Theorem konigsbergumgr 16482

Description: The Königsberg graph G is a multigraph. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.) (Revised by AV, 9-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsbergumgr	|- G e. UMGraph

Proof of Theorem konigsbergumgr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	. . 3 |- V = ( 0 ... 3 )
2		konigsberg.e	. . 3 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
3		konigsberg.g	. . 3 |- G = <. V , E >.
4	1, 2, 3	konigsbergiedgwen 16479	. 2 |- E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o }
5		0z 9588	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
6		3z 9606	. . . . . . 7 |- 3 e. ZZ
7		fzfig 10792	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
8	5, 6, 7	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
9	1, 8	eqeltri 2305	. . . . 5 |- V e. Fin
10		1z 9603	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
11		prexg 4325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> { 0 , 1 } e. _V )
12	5, 10, 11	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } e. _V
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. _V )
14		2z 9605	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
15		prexg 4325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> { 0 , 2 } e. _V )
16	5, 14, 15	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 2 } e. _V
17	16	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. _V )
18		prexg 4325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> { 0 , 3 } e. _V )
19	5, 6, 18	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 3 } e. _V
20	19	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. _V )
21		prexg 4325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> { 1 , 2 } e. _V )
22	10, 14, 21	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 1 , 2 } e. _V
23	22	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. _V )
24		prexg 4325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> { 2 , 3 } e. _V )
25	14, 6, 24	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 2 , 3 } e. _V
26	25	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. _V )
27	13, 17, 20, 23, 23, 26, 26	s7cld 11475	. . . . . . 7 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
28	27	mptru 1407	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
29	2, 28	eqeltri 2305	. . . . 5 |- E e. Word _V
30		opexg 4344	. . . . 5 |- ( ( V e. Fin /\ E e. Word _V ) -> <. V , E >. e. _V )
31	9, 29, 30	mp2an 426	. . . 4 |- <. V , E >. e. _V
32	3, 31	eqeltri 2305	. . 3 |- G e. _V
33	1, 2, 3	konigsbergvtx 16477	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) = ( 0 ... 3 )
34	1, 33	eqtr4i 2256	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
35	1, 2, 3	konigsbergiedg 16478	. . . . 5 |- (iEdg ` G ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
36	2, 35	eqtr4i 2256	. . . 4 |- E = (iEdg ` G )
37	34, 36	wrdumgren 16101	. . 3 |- ( ( G e. _V /\ E e. Word _V ) -> ( G e. UMGraph <-> E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
38	32, 29, 37	mp2an 426	. 2 |- ( G e. UMGraph <-> E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
39	4, 38	mpbir 146	1 |- G e. UMGraph

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2203   {crab 2524   _Vcvv 2813   ~Pcpw 3669   {cpr 3690   <.cop 3692   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   2oc2o 6641   ~~ cen 6973   Fincfn 6975   0cc0 8127   1c1 8128   2c2 9288   3c3 9289   ZZcz 9577   ...cfz 10342  Word cword 11224   <"cs7 11446  Vtxcvtx 16007  iEdgciedg 16008  UMGraphcumgr 16087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-dec 9710  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-ihash 11139  df-word 11225  df-concat 11279  df-s1 11304  df-s2 11448  df-s3 11449  df-s4 11450  df-s5 11451  df-s6 11452  df-s7 11453  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-edgf 16000  df-vtx 16009  df-iedg 16010  df-umgren 16089

This theorem is referenced by:  konigsberglem5  16487  konigsberg  16488