Theorem sumeq1d 11531

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sumeq1 11520	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364  Σcsu 11518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3562  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-cnv 4671  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-recs 6363  df-frec 6449  df-seqfrec 10540  df-sumdc 11519

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11537  sumeq12rdv  11538  fsumf1o  11555  fisumss  11557  fsumcllem  11564  fsum1  11577  fzosump1  11582  fsump1  11585  fsum2d  11600  fisumcom2  11603  fsumshftm  11610  fisumrev2  11611  telfsumo  11631  telfsum  11633  telfsum2  11634  fsumparts  11635  fsumiun  11642  bcxmas  11654  isumsplit  11656  isum1p  11657  arisum  11663  arisum2  11664  geoserap  11672  geolim  11676  geo2sum2  11680  cvgratnnlemseq  11691  cvgratnnlemsumlt  11693  mertenslemub  11699  mertenslemi1  11700  mertenslem2  11701  mertensabs  11702  efcvgfsum  11832  eftlub  11855  effsumlt  11857  eirraplem  11942  pcfac  12519  gsumfzfsumlem0  14142  gsumfzfsumlemm  14143  elplyr  14976  plycolemc  14994  dvply2g  15002  cvgcmp2nlemabs  15676  trilpolemeq1  15684  nconstwlpolemgt0  15708