Theorem sumeq1d 11892

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sumeq1 11881	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395  Σcsu 11879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-cnv 4727  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-recs 6457  df-frec 6543  df-seqfrec 10682  df-sumdc 11880

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11898  sumeq12rdv  11899  fsumf1o  11916  fisumss  11918  fsumcllem  11925  fsum1  11938  fzosump1  11943  fsump1  11946  fsum2d  11961  fisumcom2  11964  fsumshftm  11971  fisumrev2  11972  telfsumo  11992  telfsum  11994  telfsum2  11995  fsumparts  11996  fsumiun  12003  bcxmas  12015  isumsplit  12017  isum1p  12018  arisum  12024  arisum2  12025  geoserap  12033  geolim  12037  geo2sum2  12041  cvgratnnlemseq  12052  cvgratnnlemsumlt  12054  mertenslemub  12060  mertenslemi1  12061  mertenslem2  12062  mertensabs  12063  efcvgfsum  12193  eftlub  12216  effsumlt  12218  eirraplem  12303  bitsinv1  12488  pcfac  12888  gsumfzfsumlem0  14565  gsumfzfsumlemm  14566  elplyr  15429  plycolemc  15447  dvply2g  15455  cvgcmp2nlemabs  16460  trilpolemeq1  16468  nconstwlpolemgt0  16492