Theorem fsump1 11460

Description: The addition of the next term in a finite sum of A ( k ) is the current term plus B i.e. A ( N + 1 ). (Contributed by NM, 4-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsump1.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fsump1.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> A e. CC )
fsump1.3	|- ( k = ( N + 1 ) -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
fsump1	|- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( N + 1 ) ) A = ( sum_ k e. ( M ... N ) A + B ) )

Distinct variable groups:   B, k   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem fsump1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsump1.1	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		peano2uz 9613	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
4		fsump1.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> A e. CC )
5		fsump1.3	. . 3 |- ( k = ( N + 1 ) -> A = B )
6	3, 4, 5	fsumm1 11456	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( N + 1 ) ) A = ( sum_ k e. ( M ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) A + B ) )
7		eluzelz 9567	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
8	1, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
9	8	zcnd 9406	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. CC )
10		ax-1cn 7934	. . . . . 6 |- 1 e. CC
11		pncan 8193	. . . . . 6 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
13	12	oveq2d 5912	. . . 4 |- ( ph -> ( M ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( M ... N ) )
14	13	sumeq1d 11406	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) A = sum_ k e. ( M ... N ) A )
15	14	oveq1d 5911	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) A + B ) = ( sum_ k e. ( M ... N ) A + B ) )
16	6, 15	eqtrd 2222	1 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( N + 1 ) ) A = ( sum_ k e. ( M ... N ) A + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   CCcc 7839   1c1 7842   + caddc 7844   - cmin 8158   ZZcz 9283   ZZ>=cuz 9558   ...cfz 10038   sum_csu 11393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-ihash 10788  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-sumdc 11394

This theorem is referenced by:  fsump1i  11473  bcxmas  11529