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Theorem swrdsbslen 11237
Description: Two subwords with the same bounds have the same length. (Contributed by AV, 4-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdsbslen |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) )
Proof of Theorem swrdsbslen
StepHypRef Expression
1 simpr1 1027 . . . . 5 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> ( W e. Word V /\ U e. Word V ) )
2 simpr2 1028 . . . . 5 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
3 simpl 109 . . . . 5 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> N <_ M )
4 swrdsb0eq 11236 . . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ M ) -> ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1271 . . . 4 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) )
65fveq2d 5639 . . 3 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) )
76ancoms 268 . 2 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ N <_ M ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) )
8 nn0z 9489 . . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
9 nn0z 9489 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
10 zltnle 9515 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> -. N <_ M ) )
118, 9, 10syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M < N <-> -. N <_ M ) )
12 nn0re 9401 . . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
13 nn0re 9401 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
14 ltle 8257 . . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M < N -> M <_ N ) )
1512, 13, 14syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M < N -> M <_ N ) )
1611, 15sylbird 170 . . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( -. N <_ M -> M <_ N ) )
17163ad2ant2 1043 . . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( -. N <_ M -> M <_ N ) )
18 simpl1l 1072 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> W e. Word V )
19 simpl2l 1074 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> M e. NN0 )
208, 9anim12i 338 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
21203ad2ant2 1043 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
2221anim1i 340 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) )
23 df-3an 1004 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) )
2422, 23sylibr 134 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
25 eluz2 9751 . . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2624, 25sylibr 134 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
27 simpl3l 1076 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> N <_ (♯ ` W ) )
28 swrdlen2 11233 . . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ (♯ ` W ) ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( N - M ) )
2918, 19, 26, 27, 28syl121anc 1276 . . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( N - M ) )
30 simpl1r 1073 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> U e. Word V )
31 simpl3r 1077 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> N <_ (♯ ` U ) )
32 swrdlen2 11233 . . . . . . 7 |- ( ( U e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) -> (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) = ( N - M ) )
3330, 19, 26, 31, 32syl121anc 1276 . . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) = ( N - M ) )
3429, 33eqtr4d 2265 . . . . 5 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) )
3534ex 115 . . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( M <_ N -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) ) )
3617, 35syld 45 . . 3 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( -. N <_ M -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) ) )
3736imp 124 . 2 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) /\ -. N <_ M ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) )
3821simprd 114 . . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> N e. ZZ )
3921simpld 112 . . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> M e. ZZ )
40 zdcle 9546 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID N <_ M )
4138, 39, 40syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> DECID N <_ M )
42 exmiddc 841 . . 3 |- (DECID N <_ M -> ( N <_ M \/ -. N <_ M ) )
4341, 42syl 14 . 2 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> ( N <_ M \/ -. N <_ M ) )
447, 37, 43mpjaodan 803 1 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ (♯ ` W ) /\ N <_ (♯ ` U ) ) ) -> (♯ ` ( W substr <. M , N >. ) ) = (♯ ` ( U substr <. M , N >. ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3670   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   RRcr 8021   < clt 8204   <_ cle 8205   - cmin 8340   NN0cn0 9392   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745  ♯chash 11027  Word cword 11103   substr csubstr 11216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-ihash 11028  df-word 11104  df-substr 11217
This theorem is referenced by:  swrdspsleq  11238
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