Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isum1p Unicode version

Theorem isum1p 11201
 Description: The infinite sum of a converging infinite series equals the first term plus the infinite sum of the rest of it. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isum1p.1
isum1p.3
isum1p.4
isum1p.5
isum1p.6
Assertion
Ref Expression
isum1p
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem isum1p
StepHypRef Expression
1 isum1p.1 . . 3
2 eqid 2115 . . 3
3 isum1p.3 . . . . . 6
4 uzid 9289 . . . . . 6
53, 4syl 14 . . . . 5
6 peano2uz 9327 . . . . 5
75, 6syl 14 . . . 4
87, 1syl6eleqr 2209 . . 3
9 isum1p.4 . . 3
10 isum1p.5 . . 3
11 isum1p.6 . . 3
121, 2, 8, 9, 10, 11isumsplit 11200 . 2
133zcnd 9125 . . . . . . 7
14 ax-1cn 7677 . . . . . . 7
15 pncan 7932 . . . . . . 7
1613, 14, 15sylancl 407 . . . . . 6
1716oveq2d 5756 . . . . 5
1817sumeq1d 11075 . . . 4
19 elfzuz 9742 . . . . . . 7
2019, 1syl6eleqr 2209 . . . . . 6
2120, 9sylan2 282 . . . . 5
2221sumeq2dv 11077 . . . 4
23 fveq2 5387 . . . . . . 7
2423eleq1d 2184 . . . . . 6
259, 10eqeltrd 2192 . . . . . . 7
2625ralrimiva 2480 . . . . . 6
275, 1syl6eleqr 2209 . . . . . 6
2824, 26, 27rspcdva 2766 . . . . 5
2923fsum1 11121 . . . . 5
303, 28, 29syl2anc 406 . . . 4
3118, 22, 303eqtr2d 2154 . . 3
3231oveq1d 5755 . 2
3312, 32eqtrd 2148 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1314   wcel 1463   cdm 4507  cfv 5091  (class class class)co 5740  cc 7582  c1 7585   caddc 7587   cmin 7897  cz 9005  cuz 9275  cfz 9730   cseq 10158   cli 10987  csu 11062 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-ihash 10462  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-clim 10988  df-sumdc 11063 This theorem is referenced by:  isumnn0nn  11202  efsep  11296
 Copyright terms: Public domain W3C validator