Theorem konigsbergumgr 16933

Description: The Königsberg graph G is a multigraph. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.) (Revised by AV, 9-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsbergumgr	|- G e. UMGraph

Proof of Theorem konigsbergumgr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	. . 3 |- V = ( 0 ... 3 )
2		konigsberg.e	. . 3 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
3		konigsberg.g	. . 3 |- G = <. V , E >.
4	1, 2, 3	konigsbergiedgwen 16930	. 2 |- E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o }
5		0z 9666	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
6		3z 9684	. . . . . . 7 |- 3 e. ZZ
7		fzfig 10888	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
8	5, 6, 7	mp2an 430	. . . . . 6 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
9	1, 8	eqeltri 2311	. . . . 5 |- V e. Fin
10		1z 9681	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
11		prexg 4351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> { 0 , 1 } e. _V )
12	5, 10, 11	mp2an 430	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } e. _V
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. _V )
14		2z 9683	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
15		prexg 4351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> { 0 , 2 } e. _V )
16	5, 14, 15	mp2an 430	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 2 } e. _V
17	16	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. _V )
18		prexg 4351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> { 0 , 3 } e. _V )
19	5, 6, 18	mp2an 430	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 3 } e. _V
20	19	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. _V )
21		prexg 4351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> { 1 , 2 } e. _V )
22	10, 14, 21	mp2an 430	. . . . . . . . 9 |- { 1 , 2 } e. _V
23	22	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. _V )
24		prexg 4351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> { 2 , 3 } e. _V )
25	14, 6, 24	mp2an 430	. . . . . . . . 9 |- { 2 , 3 } e. _V
26	25	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. _V )
27	13, 17, 20, 23, 23, 26, 26	s7cld 11577	. . . . . . 7 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
28	27	mptru 1411	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
29	2, 28	eqeltri 2311	. . . . 5 |- E e. Word _V
30		opexg 4370	. . . . 5 |- ( ( V e. Fin /\ E e. Word _V ) -> <. V , E >. e. _V )
31	9, 29, 30	mp2an 430	. . . 4 |- <. V , E >. e. _V
32	3, 31	eqeltri 2311	. . 3 |- G e. _V
33	1, 2, 3	konigsbergvtx 16928	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) = ( 0 ... 3 )
34	1, 33	eqtr4i 2262	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
35	1, 2, 3	konigsbergiedg 16929	. . . . 5 |- (iEdg ` G ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
36	2, 35	eqtr4i 2262	. . . 4 |- E = (iEdg ` G )
37	34, 36	wrdumgren 16552	. . 3 |- ( ( G e. _V /\ E e. Word _V ) -> ( G e. UMGraph <-> E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
38	32, 29, 37	mp2an 430	. 2 |- ( G e. UMGraph <-> E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
39	4, 38	mpbir 146	1 |- G e. UMGraph

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   ~Pcpw 3688   {cpr 3710   <.cop 3712   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   2oc2o 6685   ~~ cen 7024   Fincfn 7026   0cc0 8185   1c1 8186   2c2 9364   3c3 9365   ZZcz 9655   ...cfz 10428  Word cword 11326   <"cs7 11548  Vtxcvtx 16458  iEdgciedg 16459  UMGraphcumgr 16538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327  df-concat 11381  df-s1 11406  df-s2 11550  df-s3 11551  df-s4 11552  df-s5 11553  df-s6 11554  df-s7 11555  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-umgren 16540

This theorem is used by:  konigsberglem5  16938  konigsberg  16939