Theorem trlres 16372

Description: The restriction ⟨𝐻, 𝑄⟩ of a trail ⟨𝐹, 𝑃⟩ to an initial segment of the trail (of length 𝑁) forms a trail on the subgraph 𝑆 consisting of the edges in the initial segment. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlres.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlres.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlres.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlres.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
trlres.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
trlres.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlres.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
trlres	⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem trlres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlres.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		trlres.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		trlres.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
4		trliswlk 16368	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
6		trlres.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
7		trlres.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
8		trlres.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
9		trlres.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
10		trlres.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
11	1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10	wlkres 16361	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Walks‘𝑆)𝑄)
12	1, 2, 3, 6, 9	trlreslem 16371	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
13		f1of1 5612	. . 3 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
14		df-f1 5356	. . . 4 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ↔ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∧ Fun ◡𝐻))
15	14	simprbi 275	. . 3 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) → Fun ◡𝐻)
16	12, 13, 15	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐻)
17		istrl 16367	. 2 ⊢ (𝐻(Trails‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ Fun ◡𝐻))
18	11, 16, 17	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝑆)𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  ^◡ccnv 4747  dom cdm 4748   ↾ cres 4750   “ cima 4751  Fun wfun 5345  ⟶wf 5347  –1-1→wf1 5348  –1-1-onto→wf1o 5350  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  0cc0 8123  ...cfz 10338  ..^cfzo 10472  ♯chash 11133   prefix cpfx 11357  Vtxcvtx 15994  iEdgciedg 15995  Walkscwlks 16299  Trailsctrls 16362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-er 6766  df-map 6883  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-ihash 11134  df-word 11218  df-substr 11331  df-pfx 11358  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-edgf 15987  df-vtx 15996  df-iedg 15997  df-wlks 16300  df-trls 16363

This theorem is referenced by: (None)