Theorem trlres 16848

Description: The restriction <. H , Q >. of a trail <. F , P >. to an initial segment of the trail (of length N) forms a trail on the subgraph S consisting of the edges in the initial segment. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlres.v	|- V = (Vtx ` G )
trlres.i	|- I = (iEdg ` G )
trlres.d	|- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
trlres.n	|- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
trlres.h	|- H = ( F prefix N )
trlres.s	|- ( ph -> (Vtx ` S ) = V )
trlres.e	|- ( ph -> (iEdg ` S ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
trlres.q	|- Q = ( P |` ( 0 ... N ) )

Assertion

Ref	Expression
trlres	|- ( ph -> H (Trails ` S ) Q )

Proof of Theorem trlres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlres.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
2		trlres.i	. . 3 |- I = (iEdg ` G )
3		trlres.d	. . . 4 |- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
4		trliswlk 16844	. . . 4 |- ( F (Trails ` G ) P -> F (Walks ` G ) P )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> F (Walks ` G ) P )
6		trlres.n	. . 3 |- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
7		trlres.s	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` S ) = V )
8		trlres.e	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` S ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
9		trlres.h	. . 3 |- H = ( F prefix N )
10		trlres.q	. . 3 |- Q = ( P |` ( 0 ... N ) )
11	1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10	wlkres 16837	. 2 |- ( ph -> H (Walks ` S ) Q )
12	1, 2, 3, 6, 9	trlreslem 16847	. . 3 |- ( ph -> H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
13		f1of1 5641	. . 3 |- ( H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) -> H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
14		df-f1 5385	. . . 4 |- ( H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) <-> ( H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) --> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) /\ Fun `' H ) )
15	14	simprbi 275	. . 3 |- ( H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) -> Fun `' H )
16	12, 13, 15	3syl 17	. 2 |- ( ph -> Fun `' H )
17		istrl 16843	. 2 |- ( H (Trails ` S ) Q <-> ( H (Walks ` S ) Q /\ Fun `' H ) )
18	11, 16, 17	sylanbrc 421	1 |- ( ph -> H (Trails ` S ) Q )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   `'ccnv 4775   dom cdm 4776   |` cres 4778   "cima 4779   Fun wfun 5374   -->wf 5376   -1-1->wf1 5377   -1-1-onto->wf1o 5379   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   0cc0 8186   ...cfz 10429  ..^cfzo 10567  ♯chash 11237   prefix cpfx 11467  Vtxcvtx 16470  iEdgciedg 16471  Walkscwlks 16775  Trailsctrls 16838

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-dec 9790  df-uz 9939  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-ihash 11238  df-word 11328  df-substr 11441  df-pfx 11468  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-edgf 16463  df-vtx 16472  df-iedg 16473  df-wlks 16776  df-trls 16839

This theorem is used by: (None)