ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geo2sum2 Unicode version

Theorem geo2sum2 11555
Description: The value of the finite geometric series  1  +  2  +  4  +  8  +...  +  2 ^ ( N  -  1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
geo2sum2  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0..^ N ) ( 2 ^ k
)  =  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) )
Distinct variable group:    k, N

Proof of Theorem geo2sum2
StepHypRef Expression
1 nn0z 9303 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
2 fzoval 10178 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0..^ N )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ N )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
43sumeq1d 11406 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0..^ N ) ( 2 ^ k
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2 ^ k ) )
5 2cn 9020 . . . 4  |-  2  e.  CC
65a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  CC )
7 1ap2 9156 . . . . 5  |-  1 #  2
8 ax-1cn 7934 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
9 apsym 8593 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( 1 #  2  <->  2 #  1 ) )
108, 5, 9mp2an 426 . . . . 5  |-  ( 1 #  2  <->  2 #  1 )
117, 10mpbi 145 . . . 4  |-  2 #  1
1211a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  2 #  1 )
13 id 19 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e. 
NN0 )
146, 12, 13geoserap 11547 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2 ^ k )  =  ( ( 1  -  (
2 ^ N ) )  /  ( 1  -  2 ) ) )
156, 13expcld 10685 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ N )  e.  CC )
168a1i 9 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
1715, 16subcld 8298 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ N )  -  1 )  e.  CC )
18 1ap0 8577 . . . . 5  |-  1 #  0
1918a1i 9 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  1 #  0 )
2017, 16, 19div2negapd 8792 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -u ( ( 2 ^ N )  -  1 )  /  -u 1
)  =  ( ( ( 2 ^ N
)  -  1 )  /  1 ) )
2115, 16negsubdi2d 8314 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  -u (
( 2 ^ N
)  -  1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ N
) ) )
22 2m1e1 9067 . . . . . . 7  |-  ( 2  -  1 )  =  1
2322negeqi 8181 . . . . . 6  |-  -u (
2  -  1 )  =  -u 1
245, 8negsubdi2i 8273 . . . . . 6  |-  -u (
2  -  1 )  =  ( 1  -  2 )
2523, 24eqtr3i 2212 . . . . 5  |-  -u 1  =  ( 1  -  2 )
2625a1i 9 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  -u 1  =  ( 1  -  2 ) )
2721, 26oveq12d 5914 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -u ( ( 2 ^ N )  -  1 )  /  -u 1
)  =  ( ( 1  -  ( 2 ^ N ) )  /  ( 1  -  2 ) ) )
2817div1d 8767 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2 ^ N
)  -  1 )  /  1 )  =  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) )
2920, 27, 283eqtr3d 2230 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 1  -  ( 2 ^ N ) )  /  ( 1  -  2 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) )
304, 14, 293eqtrd 2226 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0..^ N ) ( 2 ^ k
)  =  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5896   CCcc 7839   0cc0 7841   1c1 7842    - cmin 8158   -ucneg 8159   # cap 8568    / cdiv 8659   2c2 9000   NN0cn0 9206   ZZcz 9283   ...cfz 10038  ..^cfzo 10172   ^cexp 10550   sum_csu 11393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-ihash 10788  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-sumdc 11394
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator