Theorem geo2sum2 11661

Description: The value of the finite geometric series 1 + 2 + 4 + 8 +... + 2 ^ ( N - 1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
geo2sum2	|- ( N e. NN0 -> sum_ k e. ( 0..^ N ) ( 2 ^ k ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )

Distinct variable group:   k, N

Proof of Theorem geo2sum2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9340	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
2		fzoval 10217	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 0..^ N ) = ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 0..^ N ) = ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
4	3	sumeq1d 11512	. 2 |- ( N e. NN0 -> sum_ k e. ( 0..^ N ) ( 2 ^ k ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( 2 ^ k ) )
5		2cn 9055	. . . 4 |- 2 e. CC
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 2 e. CC )
7		1ap2 9192	. . . . 5 |- 1 # 2
8		ax-1cn 7967	. . . . . 6 |- 1 e. CC
9		apsym 8627	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( 1 # 2 <-> 2 # 1 ) )
10	8, 5, 9	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 1 # 2 <-> 2 # 1 )
11	7, 10	mpbi 145	. . . 4 |- 2 # 1
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 2 # 1 )
13		id 19	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. NN0 )
14	6, 12, 13	geoserap 11653	. 2 |- ( N e. NN0 -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( 2 ^ k ) = ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) )
15	6, 13	expcld 10747	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. CC )
16	8	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> 1 e. CC )
17	15, 16	subcld 8332	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. CC )
18		1ap0 8611	. . . . 5 |- 1 # 0
19	18	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> 1 # 0 )
20	17, 16, 19	div2negapd 8826	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / -u 1 ) = ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / 1 ) )
21	15, 16	negsubdi2d 8348	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ N ) ) )
22		2m1e1 9102	. . . . . . 7 |- ( 2 - 1 ) = 1
23	22	negeqi 8215	. . . . . 6 |- -u ( 2 - 1 ) = -u 1
24	5, 8	negsubdi2i 8307	. . . . . 6 |- -u ( 2 - 1 ) = ( 1 - 2 )
25	23, 24	eqtr3i 2216	. . . . 5 |- -u 1 = ( 1 - 2 )
26	25	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> -u 1 = ( 1 - 2 ) )
27	21, 26	oveq12d 5937	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / -u 1 ) = ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) )
28	17	div1d 8801	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / 1 ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
29	20, 27, 28	3eqtr3d 2234	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
30	4, 14, 29	3eqtrd 2230	1 |- ( N e. NN0 -> sum_ k e. ( 0..^ N ) ( 2 ^ k ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   CCcc 7872   0cc0 7874   1c1 7875   - cmin 8192   -ucneg 8193   # cap 8602   / cdiv 8693   2c2 9035   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   ...cfz 10077  ..^cfzo 10211   ^cexp 10612   sum_csu 11499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-ihash 10850  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500

This theorem is referenced by: (None)