Theorem sumeq1d 11401

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sumeq1 11390	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364  Σcsu 11388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-cnv 4649  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-iota 5193  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-recs 6325  df-frec 6411  df-seqfrec 10472  df-sumdc 11389

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11407  sumeq12rdv  11408  fsumf1o  11425  fisumss  11427  fsumcllem  11434  fsum1  11447  fzosump1  11452  fsump1  11455  fsum2d  11470  fisumcom2  11473  fsumshftm  11480  fisumrev2  11481  telfsumo  11501  telfsum  11503  telfsum2  11504  fsumparts  11505  fsumiun  11512  bcxmas  11524  isumsplit  11526  isum1p  11527  arisum  11533  arisum2  11534  geoserap  11542  geolim  11546  geo2sum2  11550  cvgratnnlemseq  11561  cvgratnnlemsumlt  11563  mertenslemub  11569  mertenslemi1  11570  mertenslem2  11571  mertensabs  11572  efcvgfsum  11702  eftlub  11725  effsumlt  11727  eirraplem  11811  pcfac  12377  cvgcmp2nlemabs  15218  trilpolemeq1  15226  nconstwlpolemgt0  15250