Theorem mertenslemub 11680

Description: Lemma for mertensabs 11683. An upper bound for T. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mertenslemub.gb	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
mertenslemub.b	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
mertenslemub.cvg	|- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
mertenslemub.t	|- T = { z | E. n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) }
mertenslemub.elt	|- ( ph -> X e. T )
mertenslemub.s	|- ( ph -> S e. NN )

Assertion

Ref	Expression
mertenslemub	|- ( ph -> X <_ sum_ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )

Distinct variable groups:   k, G, n, z   S, k, n, z   n, X, z   ph, k, n

Allowed substitution hints:   ph( z)   B( z, k, n)   T( z, k, n)   X( k)

Proof of Theorem mertenslemub

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mertenslemub.elt	. . . 4 |- ( ph -> X e. T )
2		eqeq1 2200	. . . . . . 7 |- ( z = X -> ( z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
3	2	rexbidv 2495	. . . . . 6 |- ( z = X -> ( E. n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> E. n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
4		mertenslemub.t	. . . . . 6 |- T = { z | E. n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) }
5	3, 4	elab2g 2908	. . . . 5 |- ( X e. T -> ( X e. T <-> E. n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( X e. T <-> E. n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
7	1, 6	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> E. n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
8		fvoveq1 5942	. . . . . . 7 |- ( n = a -> ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) )
9	8	sumeq1d 11512	. . . . . 6 |- ( n = a -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) )
10	9	fveq2d 5559	. . . . 5 |- ( n = a -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
11	10	eqeq2d 2205	. . . 4 |- ( n = a -> ( X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
12	11	cbvrexv 2727	. . 3 |- ( E. n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> E. a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
13	7, 12	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
14		simprr 531	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) -> X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
15		0zd 9332	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) -> 0 e. ZZ )
16		mertenslemub.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. NN )
17	16	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) -> S e. NN )
18	17	nnzd 9441	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) -> S e. ZZ )
19		1zzd 9347	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) -> 1 e. ZZ )
20	18, 19	zsubcld 9447	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) -> ( S - 1 ) e. ZZ )
21	15, 20	fzfigd 10505	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) -> ( 0 ... ( S - 1 ) ) e. Fin )
22		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( n + 1 ) )
23		elfzelz 10094	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) -> n e. ZZ )
24	23	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> n e. ZZ )
25	24	peano2zd 9445	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ZZ )
26		eqidd 2194	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
27		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ph )
28		elfznn0 10183	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) -> n e. NN0 )
29	28	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> n e. NN0 )
30		peano2nn0 9283	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN0 )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ( n + 1 ) e. NN0 )
32		eluznn0 9667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n + 1 ) e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
33	31, 32	sylancom 420	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
34		mertenslemub.gb	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
35		mertenslemub.b	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
36	34, 35	eqeltrd 2270	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
37	27, 33, 36	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
38		mertenslemub.cvg	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
39	38	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
40		nn0uz 9630	. . . . . . . . 9 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
41	28	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> n e. NN0 )
42	41, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> ( n + 1 ) e. NN0 )
43	36	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
44	40, 42, 43	iserex 11485	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> ( seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> <-> seq ( n + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> ) )
45	39, 44	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> seq ( n + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> )
46	22, 25, 26, 37, 45	isumcl 11571	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) e. CC )
47	46	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) e. CC )
48	47	abscld 11328	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) e. RR )
49	47	absge0d 11331	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
50		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) -> a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) )
51	21, 48, 49, 10, 50	fsumge1 11607	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) <_ sum_ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
52	14, 51	eqbrtrd 4052	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) /\ X = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) ) -> X <_ sum_ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
53	13, 52	rexlimddv 2616	1 |- ( ph -> X <_ sum_ n e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   E.wrex 2473   class class class wbr 4030   dom cdm 4660   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   CCcc 7872   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   <_ cle 8057   - cmin 8192   NNcn 8984   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   ...cfz 10077   seqcseq 10521   abscabs 11144   ~~> cli 11424   sum_csu 11499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-ico 9963  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-ihash 10850  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500

This theorem is referenced by:  mertenslem2  11682