Theorem usgr1e 16085

Description: A simple graph with one edge (with additional assumption that 𝐵 ≠ 𝐶 since otherwise the edge is a loop!). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgr1e.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uspgr1e.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
uspgr1e.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
uspgr1e.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
uspgr1e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
usgr1e.e	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
usgr1e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)

Proof of Theorem usgr1e

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgr1e.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		uspgr1e.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		uspgr1e.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		uspgr1e.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
5		uspgr1e.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
6		usgr1e.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
7	6	olcd 739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵 ≠ 𝐶))
8		dcne 2411	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐵 = 𝐶 ↔ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵 ≠ 𝐶))
9	7, 8	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	uspgr1edc 16084	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
11		pr2ne 7391	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({𝐵, 𝐶} ≈ 2o ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
12	3, 4, 11	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐵, 𝐶} ≈ 2o ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
13	6, 12	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ≈ 2o)
14		prexg 4299	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
15	3, 4, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
16		breq1 4089	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → (𝑥 ≈ 2o ↔ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
17	16	ralsng 3707	. . . . 5 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ V → (∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}}𝑥 ≈ 2o ↔ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
18	15, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}}𝑥 ≈ 2o ↔ {𝐵, 𝐶} ≈ 2o))
19	13, 18	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}}𝑥 ≈ 2o)
20		edgvalg 15903	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
21	10, 20	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
22	5	rneqd 4959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
23		rnsnopg 5213	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
24	2, 23	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
25	21, 22, 24	3eqtrd 2266	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐶}})
26	19, 25	raleqtrrdv 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)𝑥 ≈ 2o)
27		usgruspgrben 16030	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)𝑥 ≈ 2o))
28	10, 26, 27	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∀wral 2508  Vcvv 2800  {csn 3667  {cpr 3668  ⟨cop 3670   class class class wbr 4086  ran crn 4724  ‘cfv 5324  2_oc2o 6571   ≈ cen 6902  Vtxcvtx 15856  iEdgciedg 15857  Edgcedg 15901  USPGraphcuspgr 15997  USGraphcusgr 15998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-sub 8345  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-dec 9605  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-edgf 15849  df-vtx 15858  df-iedg 15859  df-edg 15902  df-uspgren 15999  df-usgren 16000

This theorem is referenced by:  usgr1eop  16089