Theorem sumeq1d 11931

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sumeq1 11920	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397  Σcsu 11918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-recs 6471  df-frec 6557  df-seqfrec 10711  df-sumdc 11919

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11937  sumeq12rdv  11938  fsumf1o  11956  fisumss  11958  fsumcllem  11965  fsum1  11978  fzosump1  11983  fsump1  11986  fsum2d  12001  fisumcom2  12004  fsumshftm  12011  fisumrev2  12012  telfsumo  12032  telfsum  12034  telfsum2  12035  fsumparts  12036  fsumiun  12043  bcxmas  12055  isumsplit  12057  isum1p  12058  arisum  12064  arisum2  12065  geoserap  12073  geolim  12077  geo2sum2  12081  cvgratnnlemseq  12092  cvgratnnlemsumlt  12094  mertenslemub  12100  mertenslemi1  12101  mertenslem2  12102  mertensabs  12103  efcvgfsum  12233  eftlub  12256  effsumlt  12258  eirraplem  12343  bitsinv1  12528  pcfac  12928  gsumfzfsumlem0  14606  gsumfzfsumlemm  14607  elplyr  15470  plycolemc  15488  dvply2g  15496  cvgcmp2nlemabs  16662  trilpolemeq1  16670  nconstwlpolemgt0  16695