Distinct variable groups:   A, k, x, y   x, B, y   S, k, x, y   ph, k, x, y

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumcllem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> A = (/) )
2	1	sumeq1d 12055	. . . 4 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. (/) B )
3		sum0 12078	. . . 4 |- sum_ k e. (/) B = 0
4	2, 3	eqtrdi 2283	. . 3 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> sum_ k e. A B = 0 )
5		fsumcllem.5	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. S )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> 0 e. S )
7	4, 6	eqeltrd 2311	. 2 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> sum_ k e. A B e. S )
8		fsumcllem.1	. . . 4 |- ( ph -> S C_ CC )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ E. z z e. A ) -> S C_ CC )
10		fsumcllem.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
11	10	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( ph /\ E. z z e. A ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
12		fsumcllem.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
13	12	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ E. z z e. A ) -> A e. Fin )
14		fsumcllem.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
15	14	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( ph /\ E. z z e. A ) /\ k e. A ) -> B e. S )
16		n0r 3524	. . . 4 |- ( E. z z e. A -> A =/= (/) )
17	16	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ E. z z e. A ) -> A =/= (/) )
18	9, 11, 13, 15, 17	fsumcl2lem 12088	. 2 |- ( ( ph /\ E. z z e. A ) -> sum_ k e. A B e. S )
19		fin0or 7145	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ E. z z e. A ) )
20	12, 19	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ E. z z e. A ) )
21	7, 18, 20	mpjaodan 806	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   =/= wne 2414   C_ wss 3213   (/)c0 3510  (class class class)co 6052   Fincfn 6977   CCcc 8127   0cc0 8129   + caddc 8132   sum_csu 12042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248  ax-caucvg 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-oadd 6653  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-q 9955  df-rp 9990  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-seqfrec 10814  df-exp 10905  df-ihash 11143  df-cj 11531  df-re 11532  df-im 11533  df-rsqrt 11687  df-abs 11688  df-clim 11968  df-sumdc 12043

This theorem is referenced by:  fsumcl  12090  fsumrecl  12091  fsumzcl  12092  fsumnn0cl  12093  fsumge0  12149  plymullem  15632