Theorem sumeq1d 12156

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sumeq1 12145	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  Σcsu 12143

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-cnv 4784  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-recs 6581  df-frec 6667  df-seqfrec 10905  df-sumdc 12144

This theorem is used by:  sumeq12dv  12162  sumeq12rdv  12163  fsumf1o  12181  fisumss  12183  fsumcllem  12190  fsum1  12203  fzosump1  12208  fsump1  12211  fsum2d  12226  fisumcom2  12229  fsumshftm  12236  fisumrev2  12237  telfsumo  12257  telfsum  12259  telfsum2  12260  fsumparts  12261  fsumiun  12268  bcxmas  12280  isumsplit  12282  isum1p  12283  arisum  12289  arisum2  12290  geoserap  12298  geolim  12302  geo2sum2  12306  cvgratnnlemseq  12317  cvgratnnlemsumlt  12319  mertenslemub  12325  mertenslemi1  12326  mertenslem2  12327  mertensabs  12328  efcvgfsum  12458  eftlub  12481  effsumlt  12483  eirraplem  12568  bitsinv1  12753  pcfac  13157  elplyr  15983  plycolemc  16001  dvply2g  16009  logfac  16143  chtqcl  16261  chtqval  16262  chtqfl  16275  chtprm  16278  chtnprm  16279  chtdif  16281  prmorcht  16299  cvgcmp2nlemabs  17304  trilpolemeq1  17313  nconstwlpolemgt0  17338