Theorem sumeq1d 11365

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sumeq1 11354	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353  Σcsu 11352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-cnv 4632  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-iota 5175  df-f 5217  df-f1 5218  df-fo 5219  df-f1o 5220  df-fv 5221  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-recs 6301  df-frec 6387  df-seqfrec 10439  df-sumdc 11353

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11371  sumeq12rdv  11372  fsumf1o  11389  fisumss  11391  fsumcllem  11398  fsum1  11411  fzosump1  11416  fsump1  11419  fsum2d  11434  fisumcom2  11437  fsumshftm  11444  fisumrev2  11445  telfsumo  11465  telfsum  11467  telfsum2  11468  fsumparts  11469  fsumiun  11476  bcxmas  11488  isumsplit  11490  isum1p  11491  arisum  11497  arisum2  11498  geoserap  11506  geolim  11510  geo2sum2  11514  cvgratnnlemseq  11525  cvgratnnlemsumlt  11527  mertenslemub  11533  mertenslemi1  11534  mertenslem2  11535  mertensabs  11536  efcvgfsum  11666  eftlub  11689  effsumlt  11691  eirraplem  11775  pcfac  12338  cvgcmp2nlemabs  14551  trilpolemeq1  14559  nconstwlpolemgt0  14582