Theorem mertenslemub 11335

Description: Lemma for mertensabs 11338. An upper bound for T. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mertenslemub.gb	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
mertenslemub.b	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
mertenslemub.cvg	|- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
mertenslemub.t	|- T = { z | E. n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) }
mertenslemub.elt	|- ( ph -> X e. T )
mertenslemub.s	|- ( ph -> S e. NN )

Assertion

Ref	Expression
mertenslemub	|- ( ph -> X <_ sum_ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )

Distinct variable groups:   k, G, n, z   S, k, n, z   n, X, z   ph, k, n

Allowed substitution hints:   ph( z)   B( z, k, n)   T( z, k, n)   X( k)

Proof of Theorem mertenslemub

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mertenslemub.elt	. . . 4 |- ( ph -> X e. T )
2		eqeq1 2147	. . . . . . 7 |- ( z = X -> ( z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
3	2	rexbidv 2439	. . . . . 6 |- ( z = X -> ( E. n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> E. n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
4		mertenslemub.t	. . . . . 6 |- T = { z | E. n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) }
5	3, 4	elab2g 2835	. . . . 5 |- ( X e. T -> ( X e. T <-> E. n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( X e. T <-> E. n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
7	1, 6	mpbid 146	. . 3 |- ( ph -> E. n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
8		fvoveq1 5805	. . . . . . 7 |- ( n = a -> ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) )
9	8	sumeq1d 11167	. . . . . 6 |- ( n = a -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) )
10	9	fveq2d 5433	. . . . 5 |- ( n = a -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
11	10	eqeq2d 2152	. . . 4 |- ( n = a -> ( X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
12	11	cbvrexv 2658	. . 3 |- ( E. n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> E. a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
13	7, 12	sylib 121	. 2 |- ( ph -> E. a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
14		simprr 522	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) -> X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
15		0zd 9090	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) -> 0 e. ZZ )
16		mertenslemub.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. NN )
17	16	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) -> S e. NN )
18	17	nnzd 9196	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) -> S e. ZZ )
19		1zzd 9105	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) -> 1 e. ZZ )
20	18, 19	zsubcld 9202	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) -> ( S - 1 ) e. ZZ )
21	15, 20	fzfigd 10235	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) -> ( 0 ... ( S - 1 ) ) e. Fin )
22		eqid 2140	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( n + 1 ) )
23		elfzelz 9837	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) -> n e. ZZ )
24	23	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> n e. ZZ )
25	24	peano2zd 9200	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ZZ )
26		eqidd 2141	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
27		simpll 519	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ph )
28		elfznn0 9925	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) -> n e. NN0 )
29	28	ad2antlr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> n e. NN0 )
30		peano2nn0 9041	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN0 )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ( n + 1 ) e. NN0 )
32		eluznn0 9420	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n + 1 ) e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
33	31, 32	sylancom 417	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
34		mertenslemub.gb	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
35		mertenslemub.b	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
36	34, 35	eqeltrd 2217	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
37	27, 33, 36	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
38		mertenslemub.cvg	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
39	38	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
40		nn0uz 9384	. . . . . . . . 9 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
41	28	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> n e. NN0 )
42	41, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> ( n + 1 ) e. NN0 )
43	36	adantlr 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
44	40, 42, 43	iserex 11140	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> ( seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> <-> seq ( n + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> ) )
45	39, 44	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> seq ( n + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> )
46	22, 25, 26, 37, 45	isumcl 11226	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) e. CC )
47	46	adantlr 469	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) e. CC )
48	47	abscld 10985	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) e. RR )
49	47	absge0d 10988	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
50		simprl 521	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) -> a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) )
51	21, 48, 49, 10, 50	fsumge1 11262	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) <_ sum_ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
52	14, 51	eqbrtrd 3958	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) -> X <_ sum_ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
53	13, 52	rexlimddv 2557	1 |- ( ph -> X <_ sum_ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   {cab 2126   E.wrex 2418   class class class wbr 3937   dom cdm 4547   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   0cc0 7644   1c1 7645   + caddc 7647   <_ cle 7825   - cmin 7957   NNcn 8744   NN0cn0 9001   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821   seqcseq 10249   abscabs 10801   ~~> cli 11079   sum_csu 11154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-ico 9707  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-ihash 10554  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155

This theorem is referenced by:  mertenslem2  11337