Theorem sumeq1d 11550

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sumeq1 11539	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364  Σcsu 11537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3563  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-cnv 4672  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-recs 6372  df-frec 6458  df-seqfrec 10559  df-sumdc 11538

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11556  sumeq12rdv  11557  fsumf1o  11574  fisumss  11576  fsumcllem  11583  fsum1  11596  fzosump1  11601  fsump1  11604  fsum2d  11619  fisumcom2  11622  fsumshftm  11629  fisumrev2  11630  telfsumo  11650  telfsum  11652  telfsum2  11653  fsumparts  11654  fsumiun  11661  bcxmas  11673  isumsplit  11675  isum1p  11676  arisum  11682  arisum2  11683  geoserap  11691  geolim  11695  geo2sum2  11699  cvgratnnlemseq  11710  cvgratnnlemsumlt  11712  mertenslemub  11718  mertenslemi1  11719  mertenslem2  11720  mertensabs  11721  efcvgfsum  11851  eftlub  11874  effsumlt  11876  eirraplem  11961  bitsinv1  12146  pcfac  12546  gsumfzfsumlem0  14220  gsumfzfsumlemm  14221  elplyr  15084  plycolemc  15102  dvply2g  15110  cvgcmp2nlemabs  15789  trilpolemeq1  15797  nconstwlpolemgt0  15821