Theorem fsumcllem 12144

Description: - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcllem.1	|- ( ph -> S C_ CC )
fsumcllem.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
fsumcllem.3	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcllem.4	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
fsumcllem.5	|- ( ph -> 0 e. S )

Assertion

Ref	Expression
fsumcllem	|- ( ph -> sum_ k e. A B e. S )

Distinct variable groups:   A, k, x, y   x, B, y   S, k, x, y   ph, k, x, y

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumcllem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> A = (/) )
2	1	sumeq1d 12110	. . . 4 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. (/) B )
3		sum0 12133	. . . 4 |- sum_ k e. (/) B = 0
4	2, 3	eqtrdi 2287	. . 3 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> sum_ k e. A B = 0 )
5		fsumcllem.5	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. S )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> 0 e. S )
7	4, 6	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> sum_ k e. A B e. S )
8		fsumcllem.1	. . . 4 |- ( ph -> S C_ CC )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ E. z z e. A ) -> S C_ CC )
10		fsumcllem.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
11	10	adantlr 481	. . 3 |- ( ( ( ph /\ E. z z e. A ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
12		fsumcllem.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
13	12	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ E. z z e. A ) -> A e. Fin )
14		fsumcllem.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
15	14	adantlr 481	. . 3 |- ( ( ( ph /\ E. z z e. A ) /\ k e. A ) -> B e. S )
16		n0r 3535	. . . 4 |- ( E. z z e. A -> A =/= (/) )
17	16	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ E. z z e. A ) -> A =/= (/) )
18	9, 11, 13, 15, 17	fsumcl2lem 12143	. 2 |- ( ( ph /\ E. z z e. A ) -> sum_ k e. A B e. S )
19		fin0or 7180	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ E. z z e. A ) )
20	12, 19	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ E. z z e. A ) )
21	7, 18, 20	mpjaodan 810	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   =/= wne 2420   C_ wss 3220   (/)c0 3520  (class class class)co 6075   Fincfn 7012   CCcc 8167   0cc0 8169   + caddc 8172   sum_csu 12097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098

This theorem is referenced by:  fsumcl  12145  fsumrecl  12146  fsumzcl  12147  fsumnn0cl  12148  fsumge0  12204  plymullem  15774