Theorem sumeq1d 12047

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sumeq1 12036	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  Σcsu 12034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-if 3620  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-cnv 4756  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-recs 6535  df-frec 6621  df-seqfrec 10809  df-sumdc 12035

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  12053  sumeq12rdv  12054  fsumf1o  12072  fisumss  12074  fsumcllem  12081  fsum1  12094  fzosump1  12099  fsump1  12102  fsum2d  12117  fisumcom2  12120  fsumshftm  12127  fisumrev2  12128  telfsumo  12148  telfsum  12150  telfsum2  12151  fsumparts  12152  fsumiun  12159  bcxmas  12171  isumsplit  12173  isum1p  12174  arisum  12180  arisum2  12181  geoserap  12189  geolim  12193  geo2sum2  12197  cvgratnnlemseq  12208  cvgratnnlemsumlt  12210  mertenslemub  12216  mertenslemi1  12217  mertenslem2  12218  mertensabs  12219  efcvgfsum  12349  eftlub  12372  effsumlt  12374  eirraplem  12459  bitsinv1  12644  pcfac  13044  gsumfzfsumlem0  14726  gsumfzfsumlemm  14727  elplyr  15597  plycolemc  15615  dvply2g  15623  cvgcmp2nlemabs  16808  trilpolemeq1  16816  nconstwlpolemgt0  16841