Theorem sumeq1d 11926

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sumeq1 11915	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397  Σcsu 11913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-recs 6470  df-frec 6556  df-seqfrec 10709  df-sumdc 11914

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11932  sumeq12rdv  11933  fsumf1o  11950  fisumss  11952  fsumcllem  11959  fsum1  11972  fzosump1  11977  fsump1  11980  fsum2d  11995  fisumcom2  11998  fsumshftm  12005  fisumrev2  12006  telfsumo  12026  telfsum  12028  telfsum2  12029  fsumparts  12030  fsumiun  12037  bcxmas  12049  isumsplit  12051  isum1p  12052  arisum  12058  arisum2  12059  geoserap  12067  geolim  12071  geo2sum2  12075  cvgratnnlemseq  12086  cvgratnnlemsumlt  12088  mertenslemub  12094  mertenslemi1  12095  mertenslem2  12096  mertensabs  12097  efcvgfsum  12227  eftlub  12250  effsumlt  12252  eirraplem  12337  bitsinv1  12522  pcfac  12922  gsumfzfsumlem0  14599  gsumfzfsumlemm  14600  elplyr  15463  plycolemc  15481  dvply2g  15489  cvgcmp2nlemabs  16636  trilpolemeq1  16644  nconstwlpolemgt0  16668