Theorem sumeq1d 11872

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sumeq1 11861	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395  Σcsu 11859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-cnv 4726  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-recs 6449  df-frec 6535  df-seqfrec 10665  df-sumdc 11860

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11878  sumeq12rdv  11879  fsumf1o  11896  fisumss  11898  fsumcllem  11905  fsum1  11918  fzosump1  11923  fsump1  11926  fsum2d  11941  fisumcom2  11944  fsumshftm  11951  fisumrev2  11952  telfsumo  11972  telfsum  11974  telfsum2  11975  fsumparts  11976  fsumiun  11983  bcxmas  11995  isumsplit  11997  isum1p  11998  arisum  12004  arisum2  12005  geoserap  12013  geolim  12017  geo2sum2  12021  cvgratnnlemseq  12032  cvgratnnlemsumlt  12034  mertenslemub  12040  mertenslemi1  12041  mertenslem2  12042  mertensabs  12043  efcvgfsum  12173  eftlub  12196  effsumlt  12198  eirraplem  12283  bitsinv1  12468  pcfac  12868  gsumfzfsumlem0  14544  gsumfzfsumlemm  14545  elplyr  15408  plycolemc  15426  dvply2g  15434  cvgcmp2nlemabs  16359  trilpolemeq1  16367  nconstwlpolemgt0  16391