Theorem istrl 16306

Description: Conditions for a pair of classes/functions to be a trail (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Oct-2017.) (Revised by AV, 28-Dec-2020.) (Revised by AV, 29-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
istrl	|- ( F (Trails ` G ) P <-> ( F (Walks ` G ) P /\ Fun `' F ) )

Proof of Theorem istrl

Dummy variables f p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsv 16305	. 2 |- ( F (Trails ` G ) P -> ( G e. _V /\ F e. _V /\ P e. _V ) )
2		wlkv 16247	. . 3 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( G e. _V /\ F e. _V /\ P e. _V ) )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ Fun `' F ) -> ( G e. _V /\ F e. _V /\ P e. _V ) )
4		df-br 4094	. . . 4 |- ( F (Trails ` G ) P <-> <. F , P >. e. (Trails ` G ) )
5		trlsfvalg 16304	. . . . . 6 |- ( G e. _V -> (Trails ` G ) = { <. f , p >. | ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) } )
6	5	3ad2ant1 1045	. . . . 5 |- ( ( G e. _V /\ F e. _V /\ P e. _V ) -> (Trails ` G ) = { <. f , p >. | ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) } )
7	6	eleq2d 2301	. . . 4 |- ( ( G e. _V /\ F e. _V /\ P e. _V ) -> ( <. F , P >. e. (Trails ` G ) <-> <. F , P >. e. { <. f , p >. | ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) } ) )
8	4, 7	bitrid 192	. . 3 |- ( ( G e. _V /\ F e. _V /\ P e. _V ) -> ( F (Trails ` G ) P <-> <. F , P >. e. { <. f , p >. | ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) } ) )
9		breq1 4096	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( f (Walks ` G ) p <-> F (Walks ` G ) p ) )
10		cnveq 4910	. . . . . . 7 |- ( f = F -> `' f = `' F )
11	10	funeqd 5355	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( Fun `' f <-> Fun `' F ) )
12	9, 11	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) <-> ( F (Walks ` G ) p /\ Fun `' F ) ) )
13		breq2 4097	. . . . . 6 |- ( p = P -> ( F (Walks ` G ) p <-> F (Walks ` G ) P ) )
14	13	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( p = P -> ( ( F (Walks ` G ) p /\ Fun `' F ) <-> ( F (Walks ` G ) P /\ Fun `' F ) ) )
15	12, 14	opelopabg 4368	. . . 4 |- ( ( F e. _V /\ P e. _V ) -> ( <. F , P >. e. { <. f , p >. | ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) } <-> ( F (Walks ` G ) P /\ Fun `' F ) ) )
16	15	3adant1 1042	. . 3 |- ( ( G e. _V /\ F e. _V /\ P e. _V ) -> ( <. F , P >. e. { <. f , p >. | ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) } <-> ( F (Walks ` G ) P /\ Fun `' F ) ) )
17	8, 16	bitrd 188	. 2 |- ( ( G e. _V /\ F e. _V /\ P e. _V ) -> ( F (Trails ` G ) P <-> ( F (Walks ` G ) P /\ Fun `' F ) ) )
18	1, 3, 17	pm5.21nii 712	1 |- ( F (Trails ` G ) P <-> ( F (Walks ` G ) P /\ Fun `' F ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   <.cop 3676   class class class wbr 4093   {copab 4154   `'ccnv 4730   Fun wfun 5327   ` cfv 5333  Walkscwlks 16238  Trailsctrls 16301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-dec 9655  df-uz 9799  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-ihash 11082  df-word 11161  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-edgf 15926  df-vtx 15935  df-iedg 15936  df-wlks 16239  df-trls 16302

This theorem is referenced by:  trliswlk  16307  trlf1  16309  trlres  16311  iseupthf1o  16369