Theorem konigsbergumgr 16357

Description: The Königsberg graph G is a multigraph. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.) (Revised by AV, 9-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsbergumgr	|- G e. UMGraph

Proof of Theorem konigsbergumgr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	. . 3 |- V = ( 0 ... 3 )
2		konigsberg.e	. . 3 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
3		konigsberg.g	. . 3 |- G = <. V , E >.
4	1, 2, 3	konigsbergiedgwen 16354	. 2 |- E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o }
5		0z 9490	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
6		3z 9508	. . . . . . 7 |- 3 e. ZZ
7		fzfig 10693	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
8	5, 6, 7	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
9	1, 8	eqeltri 2304	. . . . 5 |- V e. Fin
10		1z 9505	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
11		prexg 4301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> { 0 , 1 } e. _V )
12	5, 10, 11	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } e. _V
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. _V )
14		2z 9507	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
15		prexg 4301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> { 0 , 2 } e. _V )
16	5, 14, 15	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 2 } e. _V
17	16	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. _V )
18		prexg 4301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> { 0 , 3 } e. _V )
19	5, 6, 18	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 3 } e. _V
20	19	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. _V )
21		prexg 4301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> { 1 , 2 } e. _V )
22	10, 14, 21	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 1 , 2 } e. _V
23	22	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. _V )
24		prexg 4301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> { 2 , 3 } e. _V )
25	14, 6, 24	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 2 , 3 } e. _V
26	25	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. _V )
27	13, 17, 20, 23, 23, 26, 26	s7cld 11368	. . . . . . 7 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
28	27	mptru 1406	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
29	2, 28	eqeltri 2304	. . . . 5 |- E e. Word _V
30		opexg 4320	. . . . 5 |- ( ( V e. Fin /\ E e. Word _V ) -> <. V , E >. e. _V )
31	9, 29, 30	mp2an 426	. . . 4 |- <. V , E >. e. _V
32	3, 31	eqeltri 2304	. . 3 |- G e. _V
33	1, 2, 3	konigsbergvtx 16352	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) = ( 0 ... 3 )
34	1, 33	eqtr4i 2255	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
35	1, 2, 3	konigsbergiedg 16353	. . . . 5 |- (iEdg ` G ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
36	2, 35	eqtr4i 2255	. . . 4 |- E = (iEdg ` G )
37	34, 36	wrdumgren 15976	. . 3 |- ( ( G e. _V /\ E e. Word _V ) -> ( G e. UMGraph <-> E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
38	32, 29, 37	mp2an 426	. 2 |- ( G e. UMGraph <-> E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
39	4, 38	mpbir 146	1 |- G e. UMGraph

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1397   T. wtru 1398   e. wcel 2202   {crab 2514   _Vcvv 2802   ~Pcpw 3652   {cpr 3670   <.cop 3672   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   2oc2o 6576   ~~ cen 6907   Fincfn 6909   0cc0 8032   1c1 8033   2c2 9194   3c3 9195   ZZcz 9479   ...cfz 10243  Word cword 11117   <"cs7 11339  Vtxcvtx 15882  iEdgciedg 15883  UMGraphcumgr 15962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039  df-word 11118  df-concat 11172  df-s1 11197  df-s2 11341  df-s3 11342  df-s4 11343  df-s5 11344  df-s6 11345  df-s7 11346  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-edgf 15875  df-vtx 15884  df-iedg 15885  df-umgren 15964

This theorem is referenced by:  konigsberglem5  16362  konigsberg  16363