Theorem wlkvtxeledgg 16041

Description: Each pair of adjacent vertices in a walk is a subset of an edge. (Contributed by AV, 28-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkvtxeledg.i	|- I = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
wlkvtxeledgg	|- ( ( G e. W /\ F (Walks ` G ) P ) -> A. k e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) )

Distinct variable groups:   k, G   k, F   P, k

Allowed substitution hints:   I( k)   W( k)

Proof of Theorem wlkvtxeledgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2811	. . . 4 |- ( G e. W -> G e. _V )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( G e. W /\ F (Walks ` G ) P ) -> G e. _V )
3		wlkvg 16031	. . . 4 |- ( ( G e. W /\ F (Walks ` G ) P ) -> ( F e. _V /\ P e. _V ) )
4	3	simpld 112	. . 3 |- ( ( G e. W /\ F (Walks ` G ) P ) -> F e. _V )
5	3	simprd 114	. . 3 |- ( ( G e. W /\ F (Walks ` G ) P ) -> P e. _V )
6	2, 4, 5	3jca 1201	. 2 |- ( ( G e. W /\ F (Walks ` G ) P ) -> ( G e. _V /\ F e. _V /\ P e. _V ) )
7		simpr 110	. 2 |- ( ( G e. W /\ F (Walks ` G ) P ) -> F (Walks ` G ) P )
8		eqid 2229	. . . 4 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
9		wlkvtxeledg.i	. . . 4 |- I = (iEdg ` G )
10	8, 9	iswlk 16029	. . 3 |- ( ( G e. _V /\ F e. _V /\ P e. _V ) -> ( F (Walks ` G ) P <-> ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... (♯ ` F ) ) --> (Vtx ` G ) /\ A. k e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( I ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
11		ifpsnprss 16040	. . . . 5 |- (if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( I ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) -> { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) )
12	11	ralimi 2593	. . . 4 |- ( A. k e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( I ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) -> A. k e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) )
13	12	3ad2ant3 1044	. . 3 |- ( ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... (♯ ` F ) ) --> (Vtx ` G ) /\ A. k e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( I ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) ) -> A. k e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) )
14	10, 13	biimtrdi 163	. 2 |- ( ( G e. _V /\ F e. _V /\ P e. _V ) -> ( F (Walks ` G ) P -> A. k e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) )
15	6, 7, 14	sylc 62	1 |- ( ( G e. W /\ F (Walks ` G ) P ) -> A. k e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  if-wif 983   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   {csn 3666   {cpr 3667   class class class wbr 4082   dom cdm 4718   -->wf 5313   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   0cc0 7995   1c1 7996   + caddc 7998   ...cfz 10200  ..^cfzo 10334  ♯chash 10992  Word cword 11066  Vtxcvtx 15807  iEdgciedg 15808  Walkscwlks 16024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-ifp 984  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-map 6795  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-z 9443  df-dec 9575  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-ihash 10993  df-word 11067  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-edgf 15800  df-vtx 15809  df-iedg 15810  df-wlks 16025

This theorem is referenced by:  wlkvtxiedgg  16042