Theorem konigsbergumgr 16608

Description: The Königsberg graph G is a multigraph. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.) (Revised by AV, 9-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsbergumgr	|- G e. UMGraph

Proof of Theorem konigsbergumgr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	. . 3 |- V = ( 0 ... 3 )
2		konigsberg.e	. . 3 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
3		konigsberg.g	. . 3 |- G = <. V , E >.
4	1, 2, 3	konigsbergiedgwen 16605	. 2 |- E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o }
5		0z 9605	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
6		3z 9623	. . . . . . 7 |- 3 e. ZZ
7		fzfig 10816	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
8	5, 6, 7	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
9	1, 8	eqeltri 2307	. . . . 5 |- V e. Fin
10		1z 9620	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
11		prexg 4330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> { 0 , 1 } e. _V )
12	5, 10, 11	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } e. _V
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. _V )
14		2z 9622	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
15		prexg 4330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> { 0 , 2 } e. _V )
16	5, 14, 15	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 2 } e. _V
17	16	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. _V )
18		prexg 4330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> { 0 , 3 } e. _V )
19	5, 6, 18	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 3 } e. _V
20	19	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. _V )
21		prexg 4330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> { 1 , 2 } e. _V )
22	10, 14, 21	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 1 , 2 } e. _V
23	22	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. _V )
24		prexg 4330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> { 2 , 3 } e. _V )
25	14, 6, 24	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 2 , 3 } e. _V
26	25	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. _V )
27	13, 17, 20, 23, 23, 26, 26	s7cld 11500	. . . . . . 7 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
28	27	mptru 1407	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
29	2, 28	eqeltri 2307	. . . . 5 |- E e. Word _V
30		opexg 4349	. . . . 5 |- ( ( V e. Fin /\ E e. Word _V ) -> <. V , E >. e. _V )
31	9, 29, 30	mp2an 426	. . . 4 |- <. V , E >. e. _V
32	3, 31	eqeltri 2307	. . 3 |- G e. _V
33	1, 2, 3	konigsbergvtx 16603	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) = ( 0 ... 3 )
34	1, 33	eqtr4i 2258	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
35	1, 2, 3	konigsbergiedg 16604	. . . . 5 |- (iEdg ` G ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
36	2, 35	eqtr4i 2258	. . . 4 |- E = (iEdg ` G )
37	34, 36	wrdumgren 16227	. . 3 |- ( ( G e. _V /\ E e. Word _V ) -> ( G e. UMGraph <-> E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
38	32, 29, 37	mp2an 426	. 2 |- ( G e. UMGraph <-> E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
39	4, 38	mpbir 146	1 |- G e. UMGraph

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2205   {crab 2526   _Vcvv 2815   ~Pcpw 3674   {cpr 3695   <.cop 3697   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   2oc2o 6654   ~~ cen 6986   Fincfn 6988   0cc0 8143   1c1 8144   2c2 9305   3c3 9306   ZZcz 9594   ...cfz 10361  Word cword 11249   <"cs7 11471  Vtxcvtx 16133  iEdgciedg 16134  UMGraphcumgr 16213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-concat 11304  df-s1 11329  df-s2 11473  df-s3 11474  df-s4 11475  df-s5 11476  df-s6 11477  df-s7 11478  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16126  df-vtx 16135  df-iedg 16136  df-umgren 16215

This theorem is referenced by:  konigsberglem5  16613  konigsberg  16614