Theorem sumeq1d 11619

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sumeq1 11608	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372  Σcsu 11606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-if 3571  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-cnv 4682  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-recs 6390  df-frec 6476  df-seqfrec 10591  df-sumdc 11607

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11625  sumeq12rdv  11626  fsumf1o  11643  fisumss  11645  fsumcllem  11652  fsum1  11665  fzosump1  11670  fsump1  11673  fsum2d  11688  fisumcom2  11691  fsumshftm  11698  fisumrev2  11699  telfsumo  11719  telfsum  11721  telfsum2  11722  fsumparts  11723  fsumiun  11730  bcxmas  11742  isumsplit  11744  isum1p  11745  arisum  11751  arisum2  11752  geoserap  11760  geolim  11764  geo2sum2  11768  cvgratnnlemseq  11779  cvgratnnlemsumlt  11781  mertenslemub  11787  mertenslemi1  11788  mertenslem2  11789  mertensabs  11790  efcvgfsum  11920  eftlub  11943  effsumlt  11945  eirraplem  12030  bitsinv1  12215  pcfac  12615  gsumfzfsumlem0  14290  gsumfzfsumlemm  14291  elplyr  15154  plycolemc  15172  dvply2g  15180  cvgcmp2nlemabs  15904  trilpolemeq1  15912  nconstwlpolemgt0  15936