ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumcllem Unicode version

Theorem fsumcllem 11161
Description: - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcllem.1  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
fsumcllem.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
fsumcllem.3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumcllem.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  S )
fsumcllem.5  |-  ( ph  ->  0  e.  S )
Assertion
Ref Expression
fsumcllem  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  S )
Distinct variable groups:    A, k, x, y    x, B, y    S, k, x, y    ph, k, x, y
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumcllem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
21sumeq1d 11128 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
3 sum0 11150 . . . 4  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
42, 3syl6eq 2186 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  0 )
5 fsumcllem.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  S )
65adantr 274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  0  e.  S )
74, 6eqeltrd 2214 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  S
)
8 fsumcllem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
98adantr 274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. z 
z  e.  A )  ->  S  C_  CC )
10 fsumcllem.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
1110adantlr 468 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  E. z  z  e.  A
)  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
12 fsumcllem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
1312adantr 274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. z 
z  e.  A )  ->  A  e.  Fin )
14 fsumcllem.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  S )
1514adantlr 468 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  E. z  z  e.  A
)  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  S )
16 n0r 3371 . . . 4  |-  ( E. z  z  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
1716adantl 275 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. z 
z  e.  A )  ->  A  =/=  (/) )
189, 11, 13, 15, 17fsumcl2lem 11160 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. z 
z  e.  A )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  S )
19 fin0or 6773 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  E. z  z  e.  A
) )
2012, 19syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/ 
E. z  z  e.  A ) )
217, 18, 20mpjaodan 787 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 697    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480    =/= wne 2306    C_ wss 3066   (/)c0 3358  (class class class)co 5767   Fincfn 6627   CCcc 7611   0cc0 7613    + caddc 7616   sum_csu 11115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116
This theorem is referenced by:  fsumcl  11162  fsumrecl  11163  fsumzcl  11164  fsumnn0cl  11165  fsumge0  11221
  Copyright terms: Public domain W3C validator