Theorem umgrpredgv 15997

Description: An edge of a multigraph always connects two vertices. This theorem does not hold for arbitrary pseudographs: if either 𝑀 or 𝑁 is a proper class, then {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸 could still hold ({𝑀, 𝑁} would be either {𝑀} or {𝑁}, see prprc1 3780 or prprc2 3781, i.e. a loop), but 𝑀 ∈ 𝑉 or 𝑁 ∈ 𝑉 would not be true. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgredg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrpredgv	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem umgrpredgv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgredg.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	eleq2i 2298	. . . . 5 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ {𝑀, 𝑁} ∈ (Edg‘𝐺))
3		edgumgren 15992	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ (Edg‘𝐺)) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑀, 𝑁} ≈ 2o))
4	2, 3	sylan2b 287	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑀, 𝑁} ≈ 2o))
5	4	simpld 112	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → {𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
6		upgredg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7	6	eqcomi 2235	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = 𝑉
8	7	pweqi 3656	. . 3 ⊢ 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 𝑉
9	5, 8	eleqtrdi 2324	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → {𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 𝑉)
10		pr2cv 7401	. . . . . 6 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ≈ 2o → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V))
11	4, 10	simpl2im 386	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V))
12	11	simpld 112	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → 𝑀 ∈ V)
13		prid1g 3775	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ V → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁})
14	12, 13	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁})
15		prid2g 3776	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ V → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁})
16	11, 15	simpl2im 386	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁})
17		prelpw 4305	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 𝑉))
18	14, 16, 17	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 𝑉))
19	9, 18	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802  𝒫 cpw 3652  {cpr 3670   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  2_oc2o 6575   ≈ cen 6906  Vtxcvtx 15862  Edgcedg 15907  UMGraphcumgr 15942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-en 6909  df-sub 8351  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-dec 9611  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-edgf 15855  df-vtx 15864  df-iedg 15865  df-edg 15908  df-umgren 15944

This theorem is referenced by:  umgrnloop2  16001  usgrpredgv  16048  umgr2edg  16057  umgrvad2edg  16061