Theorem umgrpredgv 16142

Description: An edge of a multigraph always connects two vertices. This theorem does not hold for arbitrary pseudographs: if either 𝑀 or 𝑁 is a proper class, then {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸 could still hold ({𝑀, 𝑁} would be either {𝑀} or {𝑁}, see prprc1 3800 or prprc2 3801, i.e. a loop), but 𝑀 ∈ 𝑉 or 𝑁 ∈ 𝑉 would not be true. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgredg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrpredgv	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem umgrpredgv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgredg.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	eleq2i 2299	. . . . 5 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ {𝑀, 𝑁} ∈ (Edg‘𝐺))
3		edgumgren 16137	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ (Edg‘𝐺)) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑀, 𝑁} ≈ 2o))
4	2, 3	sylan2b 287	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑀, 𝑁} ≈ 2o))
5	4	simpld 112	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → {𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
6		upgredg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7	6	eqcomi 2236	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = 𝑉
8	7	pweqi 3673	. . 3 ⊢ 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 𝑉
9	5, 8	eleqtrdi 2325	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → {𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 𝑉)
10		pr2cv 7494	. . . . . 6 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ≈ 2o → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V))
11	4, 10	simpl2im 386	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V))
12	11	simpld 112	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → 𝑀 ∈ V)
13		prid1g 3795	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ V → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁})
14	12, 13	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁})
15		prid2g 3796	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ V → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁})
16	11, 15	simpl2im 386	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁})
17		prelpw 4329	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 𝑉))
18	14, 16, 17	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 𝑉))
19	9, 18	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813  𝒫 cpw 3669  {cpr 3690   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  2_oc2o 6641   ≈ cen 6973  Vtxcvtx 16007  Edgcedg 16052  UMGraphcumgr 16087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-en 6976  df-sub 8446  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-dec 9710  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-edgf 16000  df-vtx 16009  df-iedg 16010  df-edg 16053  df-umgren 16089

This theorem is referenced by:  umgrnloop2  16146  usgrpredgv  16193  umgr2edg  16202  umgrvad2edg  16206