Theorem sumeq1d 12148

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sumeq1 12137	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  Σcsu 12135

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-cnv 4782  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-recs 6576  df-frec 6662  df-seqfrec 10898  df-sumdc 12136

This theorem is used by:  sumeq12dv  12154  sumeq12rdv  12155  fsumf1o  12173  fisumss  12175  fsumcllem  12182  fsum1  12195  fzosump1  12200  fsump1  12203  fsum2d  12218  fisumcom2  12221  fsumshftm  12228  fisumrev2  12229  telfsumo  12249  telfsum  12251  telfsum2  12252  fsumparts  12253  fsumiun  12260  bcxmas  12272  isumsplit  12274  isum1p  12275  arisum  12281  arisum2  12282  geoserap  12290  geolim  12294  geo2sum2  12298  cvgratnnlemseq  12309  cvgratnnlemsumlt  12311  mertenslemub  12317  mertenslemi1  12318  mertenslem2  12319  mertensabs  12320  efcvgfsum  12450  eftlub  12473  effsumlt  12475  eirraplem  12560  bitsinv1  12745  pcfac  13149  elplyr  15890  plycolemc  15908  dvply2g  15916  logfac  16048  cvgcmp2nlemabs  17179  trilpolemeq1  17187  nconstwlpolemgt0  17212