Theorem sumeq1d 11917

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sumeq1 11906	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395  Σcsu 11904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-if 3604  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-cnv 4731  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-recs 6466  df-frec 6552  df-seqfrec 10700  df-sumdc 11905

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11923  sumeq12rdv  11924  fsumf1o  11941  fisumss  11943  fsumcllem  11950  fsum1  11963  fzosump1  11968  fsump1  11971  fsum2d  11986  fisumcom2  11989  fsumshftm  11996  fisumrev2  11997  telfsumo  12017  telfsum  12019  telfsum2  12020  fsumparts  12021  fsumiun  12028  bcxmas  12040  isumsplit  12042  isum1p  12043  arisum  12049  arisum2  12050  geoserap  12058  geolim  12062  geo2sum2  12066  cvgratnnlemseq  12077  cvgratnnlemsumlt  12079  mertenslemub  12085  mertenslemi1  12086  mertenslem2  12087  mertensabs  12088  efcvgfsum  12218  eftlub  12241  effsumlt  12243  eirraplem  12328  bitsinv1  12513  pcfac  12913  gsumfzfsumlem0  14590  gsumfzfsumlemm  14591  elplyr  15454  plycolemc  15472  dvply2g  15480  cvgcmp2nlemabs  16572  trilpolemeq1  16580  nconstwlpolemgt0  16604