Theorem wrdumgren 15943

Description: The property of being an undirected multigraph, expressing the edges as "words". (Contributed by AV, 24-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumgr.v	|- V = (Vtx ` G )
isumgr.e	|- E = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
wrdumgren	|- ( ( G e. U /\ E e. Word X ) -> ( G e. UMGraph <-> E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, V

Allowed substitution hints:   U( x)   E( x)   X( x)

Proof of Theorem wrdumgren

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumgr.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
2		isumgr.e	. . . 4 |- E = (iEdg ` G )
3	1, 2	isumgren 15942	. . 3 |- ( G e. U -> ( G e. UMGraph <-> E : dom E --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( G e. U /\ E e. Word X ) -> ( G e. UMGraph <-> E : dom E --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
5		wrdf 11106	. . . . 5 |- ( E e. Word X -> E : ( 0..^ (♯ ` E ) ) --> X )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( G e. U /\ E e. Word X ) -> E : ( 0..^ (♯ ` E ) ) --> X )
7	6	fdmd 5484	. . 3 |- ( ( G e. U /\ E e. Word X ) -> dom E = ( 0..^ (♯ ` E ) ) )
8	7	feq2d 5465	. 2 |- ( ( G e. U /\ E e. Word X ) -> ( E : dom E --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } <-> E : ( 0..^ (♯ ` E ) ) --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
9		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( G e. U /\ E e. Word X ) /\ E : ( 0..^ (♯ ` E ) ) --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) -> E : ( 0..^ (♯ ` E ) ) --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
10		lencl 11104	. . . . . 6 |- ( E e. Word X -> (♯ ` E ) e. NN0 )
11	10	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( G e. U /\ E e. Word X ) /\ E : ( 0..^ (♯ ` E ) ) --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) -> (♯ ` E ) e. NN0 )
12		iswrdinn0 11105	. . . . 5 |- ( ( E : ( 0..^ (♯ ` E ) ) --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } /\ (♯ ` E ) e. NN0 ) -> E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
13	9, 11, 12	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( G e. U /\ E e. Word X ) /\ E : ( 0..^ (♯ ` E ) ) --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) -> E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
14	13	ex 115	. . 3 |- ( ( G e. U /\ E e. Word X ) -> ( E : ( 0..^ (♯ ` E ) ) --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } -> E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
15		wrdf 11106	. . 3 |- ( E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } -> E : ( 0..^ (♯ ` E ) ) --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
16	14, 15	impbid1 142	. 2 |- ( ( G e. U /\ E e. Word X ) -> ( E : ( 0..^ (♯ ` E ) ) --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } <-> E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
17	4, 8, 16	3bitrd 214	1 |- ( ( G e. U /\ E e. Word X ) -> ( G e. UMGraph <-> E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   ~Pcpw 3650   class class class wbr 4084   dom cdm 4721   -->wf 5318   ` cfv 5322  (class class class)co 6011   2oc2o 6569   ~~ cen 6900   0cc0 8020   NN0cn0 9390  ..^cfzo 10365  ♯chash 11025  Word cword 11100  Vtxcvtx 15850  iEdgciedg 15851  UMGraphcumgr 15929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-nul 4211  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-iinf 4682  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-mulcom 8121  ax-addass 8122  ax-mulass 8123  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-1rid 8127  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-apti 8135  ax-pre-ltadd 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-tr 4184  df-id 4386  df-iord 4459  df-on 4461  df-ilim 4462  df-suc 4464  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-recs 6464  df-frec 6550  df-1o 6575  df-er 6695  df-en 6903  df-dom 6904  df-fin 6905  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-inn 9132  df-2 9190  df-3 9191  df-4 9192  df-5 9193  df-6 9194  df-7 9195  df-8 9196  df-9 9197  df-n0 9391  df-z 9468  df-dec 9600  df-uz 9744  df-fz 10232  df-fzo 10366  df-ihash 11026  df-word 11101  df-ndx 13072  df-slot 13073  df-base 13075  df-edgf 15843  df-vtx 15852  df-iedg 15853  df-umgren 15931

This theorem is referenced by: (None)