Theorem sumeq1d 11340

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sumeq1 11329	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353  Σcsu 11327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-ext 2157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-if 3533  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-cnv 4628  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-iota 5170  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-recs 6296  df-frec 6382  df-seqfrec 10414  df-sumdc 11328

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11346  sumeq12rdv  11347  fsumf1o  11364  fisumss  11366  fsumcllem  11373  fsum1  11386  fzosump1  11391  fsump1  11394  fsum2d  11409  fisumcom2  11412  fsumshftm  11419  fisumrev2  11420  telfsumo  11440  telfsum  11442  telfsum2  11443  fsumparts  11444  fsumiun  11451  bcxmas  11463  isumsplit  11465  isum1p  11466  arisum  11472  arisum2  11473  geoserap  11481  geolim  11485  geo2sum2  11489  cvgratnnlemseq  11500  cvgratnnlemsumlt  11502  mertenslemub  11508  mertenslemi1  11509  mertenslem2  11510  mertensabs  11511  efcvgfsum  11641  eftlub  11664  effsumlt  11666  eirraplem  11750  pcfac  12313  cvgcmp2nlemabs  14321  trilpolemeq1  14329  nconstwlpolemgt0  14352