Theorem sumeq1d 11989

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sumeq1 11978	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  Σcsu 11976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-cnv 4739  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-recs 6514  df-frec 6600  df-seqfrec 10756  df-sumdc 11977

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11995  sumeq12rdv  11996  fsumf1o  12014  fisumss  12016  fsumcllem  12023  fsum1  12036  fzosump1  12041  fsump1  12044  fsum2d  12059  fisumcom2  12062  fsumshftm  12069  fisumrev2  12070  telfsumo  12090  telfsum  12092  telfsum2  12093  fsumparts  12094  fsumiun  12101  bcxmas  12113  isumsplit  12115  isum1p  12116  arisum  12122  arisum2  12123  geoserap  12131  geolim  12135  geo2sum2  12139  cvgratnnlemseq  12150  cvgratnnlemsumlt  12152  mertenslemub  12158  mertenslemi1  12159  mertenslem2  12160  mertensabs  12161  efcvgfsum  12291  eftlub  12314  effsumlt  12316  eirraplem  12401  bitsinv1  12586  pcfac  12986  gsumfzfsumlem0  14665  gsumfzfsumlemm  14666  elplyr  15534  plycolemc  15552  dvply2g  15560  cvgcmp2nlemabs  16747  trilpolemeq1  16755  nconstwlpolemgt0  16780