Theorem geoserap 11546

Description: The value of the finite geometric series 1 + A ^ 1 + A ^ 2 +... + A ^ ( N - 1 ). This is Metamath 100 proof #66. (Contributed by NM, 12-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
geoser.1	|- ( ph -> A e. CC )
geoser.2	|- ( ph -> A # 1 )
geoser.3	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
geoserap	|- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( A ^ k ) = ( ( 1 - ( A ^ N ) ) / ( 1 - A ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N   ph, k

Proof of Theorem geoserap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		geoser.1	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
2		geoser.2	. . 3 |- ( ph -> A # 1 )
3		0nn0 9220	. . . 4 |- 0 e. NN0
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 0 e. NN0 )
5		geoser.3	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN0 )
6		nn0uz 9591	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
7	5, 6	eleqtrdi 2282	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
8	1, 2, 4, 7	geosergap 11545	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0..^ N ) ( A ^ k ) = ( ( ( A ^ 0 ) - ( A ^ N ) ) / ( 1 - A ) ) )
9	5	nn0zd 9402	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
10		fzoval 10177	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 0..^ N ) = ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ N ) = ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
12	11	sumeq1d 11405	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0..^ N ) ( A ^ k ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( A ^ k ) )
13	1	exp0d 10678	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^ 0 ) = 1 )
14	13	oveq1d 5910	. . 3 |- ( ph -> ( ( A ^ 0 ) - ( A ^ N ) ) = ( 1 - ( A ^ N ) ) )
15	14	oveq1d 5910	. 2 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 0 ) - ( A ^ N ) ) / ( 1 - A ) ) = ( ( 1 - ( A ^ N ) ) / ( 1 - A ) ) )
16	8, 12, 15	3eqtr3d 2230	1 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( A ^ k ) = ( ( 1 - ( A ^ N ) ) / ( 1 - A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   CCcc 7838   0cc0 7840   1c1 7841   - cmin 8157   # cap 8567   / cdiv 8658   NN0cn0 9205   ZZcz 9282   ZZ>=cuz 9557   ...cfz 10037  ..^cfzo 10171   ^cexp 10549   sum_csu 11392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958  ax-arch 7959  ax-caucvg 7960

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-irdg 6394  df-frec 6415  df-1o 6440  df-oadd 6444  df-er 6558  df-en 6766  df-dom 6767  df-fin 6768  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-q 9649  df-rp 9683  df-fz 10038  df-fzo 10172  df-seqfrec 10476  df-exp 10550  df-ihash 10787  df-cj 10882  df-re 10883  df-im 10884  df-rsqrt 11038  df-abs 11039  df-clim 11318  df-sumdc 11393

This theorem is referenced by:  pwm1geoserap1  11547  geolim  11550  geolim2  11551  geo2sum  11553  geo2sum2  11554