Theorem usgr1e 16095

Description: A simple graph with one edge (with additional assumption that 𝐵 ≠ 𝐶 since otherwise the edge is a loop!). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgr1e.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uspgr1e.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
uspgr1e.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
uspgr1e.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
uspgr1e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
usgr1e.e	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
usgr1e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)

Proof of Theorem usgr1e

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgr1e.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		uspgr1e.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		uspgr1e.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		uspgr1e.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
5		uspgr1e.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
6		usgr1e.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
7	6	olcd 741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵 ≠ 𝐶))
8		dcne 2413	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐵 = 𝐶 ↔ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵 ≠ 𝐶))
9	7, 8	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	uspgr1edc 16094	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
11		pr2ne 7397	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({𝐵, 𝐶} ≈ 2o ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
12	3, 4, 11	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐵, 𝐶} ≈ 2o ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
13	6, 12	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ≈ 2o)
14		prexg 4301	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
15	3, 4, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
16		breq1 4091	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → (𝑥 ≈ 2o ↔ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
17	16	ralsng 3709	. . . . 5 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ V → (∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}}𝑥 ≈ 2o ↔ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
18	15, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}}𝑥 ≈ 2o ↔ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
19	13, 18	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}}𝑥 ≈ 2o)
20		edgvalg 15913	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
21	10, 20	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
22	5	rneqd 4961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
23		rnsnopg 5215	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
24	2, 23	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
25	21, 22, 24	3eqtrd 2268	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐶}})
26	19, 25	raleqtrrdv 2740	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)𝑥 ≈ 2o)
27		usgruspgrben 16040	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)𝑥 ≈ 2o))
28	10, 26, 27	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ∀wral 2510  Vcvv 2802  {csn 3669  {cpr 3670  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  ran crn 4726  ‘cfv 5326  2_oc2o 6576   ≈ cen 6907  Vtxcvtx 15866  iEdgciedg 15867  Edgcedg 15911  USPGraphcuspgr 16007  USGraphcusgr 16008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-sub 8352  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-dec 9612  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-edgf 15859  df-vtx 15868  df-iedg 15869  df-edg 15912  df-uspgren 16009  df-usgren 16010

This theorem is referenced by:  usgr1eop  16099