Theorem geo2sum2 12308

Description: The value of the finite geometric series 1 + 2 + 4 + 8 +... + 2 ^ ( N - 1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
geo2sum2	|- ( N e. NN0 -> sum_ k e. ( 0..^ N ) ( 2 ^ k ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )

Distinct variable group:   k, N

Proof of Theorem geo2sum2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9676	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
2		fzoval 10573	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 0..^ N ) = ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 0..^ N ) = ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
4	3	sumeq1d 12158	. 2 |- ( N e. NN0 -> sum_ k e. ( 0..^ N ) ( 2 ^ k ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( 2 ^ k ) )
5		2cn 9385	. . . 4 |- 2 e. CC
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 2 e. CC )
7		1ap2 9524	. . . . 5 |- 1 # 2
8		ax-1cn 8279	. . . . . 6 |- 1 e. CC
9		apsym 8943	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( 1 # 2 <-> 2 # 1 ) )
10	8, 5, 9	mp2an 430	. . . . 5 |- ( 1 # 2 <-> 2 # 1 )
11	7, 10	mpbi 145	. . . 4 |- 2 # 1
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 2 # 1 )
13		id 19	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. NN0 )
14	6, 12, 13	geoserap 12300	. 2 |- ( N e. NN0 -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( 2 ^ k ) = ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) )
15	6, 13	expcld 11133	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. CC )
16	8	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> 1 e. CC )
17	15, 16	subcld 8645	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. CC )
18		1ap0 8927	. . . . 5 |- 1 # 0
19	18	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> 1 # 0 )
20	17, 16, 19	div2negapd 9144	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / -u 1 ) = ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / 1 ) )
21	15, 16	negsubdi2d 8661	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ N ) ) )
22		2m1e1 9432	. . . . . . 7 |- ( 2 - 1 ) = 1
23	22	negeqi 8528	. . . . . 6 |- -u ( 2 - 1 ) = -u 1
24	5, 8	negsubdi2i 8620	. . . . . 6 |- -u ( 2 - 1 ) = ( 1 - 2 )
25	23, 24	eqtr3i 2261	. . . . 5 |- -u 1 = ( 1 - 2 )
26	25	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> -u 1 = ( 1 - 2 ) )
27	21, 26	oveq12d 6106	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / -u 1 ) = ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) )
28	17	div1d 9119	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / 1 ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
29	20, 27, 28	3eqtr3d 2279	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
30	4, 14, 29	3eqtrd 2275	1 |- ( N e. NN0 -> sum_ k e. ( 0..^ N ) ( 2 ^ k ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   CCcc 8184   0cc0 8186   1c1 8187   - cmin 8505   -ucneg 8506   # cap 8918   / cdiv 9011   2c2 9365   NN0cn0 9575   ZZcz 9656   ...cfz 10429  ..^cfzo 10567   ^cexp 10997   sum_csu 12145

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-ihash 11238  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-sumdc 12146

This theorem is used by: (None)