Theorem sumeq1d 12051

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sumeq1 12040	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  Σcsu 12038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-if 3621  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-cnv 4757  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-recs 6536  df-frec 6622  df-seqfrec 10810  df-sumdc 12039

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  12057  sumeq12rdv  12058  fsumf1o  12076  fisumss  12078  fsumcllem  12085  fsum1  12098  fzosump1  12103  fsump1  12106  fsum2d  12121  fisumcom2  12124  fsumshftm  12131  fisumrev2  12132  telfsumo  12152  telfsum  12154  telfsum2  12155  fsumparts  12156  fsumiun  12163  bcxmas  12175  isumsplit  12177  isum1p  12178  arisum  12184  arisum2  12185  geoserap  12193  geolim  12197  geo2sum2  12201  cvgratnnlemseq  12212  cvgratnnlemsumlt  12214  mertenslemub  12220  mertenslemi1  12221  mertenslem2  12222  mertensabs  12223  efcvgfsum  12353  eftlub  12376  effsumlt  12378  eirraplem  12463  bitsinv1  12648  pcfac  13048  gsumfzfsumlem0  14734  gsumfzfsumlemm  14735  elplyr  15605  plycolemc  15623  dvply2g  15631  cvgcmp2nlemabs  16816  trilpolemeq1  16824  nconstwlpolemgt0  16850