Theorem usgr1e 16060

Description: A simple graph with one edge (with additional assumption that 𝐵 ≠ 𝐶 since otherwise the edge is a loop!). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgr1e.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uspgr1e.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
uspgr1e.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
uspgr1e.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
uspgr1e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
usgr1e.e	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
usgr1e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)

Proof of Theorem usgr1e

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgr1e.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		uspgr1e.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		uspgr1e.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		uspgr1e.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
5		uspgr1e.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
6		usgr1e.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
7	6	olcd 739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵 ≠ 𝐶))
8		dcne 2411	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐵 = 𝐶 ↔ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵 ≠ 𝐶))
9	7, 8	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	uspgr1edc 16059	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
11		pr2ne 7381	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({𝐵, 𝐶} ≈ 2o ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
12	3, 4, 11	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐵, 𝐶} ≈ 2o ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
13	6, 12	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ≈ 2o)
14		prexg 4296	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
15	3, 4, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
16		breq1 4086	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → (𝑥 ≈ 2o ↔ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
17	16	ralsng 3706	. . . . 5 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ V → (∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}}𝑥 ≈ 2o ↔ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
18	15, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}}𝑥 ≈ 2o ↔ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
19	13, 18	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}}𝑥 ≈ 2o)
20		edgvalg 15881	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
21	10, 20	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
22	5	rneqd 4956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
23		rnsnopg 5210	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
24	2, 23	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
25	21, 22, 24	3eqtrd 2266	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐶}})
26	19, 25	raleqtrrdv 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)𝑥 ≈ 2o)
27		usgruspgrben 16005	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)𝑥 ≈ 2o))
28	10, 26, 27	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∀wral 2508  Vcvv 2799  {csn 3666  {cpr 3667  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083  ran crn 4721  ‘cfv 5321  2_oc2o 6567   ≈ cen 6898  Vtxcvtx 15834  iEdgciedg 15835  Edgcedg 15879  USPGraphcuspgr 15972  USGraphcusgr 15973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-1o 6573  df-2o 6574  df-er 6693  df-en 6901  df-sub 8335  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-dec 9595  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-edgf 15827  df-vtx 15836  df-iedg 15837  df-edg 15880  df-uspgren 15974  df-usgren 15975

This theorem is referenced by:  usgr1eop  16064