Theorem sumeq1d 11548

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sumeq1 11537	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364  Σcsu 11535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3563  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-cnv 4672  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-recs 6372  df-frec 6458  df-seqfrec 10557  df-sumdc 11536

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11554  sumeq12rdv  11555  fsumf1o  11572  fisumss  11574  fsumcllem  11581  fsum1  11594  fzosump1  11599  fsump1  11602  fsum2d  11617  fisumcom2  11620  fsumshftm  11627  fisumrev2  11628  telfsumo  11648  telfsum  11650  telfsum2  11651  fsumparts  11652  fsumiun  11659  bcxmas  11671  isumsplit  11673  isum1p  11674  arisum  11680  arisum2  11681  geoserap  11689  geolim  11693  geo2sum2  11697  cvgratnnlemseq  11708  cvgratnnlemsumlt  11710  mertenslemub  11716  mertenslemi1  11717  mertenslem2  11718  mertensabs  11719  efcvgfsum  11849  eftlub  11872  effsumlt  11874  eirraplem  11959  bitsinv1  12144  pcfac  12544  gsumfzfsumlem0  14218  gsumfzfsumlemm  14219  elplyr  15060  plycolemc  15078  dvply2g  15086  cvgcmp2nlemabs  15763  trilpolemeq1  15771  nconstwlpolemgt0  15795