Theorem sumeq1d 12151

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sumeq1 12140	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  Σcsu 12138

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-cnv 4782  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-recs 6576  df-frec 6662  df-seqfrec 10900  df-sumdc 12139

This theorem is used by:  sumeq12dv  12157  sumeq12rdv  12158  fsumf1o  12176  fisumss  12178  fsumcllem  12185  fsum1  12198  fzosump1  12203  fsump1  12206  fsum2d  12221  fisumcom2  12224  fsumshftm  12231  fisumrev2  12232  telfsumo  12252  telfsum  12254  telfsum2  12255  fsumparts  12256  fsumiun  12263  bcxmas  12275  isumsplit  12277  isum1p  12278  arisum  12284  arisum2  12285  geoserap  12293  geolim  12297  geo2sum2  12301  cvgratnnlemseq  12312  cvgratnnlemsumlt  12314  mertenslemub  12320  mertenslemi1  12321  mertenslem2  12322  mertensabs  12323  efcvgfsum  12453  eftlub  12476  effsumlt  12478  eirraplem  12563  bitsinv1  12748  pcfac  13152  elplyr  15932  plycolemc  15950  dvply2g  15958  logfac  16090  chtqcl  16205  chtqval  16206  chtqfl  16219  chtprm  16222  chtnprm  16223  chtdif  16225  prmorcht  16243  cvgcmp2nlemabs  17247  trilpolemeq1  17256  nconstwlpolemgt0  17281