Theorem geo2sum2 12265

Description: The value of the finite geometric series 1 + 2 + 4 + 8 +... + 2 ^ ( N - 1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
geo2sum2	|- ( N e. NN0 -> sum_ k e. ( 0..^ N ) ( 2 ^ k ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )

Distinct variable group:   k, N

Proof of Theorem geo2sum2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9647	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
2		fzoval 10538	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 0..^ N ) = ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 0..^ N ) = ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
4	3	sumeq1d 12115	. 2 |- ( N e. NN0 -> sum_ k e. ( 0..^ N ) ( 2 ^ k ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( 2 ^ k ) )
5		2cn 9358	. . . 4 |- 2 e. CC
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 2 e. CC )
7		1ap2 9495	. . . . 5 |- 1 # 2
8		ax-1cn 8266	. . . . . 6 |- 1 e. CC
9		apsym 8928	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( 1 # 2 <-> 2 # 1 ) )
10	8, 5, 9	mp2an 430	. . . . 5 |- ( 1 # 2 <-> 2 # 1 )
11	7, 10	mpbi 145	. . . 4 |- 2 # 1
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 2 # 1 )
13		id 19	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. NN0 )
14	6, 12, 13	geoserap 12257	. 2 |- ( N e. NN0 -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( 2 ^ k ) = ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) )
15	6, 13	expcld 11094	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. CC )
16	8	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> 1 e. CC )
17	15, 16	subcld 8631	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. CC )
18		1ap0 8912	. . . . 5 |- 1 # 0
19	18	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> 1 # 0 )
20	17, 16, 19	div2negapd 9129	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / -u 1 ) = ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / 1 ) )
21	15, 16	negsubdi2d 8647	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ N ) ) )
22		2m1e1 9405	. . . . . . 7 |- ( 2 - 1 ) = 1
23	22	negeqi 8514	. . . . . 6 |- -u ( 2 - 1 ) = -u 1
24	5, 8	negsubdi2i 8606	. . . . . 6 |- -u ( 2 - 1 ) = ( 1 - 2 )
25	23, 24	eqtr3i 2261	. . . . 5 |- -u 1 = ( 1 - 2 )
26	25	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> -u 1 = ( 1 - 2 ) )
27	21, 26	oveq12d 6097	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / -u 1 ) = ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) )
28	17	div1d 9104	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / 1 ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
29	20, 27, 28	3eqtr3d 2279	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
30	4, 14, 29	3eqtrd 2275	1 |- ( N e. NN0 -> sum_ k e. ( 0..^ N ) ( 2 ^ k ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079   CCcc 8171   0cc0 8173   1c1 8174   - cmin 8491   -ucneg 8492   # cap 8903   / cdiv 8996   2c2 9338   NN0cn0 9546   ZZcz 9627   ...cfz 10394  ..^cfzo 10532   ^cexp 10958   sum_csu 12102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-ihash 11198  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103

This theorem is referenced by: (None)