Theorem wrdsymb0 11360

Description: A symbol at a position "outside" of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
wrdsymb0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → (𝑊‘𝐼) = ∅))

Proof of Theorem wrdsymb0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ V)
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ V)
3		wrddm 11335	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
4		lencl 11331	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 9778	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
6		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℤ)
7		0zd 9668	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
8		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
9		nelfzo 10577	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝐼 ∉ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∉ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)))
11	10	biimpar 297	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)) → 𝐼 ∉ (0..^(♯‘𝑊)))
12		df-nel 2516	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∉ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
13	11, 12	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)) → ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14		eleq2 2302	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ dom 𝑊 ↔ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
15	14	notbid 677	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊 ↔ ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
16	13, 15	imbitrrid 156	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊))
17	16	exp4c 368	. . . 4 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊))))
18	3, 5, 17	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊)))
19	18	imp 124	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊))
20		ndmfvg 5729	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊) → (𝑊‘𝐼) = ∅)
21	2, 19, 20	syl6an 1483	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → (𝑊‘𝐼) = ∅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∉ wnel 2515  Vcvv 2821  ∅c0 3520   class class class wbr 4131  dom cdm 4776  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  0cc0 8186   < clt 8367   ≤ cle 8368  ℤcz 9656  ..^cfzo 10567  ♯chash 11237  Word cword 11327

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-ihash 11238  df-word 11328

This theorem is used by:  ccatsymb  11393