Theorem usgr1e 16121

Description: A simple graph with one edge (with additional assumption that 𝐵 ≠ 𝐶 since otherwise the edge is a loop!). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgr1e.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uspgr1e.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
uspgr1e.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
uspgr1e.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
uspgr1e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
usgr1e.e	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
usgr1e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)

Proof of Theorem usgr1e

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgr1e.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		uspgr1e.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		uspgr1e.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		uspgr1e.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
5		uspgr1e.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
6		usgr1e.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
7	6	olcd 741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵 ≠ 𝐶))
8		dcne 2412	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐵 = 𝐶 ↔ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵 ≠ 𝐶))
9	7, 8	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	uspgr1edc 16120	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
11		pr2ne 7402	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({𝐵, 𝐶} ≈ 2o ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
12	3, 4, 11	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐵, 𝐶} ≈ 2o ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
13	6, 12	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ≈ 2o)
14		prexg 4303	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
15	3, 4, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
16		breq1 4092	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → (𝑥 ≈ 2o ↔ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
17	16	ralsng 3710	. . . . 5 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ V → (∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}}𝑥 ≈ 2o ↔ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
18	15, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}}𝑥 ≈ 2o ↔ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
19	13, 18	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}}𝑥 ≈ 2o)
20		edgvalg 15939	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
21	10, 20	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
22	5	rneqd 4963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
23		rnsnopg 5217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
24	2, 23	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
25	21, 22, 24	3eqtrd 2267	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐶}})
26	19, 25	raleqtrrdv 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)𝑥 ≈ 2o)
27		usgruspgrben 16066	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)𝑥 ≈ 2o))
28	10, 26, 27	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   ≠ wne 2401  ∀wral 2509  Vcvv 2801  {csn 3670  {cpr 3671  ⟨cop 3673   class class class wbr 4089  ran crn 4728  ‘cfv 5328  2_oc2o 6581   ≈ cen 6912  Vtxcvtx 15892  iEdgciedg 15893  Edgcedg 15937  USPGraphcuspgr 16033  USGraphcusgr 16034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-1o 6587  df-2o 6588  df-er 6707  df-en 6915  df-sub 8357  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-dec 9617  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-edgf 15885  df-vtx 15894  df-iedg 15895  df-edg 15938  df-uspgren 16035  df-usgren 16036

This theorem is referenced by:  usgr1eop  16125