Theorem sumeq1d 12157

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sumeq1 12146	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  Σcsu 12144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-cnv 4784  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-recs 6580  df-frec 6666  df-seqfrec 10906  df-sumdc 12145

This theorem is used by:  sumeq12dv  12163  sumeq12rdv  12164  fsumf1o  12182  fisumss  12184  fsumcllem  12191  fsum1  12204  fzosump1  12209  fsump1  12212  fsum2d  12227  fisumcom2  12230  fsumshftm  12237  fisumrev2  12238  telfsumo  12258  telfsum  12260  telfsum2  12261  fsumparts  12262  fsumiun  12269  bcxmas  12281  isumsplit  12283  isum1p  12284  arisum  12290  arisum2  12291  geoserap  12299  geolim  12303  geo2sum2  12307  cvgratnnlemseq  12318  cvgratnnlemsumlt  12320  mertenslemub  12326  mertenslemi1  12327  mertenslem2  12328  mertensabs  12329  efcvgfsum  12459  eftlub  12482  effsumlt  12484  eirraplem  12569  bitsinv1  12754  pcfac  13158  elplyr  15966  plycolemc  15984  dvply2g  15992  logfac  16126  chtqcl  16244  chtqval  16245  chtqfl  16258  chtprm  16261  chtnprm  16262  chtdif  16264  prmorcht  16282  cvgcmp2nlemabs  17287  trilpolemeq1  17296  nconstwlpolemgt0  17321