ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumeq1d GIF version

Theorem sumeq1d 11128
Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq1d.1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sumeq1d (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1d
StepHypRef Expression
1 sumeq1d.1 . 2 (𝜑𝐴 = 𝐵)
2 sumeq1 11117 . 2 (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
31, 2syl 14 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  Σcsu 11115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-if 3470  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-cnv 4542  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-iota 5083  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-recs 6195  df-frec 6281  df-seqfrec 10212  df-sumdc 11116
This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11134  sumeq12rdv  11135  fsumf1o  11152  fisumss  11154  fsumcllem  11161  fsum1  11174  fzosump1  11179  fsump1  11182  fsum2d  11197  fisumcom2  11200  fsumshftm  11207  fisumrev2  11208  telfsumo  11228  telfsum  11230  telfsum2  11231  fsumparts  11232  fsumiun  11239  bcxmas  11251  isumsplit  11253  isum1p  11254  arisum  11260  arisum2  11261  geoserap  11269  geolim  11273  geo2sum2  11277  cvgratnnlemseq  11288  cvgratnnlemsumlt  11290  mertenslemub  11296  mertenslemi1  11297  mertenslem2  11298  mertensabs  11299  efcvgfsum  11362  eftlub  11385  effsumlt  11387  eirraplem  11472  cvgcmp2nlemabs  13216  trilpolemeq1  13222
  Copyright terms: Public domain W3C validator