Theorem konigsbergumgr 16728

Description: The Königsberg graph G is a multigraph. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.) (Revised by AV, 9-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsbergumgr	|- G e. UMGraph

Proof of Theorem konigsbergumgr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	. . 3 |- V = ( 0 ... 3 )
2		konigsberg.e	. . 3 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
3		konigsberg.g	. . 3 |- G = <. V , E >.
4	1, 2, 3	konigsbergiedgwen 16725	. 2 |- E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o }
5		0z 9655	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
6		3z 9673	. . . . . . 7 |- 3 e. ZZ
7		fzfig 10867	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
8	5, 6, 7	mp2an 430	. . . . . 6 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
9	1, 8	eqeltri 2311	. . . . 5 |- V e. Fin
10		1z 9670	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
11		prexg 4349	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> { 0 , 1 } e. _V )
12	5, 10, 11	mp2an 430	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } e. _V
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. _V )
14		2z 9672	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
15		prexg 4349	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> { 0 , 2 } e. _V )
16	5, 14, 15	mp2an 430	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 2 } e. _V
17	16	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. _V )
18		prexg 4349	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> { 0 , 3 } e. _V )
19	5, 6, 18	mp2an 430	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 3 } e. _V
20	19	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. _V )
21		prexg 4349	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> { 1 , 2 } e. _V )
22	10, 14, 21	mp2an 430	. . . . . . . . 9 |- { 1 , 2 } e. _V
23	22	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. _V )
24		prexg 4349	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> { 2 , 3 } e. _V )
25	14, 6, 24	mp2an 430	. . . . . . . . 9 |- { 2 , 3 } e. _V
26	25	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. _V )
27	13, 17, 20, 23, 23, 26, 26	s7cld 11555	. . . . . . 7 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
28	27	mptru 1411	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
29	2, 28	eqeltri 2311	. . . . 5 |- E e. Word _V
30		opexg 4368	. . . . 5 |- ( ( V e. Fin /\ E e. Word _V ) -> <. V , E >. e. _V )
31	9, 29, 30	mp2an 430	. . . 4 |- <. V , E >. e. _V
32	3, 31	eqeltri 2311	. . 3 |- G e. _V
33	1, 2, 3	konigsbergvtx 16723	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) = ( 0 ... 3 )
34	1, 33	eqtr4i 2262	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
35	1, 2, 3	konigsbergiedg 16724	. . . . 5 |- (iEdg ` G ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
36	2, 35	eqtr4i 2262	. . . 4 |- E = (iEdg ` G )
37	34, 36	wrdumgren 16347	. . 3 |- ( ( G e. _V /\ E e. Word _V ) -> ( G e. UMGraph <-> E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
38	32, 29, 37	mp2an 430	. 2 |- ( G e. UMGraph <-> E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
39	4, 38	mpbir 146	1 |- G e. UMGraph

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   ~Pcpw 3688   {cpr 3710   <.cop 3712   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   2oc2o 6681   ~~ cen 7020   Fincfn 7022   0cc0 8179   1c1 8180   2c2 9355   3c3 9356   ZZcz 9644   ...cfz 10411  Word cword 11304   <"cs7 11526  Vtxcvtx 16253  iEdgciedg 16254  UMGraphcumgr 16333

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-dec 9778  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-ihash 11215  df-word 11305  df-concat 11359  df-s1 11384  df-s2 11528  df-s3 11529  df-s4 11530  df-s5 11531  df-s6 11532  df-s7 11533  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-edgf 16246  df-vtx 16255  df-iedg 16256  df-umgren 16335

This theorem is used by:  konigsberglem5  16733  konigsberg  16734