ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geoserap Unicode version

Theorem geoserap 11546
Description: The value of the finite geometric series  1  +  A ^ 1  +  A ^ 2  +...  +  A ^
( N  -  1 ). This is Metamath 100 proof #66. (Contributed by NM, 12-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
geoser.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
geoser.2  |-  ( ph  ->  A #  1 )
geoser.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
geoserap  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A ^ k
)  =  ( ( 1  -  ( A ^ N ) )  /  ( 1  -  A ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N    ph, k

Proof of Theorem geoserap
StepHypRef Expression
1 geoser.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 geoser.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A #  1 )
3 0nn0 9220 . . . 4  |-  0  e.  NN0
43a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
5 geoser.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
6 nn0uz 9591 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
75, 6eleqtrdi 2282 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
81, 2, 4, 7geosergap 11545 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0..^ N ) ( A ^ k )  =  ( ( ( A ^ 0 )  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) ) )
95nn0zd 9402 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
10 fzoval 10177 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0..^ N )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
119, 10syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0..^ N )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
1211sumeq1d 11405 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0..^ N ) ( A ^ k )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A ^ k
) )
131exp0d 10678 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
1413oveq1d 5910 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
0 )  -  ( A ^ N ) )  =  ( 1  -  ( A ^ N
) ) )
1514oveq1d 5910 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 0 )  -  ( A ^ N ) )  /  ( 1  -  A ) )  =  ( ( 1  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) ) )
168, 12, 153eqtr3d 2230 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A ^ k
)  =  ( ( 1  -  ( A ^ N ) )  /  ( 1  -  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   CCcc 7838   0cc0 7840   1c1 7841    - cmin 8157   # cap 8567    / cdiv 8658   NN0cn0 9205   ZZcz 9282   ZZ>=cuz 9557   ...cfz 10037  ..^cfzo 10171   ^cexp 10549   sum_csu 11392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958  ax-arch 7959  ax-caucvg 7960
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-irdg 6394  df-frec 6415  df-1o 6440  df-oadd 6444  df-er 6558  df-en 6766  df-dom 6767  df-fin 6768  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-q 9649  df-rp 9683  df-fz 10038  df-fzo 10172  df-seqfrec 10476  df-exp 10550  df-ihash 10787  df-cj 10882  df-re 10883  df-im 10884  df-rsqrt 11038  df-abs 11039  df-clim 11318  df-sumdc 11393
This theorem is referenced by:  pwm1geoserap1  11547  geolim  11550  geolim2  11551  geo2sum  11553  geo2sum2  11554
  Copyright terms: Public domain W3C validator