Theorem eupthseg 16322

Description: The N-th edge in an eulerian path is the edge having P ( N ) and P ( N + 1 ) as endpoints . (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
iseupth.i	|- I = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
eupthseg	|- ( ( F (EulerPaths ` G ) P /\ N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) -> { ( P ` N ) , ( P ` ( N + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` N ) ) )

Proof of Theorem eupthseg

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseupth.i	. . . . 5 |- I = (iEdg ` G )
2	1	eupthi 16319	. . . 4 |- ( F (EulerPaths ` G ) P -> ( F (Walks ` G ) P /\ F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-onto-> dom I ) )
3	2	simpld 112	. . 3 |- ( F (EulerPaths ` G ) P -> F (Walks ` G ) P )
4		wlkv 16196	. . . . 5 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( G e. _V /\ F e. _V /\ P e. _V ) )
5	4	simp1d 1035	. . . 4 |- ( F (Walks ` G ) P -> G e. _V )
6	1	wlkvtxeledgg 16214	. . . 4 |- ( ( G e. _V /\ F (Walks ` G ) P ) -> A. k e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) )
7	5, 6	mpancom 422	. . 3 |- ( F (Walks ` G ) P -> A. k e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) )
8		fveq2 5639	. . . . . 6 |- ( k = N -> ( P ` k ) = ( P ` N ) )
9		fvoveq1 6041	. . . . . 6 |- ( k = N -> ( P ` ( k + 1 ) ) = ( P ` ( N + 1 ) ) )
10	8, 9	preq12d 3756	. . . . 5 |- ( k = N -> { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } = { ( P ` N ) , ( P ` ( N + 1 ) ) } )
11		2fveq3 5644	. . . . 5 |- ( k = N -> ( I ` ( F ` k ) ) = ( I ` ( F ` N ) ) )
12	10, 11	sseq12d 3258	. . . 4 |- ( k = N -> ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) <-> { ( P ` N ) , ( P ` ( N + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` N ) ) ) )
13	12	rspccv 2907	. . 3 |- ( A. k e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) -> ( N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> { ( P ` N ) , ( P ` ( N + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` N ) ) ) )
14	3, 7, 13	3syl 17	. 2 |- ( F (EulerPaths ` G ) P -> ( N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> { ( P ` N ) , ( P ` ( N + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` N ) ) ) )
15	14	imp 124	1 |- ( ( F (EulerPaths ` G ) P /\ N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) -> { ( P ` N ) , ( P ` ( N + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   {cpr 3670   class class class wbr 4088   dom cdm 4725   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035  ..^cfzo 10377  ♯chash 11038  iEdgciedg 15883  Walkscwlks 16187  EulerPathsceupth 16312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-ifp 986  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-map 6819  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039  df-word 11118  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-edgf 15875  df-vtx 15884  df-iedg 15885  df-wlks 16188  df-trls 16251  df-eupth 16313

This theorem is referenced by: (None)