Theorem trlres 16311

Description: The restriction ⟨𝐻, 𝑄⟩ of a trail ⟨𝐹, 𝑃⟩ to an initial segment of the trail (of length 𝑁) forms a trail on the subgraph 𝑆 consisting of the edges in the initial segment. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlres.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlres.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlres.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlres.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
trlres.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
trlres.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlres.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
trlres	⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem trlres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlres.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		trlres.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		trlres.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
4		trliswlk 16307	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
6		trlres.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
7		trlres.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
8		trlres.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
9		trlres.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
10		trlres.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
11	1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10	wlkres 16300	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Walks‘𝑆)𝑄)
12	1, 2, 3, 6, 9	trlreslem 16310	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
13		f1of1 5591	. . 3 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
14		df-f1 5338	. . . 4 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ↔ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∧ Fun ◡𝐻))
15	14	simprbi 275	. . 3 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) → Fun ◡𝐻)
16	12, 13, 15	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐻)
17		istrl 16306	. 2 ⊢ (𝐻(Trails‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ Fun ◡𝐻))
18	11, 16, 17	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝑆)𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ^◡ccnv 4730  dom cdm 4731   ↾ cres 4733   “ cima 4734  Fun wfun 5327  ⟶wf 5329  –1-1→wf1 5330  –1-1-onto→wf1o 5332  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  0cc0 8075  ...cfz 10286  ..^cfzo 10420  ♯chash 11081   prefix cpfx 11300  Vtxcvtx 15933  iEdgciedg 15934  Walkscwlks 16238  Trailsctrls 16301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-dec 9655  df-uz 9799  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-ihash 11082  df-word 11161  df-substr 11274  df-pfx 11301  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-edgf 15926  df-vtx 15935  df-iedg 15936  df-wlks 16239  df-trls 16302

This theorem is referenced by: (None)