Theorem geo2sum2 10970

Description: The value of the finite geometric series 1 + 2 + 4 + 8 +... + 2 ^ ( N - 1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
geo2sum2	|- ( N e. NN0 -> sum_ k e. ( 0..^ N ) ( 2 ^ k ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )

Distinct variable group:   k, N

Proof of Theorem geo2sum2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 8831	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
2		fzoval 9620	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 0..^ N ) = ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 0..^ N ) = ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
4	3	sumeq1d 10816	. 2 |- ( N e. NN0 -> sum_ k e. ( 0..^ N ) ( 2 ^ k ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( 2 ^ k ) )
5		2cn 8554	. . . 4 |- 2 e. CC
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 2 e. CC )
7		1ap2 8684	. . . . 5 |- 1 # 2
8		ax-1cn 7499	. . . . . 6 |- 1 e. CC
9		apsym 8144	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( 1 # 2 <-> 2 # 1 ) )
10	8, 5, 9	mp2an 418	. . . . 5 |- ( 1 # 2 <-> 2 # 1 )
11	7, 10	mpbi 144	. . . 4 |- 2 # 1
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 2 # 1 )
13		id 19	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. NN0 )
14	6, 12, 13	geoserap 10962	. 2 |- ( N e. NN0 -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( 2 ^ k ) = ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) )
15	6, 13	expcld 10147	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. CC )
16	8	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> 1 e. CC )
17	15, 16	subcld 7854	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. CC )
18		1ap0 8128	. . . . 5 |- 1 # 0
19	18	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> 1 # 0 )
20	17, 16, 19	div2negapd 8333	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / -u 1 ) = ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / 1 ) )
21	15, 16	negsubdi2d 7870	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ N ) ) )
22		2m1e1 8601	. . . . . . 7 |- ( 2 - 1 ) = 1
23	22	negeqi 7737	. . . . . 6 |- -u ( 2 - 1 ) = -u 1
24	5, 8	negsubdi2i 7829	. . . . . 6 |- -u ( 2 - 1 ) = ( 1 - 2 )
25	23, 24	eqtr3i 2111	. . . . 5 |- -u 1 = ( 1 - 2 )
26	25	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> -u 1 = ( 1 - 2 ) )
27	21, 26	oveq12d 5684	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / -u 1 ) = ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) )
28	17	div1d 8308	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / 1 ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
29	20, 27, 28	3eqtr3d 2129	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
30	4, 14, 29	3eqtrd 2125	1 |- ( N e. NN0 -> sum_ k e. ( 0..^ N ) ( 2 ^ k ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1290   e. wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   CCcc 7409   0cc0 7411   1c1 7412   - cmin 7714   -ucneg 7715   # cap 8119   / cdiv 8200   2c2 8534   NN0cn0 8734   ZZcz 8811   ...cfz 9485  ..^cfzo 9614   ^cexp 10015   sum_csu 10803

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525  ax-caucvg 7526

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-isom 5037  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-frec 6170  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513  df-fin 6514  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-q 9166  df-rp 9196  df-fz 9486  df-fzo 9615  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016  df-ihash 10245  df-cj 10337  df-re 10338  df-im 10339  df-rsqrt 10492  df-abs 10493  df-clim 10728  df-isum 10804

This theorem is referenced by: (None)