Theorem usgr1e 16223

Description: A simple graph with one edge (with additional assumption that 𝐵 ≠ 𝐶 since otherwise the edge is a loop!). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgr1e.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uspgr1e.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
uspgr1e.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
uspgr1e.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
uspgr1e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
usgr1e.e	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
usgr1e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)

Proof of Theorem usgr1e

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgr1e.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		uspgr1e.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		uspgr1e.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		uspgr1e.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
5		uspgr1e.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
6		usgr1e.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
7	6	olcd 742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵 ≠ 𝐶))
8		dcne 2423	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐵 = 𝐶 ↔ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵 ≠ 𝐶))
9	7, 8	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	uspgr1edc 16222	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
11		pr2ne 7488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({𝐵, 𝐶} ≈ 2o ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
12	3, 4, 11	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐵, 𝐶} ≈ 2o ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
13	6, 12	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ≈ 2o)
14		prexg 4324	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
15	3, 4, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
16		breq1 4111	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → (𝑥 ≈ 2o ↔ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
17	16	ralsng 3728	. . . . 5 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ V → (∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}}𝑥 ≈ 2o ↔ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
18	15, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}}𝑥 ≈ 2o ↔ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
19	13, 18	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}}𝑥 ≈ 2o)
20		edgvalg 16041	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
21	10, 20	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
22	5	rneqd 4985	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
23		rnsnopg 5240	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
24	2, 23	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
25	21, 22, 24	3eqtrd 2269	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐶}})
26	19, 25	raleqtrrdv 2750	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)𝑥 ≈ 2o)
27		usgruspgrben 16168	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)𝑥 ≈ 2o))
28	10, 26, 27	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  ∀wral 2520  Vcvv 2812  {csn 3688  {cpr 3689  ⟨cop 3691   class class class wbr 4108  ran crn 4749  ‘cfv 5351  2_oc2o 6640   ≈ cen 6972  Vtxcvtx 15994  iEdgciedg 15995  Edgcedg 16039  USPGraphcuspgr 16135  USGraphcusgr 16136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-1o 6646  df-2o 6647  df-er 6766  df-en 6975  df-sub 8442  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-dec 9706  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-edgf 15987  df-vtx 15996  df-iedg 15997  df-edg 16040  df-uspgren 16137  df-usgren 16138

This theorem is referenced by:  usgr1eop  16227